初中数学人教版八年级上册15.3.2等边三角形 教学课件

15.3.2

第十五章

轴对称等边三角形探究1：回顾：等边三角形的定义1.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD.求证：△BCE是等腰三角形活动：复习巩固-等腰三角形判定解：∵AB∥CD,

∴∠DCE=∠CEB.∵CE平分∠BCD∴∠DCE=∠BCE∴∠BCE=∠CEB∴BC=BE∴△BCE是等腰三角形问题1

如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

结论：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC

，

求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等边对等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴

例1、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．典例精析解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．【探究4】类比等腰三角形的判定，一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形【思考】等边三角形还有其他的判定方法吗？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【总结】等边三角形的判定方法：3.有一个角是______的等腰三角形是等边三角形.2.三个角都______的三角形是等边三角形；1.三边都______的三角形是等边三角形；相等相等60°

例

如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁

AB的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°．求立柱BC，DE

的长．

解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，

∴BC＝

AB，DE＝

AD．

∴BC＝

×7.4＝3.7（m）．

答：立柱BC的长是

3.7m，DE的长是

1.85m．

又AD＝

AB，

∴DE＝

AD＝

×3.7＝1.85（m）．

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B

和∠A各是多少度？边AB

与BC

之间有什么关系？解：∵∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋90°＝180°．∴∠A＝30°．

∴∠B＝2∠A＝60°．∴AB＝2BC．证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED,∴

∠A=∠ADE=∠AED,∴

△ADE是等边三角形.【变式1】若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC【变式2】若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

证明：

∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E,

∴

∠EAD=∠D=∠E,

∴

△ADE是等边三角形．ADEBC

已知：在等腰△ABC

中，∠A＝60°

．求证：△ABC

是等边三角形．

ABC问题3

∠B＝∠C＝

×(180°－60°)＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

证明：（1）当顶角∠A＝60°时，问题3

已知：在等腰△ABC

中，∠A＝60°．求证：△ABC

是等边三角形．

证明：（2）当底角∠A＝60°时，另一个底角∠C（∠B）＝60°，

∴顶角∠B（∠C）＝180°－(60°＋60°)＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

∴△ABC是等边三角形．ABC可以得到：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.符号语言：如图，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC为等边三角形.ABC例2如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.ABCDE如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.1ABCD

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.跟踪训练

如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形.

跟踪训练

如图，四边形