25.2.3因式分解法课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

因式分解法人教版九年级上册数学前面我们学习了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程，公式法适用于所有一元二次方程，是通用解法．但对于形如

x2＝4这类特殊方程，用平方根意义直接开方会更简单．今天我们继续探究另一类快速求解一元二次方程的简便方法，先来看一个物理实际问题．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10

m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x

s

离地面的高度(单位：m)约为：10x－5x2．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？根据物理学规律，如果把一个物体从地面以

10

m/s的速度竖直上抛，那么经过x

s

物体离地面的高度(单位：m)为：10x－5x2．设物体经过x

s落回地面，这时它离地面的高度为

0

m，即10x－5x2＝0．你能利用学过的方法，解方程10x－5x2＝0吗？解方程：

10x－5x2＝0．观察这个方程，显然不能用直接开平方法求解，我们可以分别用配方法和公式法来解．解：①配方法：整理，得5x2－10x＝0．二次项系数化为1，得x2－2x＝0．配方，得x2－2x＋1＝1，

(x－1)2＝1，由此可得x－1＝±1，x1＝0，x2＝2．解方程：

10x－5x2＝0．解：②公式法：方程化为5x2－10x＝0．a＝5，b＝－10，c＝0．Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×5×0＝100＞0．方程有两个不等的实数根即x1＝0，x2＝2．观察这个方程，显然不能用直接开平方法求解，我们可以分别用配方法和公式法来解．思考除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程

10x－5x2＝0？观察方程

10x－5x2＝0的左右两边，发现：方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解，即

10x－5x2＝x(10－5x)．方程的右边是

0，所以

x(10－5x)＝0．怎样解方程

x(10－5x)＝0？

分析：在实数范围内，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0．解：因为

x(10－5x)＝0，所以

x＝0或

10－5x＝0．所以方程的两个根是x1＝0，x2＝2．求出的两个根的实际意义分别是什么？这两个根中，x1＝0表示物体抛离地面的时刻，即在0

s

时物体被抛出，此刻物体的高度是

0

m；而x2＝2表示物体在抛离地面

2

s

时落回地面．思考x=0

是符合实际的有效根吗？结合抛球场景说一说．思考解方程

10x－5x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？观察解方程的过程，由

10x－5x2＝0到

x＝0或10－5x＝0的过程中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．

因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0．实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式．利用因式分解法解一元二次方程的常用方法（1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．（2）逆用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来分解因式．例1解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－＝x2－2x＋．解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0．x1＝2，x2＝－1．在用因式分解法解一元二次方程时，千万不要急于把方程化成一般形式，要先观察方程的特点，能提公因式进行因式分解的就提公因式进行因式分解．如本例中把x－2看作一个整体提公因式进行因式分解的方法比较简单．解：（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0．因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，x1＝－，x2＝．例1解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－＝x2－2x＋．问题你能根据例1

的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？第1步：移项，将方程的右边化为0；第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程；第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根．简记为一移二分三化四解．归纳两种适合因式分解法求解的典型方程形式

（1）解形如x2＋bx＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用提公因式法因式分解为x(x＋b)＝0，则x＝0或x＋b＝0，即x1＝0，x2＝－b．（2）解形如x2－a2＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用平方差公式因式分解为(x＋a)(x－a)＝0，则x＋a＝0或x－a＝0，即x1＝－a，x2＝a．例2

用因式分解法解方程：x2＋2026x－2

027＝0．解：原方程可化为(x－1)(x＋2

027)＝0，于是得

x－1＝0或

x＋2

027＝0，所以

x1＝1，x2＝－2

027．

分析：可以利用

x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)进行因式分解．要设法找到两个数

p，q，使

p＋q＝2

026，pq＝－2

027．备注：十字相乘法为拓展内容，基础核心是提公因式、平方差公式．归纳利用因式分解法解x2＋(p＋q)x＋pq＝0型一元二次方程形如x2＋(p＋q)x＋pq＝0的一元二次方程可尝试利用因式分解法求解，进行因式分解时，必须保证常数项拆成的两个因数的和为一次项系数，两个因数的积为常数项，另外两根的符号分别与拆分出的两个因数符号一致．特别提醒用因式分解法解一元二次方程的三个关键点（1）要将方程的右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法；（3）切忌方程两边同时除以含未知数的整式．四种解法各适合什么类型方程？①直接开平方法：形如(ax＋b)2＝p(p≥0)，直接开方降次；②配方法：通用，多用于推导求根公式、求代数式最值；③公式法：万能解法，所有一元二次方程都适用；④因式分解法：方程一边为0，另一边易分解成两个一次因式时优先选用，