实际问题与一元二次方程 (2)第2课时课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与一元二次方程（第2课时）人教版九年级上册数学问题我们在上一节课，已经学习了利用一元二次方程解决几何图形面积类实际问题．不论是矩形、直角三角形相关问题，解题都遵循统一流程，大家回忆一下：列方程（组）解决实际问题的一般步骤是什么？审设列解检答分析题意，找出相等关系设未知数（一般求什么，设什么）根据相等关系，列方程（组）解方程（组），求出未知数的值检验方程（组）的解是否符合题意写出答案（包括单位）列方程（组）解决实际问题的一般步骤同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程可以作为刻画现实数量关系的数学模型．上节课我们研究静态几何图形问题，本节课我们继续探究两类新情境：传播问题与平均变化率问题．探究某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？思考：如何理解“两轮传染”？“两轮传染”中，两轮是指两个传染周期．例如，开始有1个人（不妨记为a）被传染，第一轮中a传染给b，c，d，这时有(1＋3)个人被传染；第二轮中这4个人每人又传染了3个人，这一轮新被传染的人数为3×(1＋3)＝12．所以，第二轮后被传染的总人数为3×(1＋3)＋(1＋3)＝16．探究

分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________________个人被传染．(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？探究解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．于是有1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）．答：平均一个人传染了10个人．某种传染病的传染速度很快，如果开始有

1

个人被传染，经过两轮传染后共有

121

个人被传染，那么每轮传染中平均

1

个人传染了多少个人？思考如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？两轮传染之后共有121

个人被传染，第三轮的传染源也正是这

121

人，所以第三轮新被传染的人数为

121×10＝1210．三轮传染后被传染的总人数为121＋1210＝1331．传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数．按照“1传10”的传染速度，n

轮传染之后共有多少个人被传染？思考第一轮后被传染的总人数：1＋10＝11；第二轮后被传染的总人数：11＋10×11＝121；第三轮后被传染的总人数：121＋10×121＝1331．观察上面的三个式子，你能总结出规律，求出n轮传染之后共有多少人被传染吗？通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？思考第一轮后被传染的总人数：1＋10＝11；第二轮后被传染的总人数：11＋10×11＝11×(1＋10)＝112

；第三轮后被传染的总人数：121＋10×121＝121×(1＋10)＝113．观察三个式子，得到：所以，第n

轮后共有11n人被传染．如果最初有两个人被传染，按照“1传10”的传染速度，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人被传染？思考第一轮后被传染的总人数：2＋20＝22＝2×11；第二轮后被传染的总人数：22＋10×22＝22×(1＋10)＝2×112．

1．根据前面的探究结果，如果最初有a

个人被传染，按照“1传10”的传染速度，n

轮传染后共有多少个人被传染？思考n

轮传染后共有a(1＋10)n人被传染．

2．如果最初有a

个人被传染，每轮传染中平均一个人传染给x

个人，那么

n

轮传染后共有多少个人被传染？n

轮传染后共有a(1＋x)n人被传染．总结传播问题：若a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总人数，则

a(1＋x)n＝b．1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)2，两种写法等价，方便后续推广到多轮传播模型．总结【易错辨析】注意区分传播问题与后续平均增长率问题：公式外形同为a(1＋x)n＝b，但实际意义不同．传播问题：每一轮所有已被传染者都继续作为传染源；增长率问题：仅基数逐年发生变化，两类模型不可混用．常见误区：不要把第二轮新增人数直接写成x2，优先逐轮分析总人数，再归纳公式，杜绝死记硬背．解决倍数传播问题时，要搞清楚不同传播轮次的传染源数量．两年前生产1

t甲种食品的成本是10

000元，生产1t乙种食品的成本是12

000元．随着生产技术的进步，现在生产1

t甲种食品的成本是6

000元，生产1

t乙种食品的成本是7

200元．哪种食品成本的年平均下降率较大？探究成本的年下降额＝前一年成本－本年成本．思考：怎么求成本的年下降额？探究思考：怎么求成本的年下降率？两年前生产1

t甲种食品的成本是10

000元，生产1t乙种食品的成本是12

000元．随着生产技术的进步，现在生产1

t甲种食品的成本是6

000元，生产1

t乙种食品的成本是7

200元．哪种食品成本的年平均下降率较大？分析：甲种食品成本的年平均下降额为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，乙种食品成本的年平均下降额为____________________________．显然，________食品成本的年平均下降额较大．(10

