函数的最大最小值与导数

Lesson03函数的最大最小值与导数高三数学一轮复习·导数及其应用Contents课程目录函数的最大最小值与导数系统复习与考点突破01考情分析与命题趋势02基础概念系统梳理03七大题型突破04易错点与课堂总结Chapter01考情分析与命题趋势函数的最大最小值与导数(3)高考命题分析考点要求与考题统计高考对函数极值与最值的考查相对稳定，属于重点考查内容。无论试题形式如何变化，核心都是利用导数研究函数的单调性、极值与最值。考点要求：借助函数图象了解极值条件，会用导数求极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值。分值统计：近三年高考考题统计显示，2021-2022年全国卷及地方卷中，相关题目分值稳定在5分，题型多为选择或填空。命题趋势：试题变化多样但本质不变，最终落脚点一定是函数的单调性与最值，这是导数永恒的主题。备考策略：把握好导数作为研究函数的有力工具，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观展示。近三年高考考题统计示例考题分布广泛，分值稳定，属于高频考点年份试卷类型题号与分值2022全国乙卷第16题，5分2022全国卷第10题，5分2022全国甲卷第6题，5分2021全国卷第15题，5分2021全国乙卷第10题，5分STRATEGY命题规律与备考策略命题核心：导数是研究函数的有力工具，复习需强化导数与函数性质间的逻辑联系，构建知识网络。解题关键：将单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观展示，避免纯代数推导的盲目性。备考重点：放在具体问题的转化上，如将不等式恒成立转化为最值问题，将零点问题转化为图像交点问题。最终落脚：一定是函数的单调性与最值，这是导数永恒的主题，掌握这两点即可应对绝大多数考题。"高考命题无论形式如何创新，核心始终围绕导数作为研究函数的工具这一本质。复习时应注重数形结合，将抽象的代数问题转化为直观的图像特征。"图：导数与函数单调性关系示意图Chapter02基础概念系统梳理函数的最大最小值与导数(3)核心概念函数的极值定义"函数的极值是一个局部概念，反映函数在一点附近的情况。理解极值的局部性是区分极值与最值的关键。"1极大值定义：函数在点x₀附近有定义，若对x₀附近所有点都有f(x)<f(x₀)，则f(x₀)为极大值。2极小值定义：若对x₀附近所有点都有f(x)>f(x₀)，则f(x₀)为极小值。两者统称为极值。3极值点位置：极值点x₀必须是定义域内部的点，不能是区间的端点。4局部性特征：极值反映一点附近情况，是局部比较，故极值不一定是最值，函数可能有多个极值。图：函数图像上的局部极大值与极小值特征示意MATHEMATICALANALYSIS函数极值的判定条件1条件f'(x₀)＝0是基础，若x₀附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则函数先增后减，f(x₀)为极大值。2若x₀附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则函数先减后增，f(x₀)为极小值，导数符号必须发生改变。3可导函数f(x)在点x₀处取得极值的充要条件是x₀是导函数的变号零点，即f'(x₀)=0且在x₀两侧f'的符号相反。4f'(x₀)=0是x₀为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x³，f'(0)=0但x=0不是极值点，因为导数符号未变。KeyInsight“可导函数在点x₀处取得极值的充要条件是f'(x₀)=0且在x₀两侧导数符号相反。左正右负对应极大值，左负右正对应极小值。”图：导数正负变化决定极值类型的图像示意MATHEMATICALANALYSIS求可导函数极值的一般步骤“求可导函数极值需遵循四步法：确定定义域、求导数、求方程f'(x)=0的根、检验根两侧导数符号。其中检验步骤至关重要，不可省略，只有导数变号的零点才是极值点，否则仅为驻点。”01确定定义域极值点必须在定义域内部，定义域是后续所有分析的基础，不可忽略。首先明确函数f(x)的有效取值范围。02求导数f'(x)利用求导法则计算准确。导数的正负直接决定函数的单调性，是判断极值的前提条件。03求方程f'(x)=0的根这些根是潜在的极值点（驻点）。需解出所有实根，并再次确认根是否在定义域内。04检验符号变化检验f'在根的左右两侧符号。左正右负为极大值，左负右正为极小值。若符号不变，则非极值点。CalculusConcept函数的最值定义与几何意义函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的整体概念。最大值是极大值与靠近极小值的端点之间的最大者，最小值是极小值与靠近极大值的端点之间的最小者。最值可能在区间端点处取得。最大值判定：需比较所有极大值点及端点处的函数值，取其中最大者。最小值判定：需比较所有极小值点及端点处的函数值，取其中最小者。取值位置：最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值，具有整体性。唯一性：在指定闭区间上，连续函数最多有一个最大值和一个最小值。图：闭区间上函数最大值与最小值的几何位置示意Calculus·Theorem闭区间上函数最值的存在性KeyInsight在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值，这是最值存在性定理。