000－6

000)÷2＝2

000（元）(12

000－7

200)÷2＝2

400（元）乙种本题已知两年前后的成本，我们先计算年平均下降额，它是把两年总共下降的金额平均分到每一年．思考乙种食品成本的年平均下降额较大，能说明乙种食品成本的年平均下降率较大吗？可以看出，成本的年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．我们需要分别求出这两种食品成本的年平均下降率，进行比较．

解：①设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本为10

000(1－x)元，两年后甲种食品成本为10

000(1－x)2元，于是有10

000(1－x)2＝6

000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．思考解出甲种药品成本的年平均下降率后，为什么选择22.5%作为答案？根据问题的实际意义，药品成本的年平均下降率应是小于1

的正数，所以应选取22.5%作为答案．②设乙种食品成本的年平均下降率为y，于是有12

000(1－y)2＝7

200．解方程，得y1≈1.775，y2≈0.225．根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%．所以，两种食品成本的年平均下降率相等．思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率也一定大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？成本下降额较大的食品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面地比较几个对象的变化状况．思考通过前面对平均下降率问题的探究，你能总结出解决平均下降率问题的公式吗？设基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为a(1－x)，第二次下降后的数量为a(1－x)(1－x)，即a(1－x)2．以此类推，第n次下降后的数量为a(1－x)n．如果下降n次后的数量为b，那么可列方程a(1－x)n＝b．平均下降率公式：a(1－x)n＝b．某村种的水稻2023年平均每公顷产8

000kg，2025年平均每公顷产9

680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．分析：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．用含

x的代数式表示：（1）2024年种的水稻平均每公顷的产量为_______________；（2）2025年种的水稻平均每公顷的产量为_______________．8000(1＋x)kg8000(1＋x)2kg探究某村种的水稻2023年平均每公顷产8

000kg，2025年平均每公顷产9

680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．于是有8

000(1＋x)2＝9680．解方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1．根据问题的实际意义，该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%．探究类似地，你能总结出解决平均增长率问题的公式吗？思考设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数量为a(1＋x)(1＋x)，即a(1＋x)2．以此类推，第n次增长后的数量为a(1＋x)n．如果增长n次后的数量为b，那么可列方程a(1＋x)n＝b．平均增长率公式：a(1＋x)n＝b．总结求平均增长率（下降率）问题：一般列方程a(1±x)n＝b．其中a为原始数据，b为增长（下降）后的数据，n为变化次数，x为平均增长率（下降率）．解出所列的方程后，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际意义．【对比辨析】我们发现，传播问题公式

a(1＋x)n＝b和平均变化率公式外形相似，但实际情景与内在规律不同：（1）传播问题：每一轮所有已经被传染的个体，都可以作为新的传染源继续向外传播；（2）平均增长率（下降率）问题：仅基数逐年发生变化，不存在“原有个体持续增殖”的特点．做题时不能只记忆公式外形，一定要读懂题目情景，区分两类模型．

例1

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

分析：设每轮感染中一台电脑会感染x

台电脑．开始有一台电脑感染了病毒，第一轮中它感染了x台电脑，则第一轮后共有(1＋x)台电脑感染病毒；第二轮感染中，这些被感染的电脑中的每一台又感染了x台电脑，则第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]台电脑感染病毒．求出感染速度后，便可以判断三轮感染后共有多少台电脑被感染．

解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程，得1＋x＋x(1＋x)＝81．解方程，得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．问题：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？问题：若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解：∵第三轮感染的电脑数量为81×8＝648，∴三轮感染后，被感染的电脑总数量为81＋648＝729，∴三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．传播问题中，原传染源的数量算在感染总数中．若原传染源的数量为1，每个传染源传染x个个体，则第一次传染后感染个体总数为1＋x，第二次传染后感染个体总数为(1＋x)2．解决传播问题的关键点传播问题需要找清：（1）每一轮传播的传播源的数量；（2）每一个传播源每轮传播的数量．

例2为进一步发展基础教育，自2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费6

000万元，2025年投入教育经费8

640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

解：（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得6000(1＋x)2＝8

640．解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%．（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2026年该县投入教育经费多少万元．

解：（2）因为2025年该县投入教育经费8

640万元，且年平均增长率为20%，所以2026年该县投入的教育经费为8

640×(1＋20%)＝10368（万元）．答：2026年该县投入教育经费10

368万元．观察例1、例2，两道题公式外形都为

a(1＋x)2＝b，为什么一道是传播问题、一道是增长率问题？再次回忆两类模型本质区别．传播问题：每一轮所有已感染对象，都能够继续产生新的感染者；平均增长率问题：仅基数逐期发生变化，不存在原有个体持续增殖的特点．思考

例3

某公司今年1月份的生产成本是400