若函数单调，则最值必在端点取得。在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值，这是连续函数在闭区间上的重要性质。若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值，最值均在端点处取得。若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值，最值均在端点处取得。一般地，设f(x)是定义在[a,b]上的函数，f(x)在(a,b)内有导数，求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值可分为两步进行。Methodology求闭区间上函数最值的步骤KeyInsight“求函数在闭区间上的最值分为两步：先求开区间内的极值，再将各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较。其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，端点值不可遗漏。”01求开区间极值求f(x)在(a,b)内的极值（极大值或极小值），利用导数求出所有可能的极值点并计算对应的函数值。02比较端点值将f(x)的各极值与f(a)和f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，需全部列出比较。03极值与最值区别函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点，而函数的最值必在极值点或区间端点处取得，范围更广。04全面排查点对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点，需全面排查。Mathematics·Calculus极值与最值的区别与联系"极值是局部概念，只能在定义域内部取得；最值是整体概念，可以在端点取得。极值有可能成为最值，若区间内有唯一极值，则这个极值就是最值。"区别对比极值：局部概念。只能在定义域内部取得。在指定区间上可能不止一个，也可能一个都没有，具有不确定性。极值点处函数值可能相等，也可能不相等。最值：整体概念。可以在区间的端点处取得。在指定区间上最多有一个最大值和一个最小值，具有唯一性。最值是函数在整个区间上的整体表现。内在联系极值有可能成为最值。最值只要不在区间端点处取得，必定是极值。两者在内部点处可能重合。极值点是最值点的候选，需比较所有极值与端点函数值。在区间[a,b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)，若有唯一的极值，则这个极值就是最值。这一性质可简化最值判断过程，避免繁琐的端点比较计算，提高解题效率。核心辨析极值点与导数为零的关系辨析对于可导函数f(x)，f'(x₀)＝0是函数在x＝x₀处有极值的必要不充分条件，导数为零不一定是极值点。例如f(x)＝x³，f'(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为导数在x=0左右两侧符号相同，均为正，函数单调递增。极值点也可以是不可导的点，如函数y=|x|，在极小值点x=0是不可导的，左导数-1右导数1，不相等。结论：x₀为可导函数f(x)的极值点推出f'(x₀)=0，但反之不成立，需检验符号。"判断极值需看导数是否变号。导数为零只是驻点，未必是极值点。"图：y=x³在x=0处导数为零但无极值的图像示意Chapter03七大题型突破Calculus·Derivatives题型一：求函数的极值与极值点求已知函数极值需严格遵循定义域、求导、求根、检验四步。建议采用列表法，清晰展示x变化时f'(x)符号及f(x)单调性的变化情况，规范解题格式，避免逻辑跳跃导致失分。标准解题四步先确定函数f(x)的定义域，求导数f'(x)，求方程f'(x)=0的根，这些根将定义域划分为若干区间。通过列表法整理各区间信息，使解题过程条理清晰、逻辑严密。符号检验法则检验f'在方程f'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；反之则取得极小值。列表法规范建议采用列表法，列出x、f'(x)、f(x)的变化情况表，清晰展示单调区间与极值点，规范解题步骤。表格应包含定义域划分、导数符号、函数单调性及极值结论。概念辨析注意极值点不是点，若函数f(x)在x₁处取得极大值，则x₁为极大值点，极大值为f(x₁)，表述要准确。极值是函数值，极值点是自变量的取值，二者不可混淆。导数应用题型一：典型例题解析"例题f(x)=lnx-ax展示了含参函数求极值的基本流程。当a=1/2时，通过求导得f'(x)=(2-x)/2x，令f'(x)=0得x=2。经检验x=2左侧导数正右侧负，故为极大值点，极大值为ln2-1。"01已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，当a＝1/2时，f(x)＝lnx－1/2x，定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＝1/x－1/2＝(2-x)/2x02令f'(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表，x在(0,2)时f'(x)为正，f(x)单调递增03x在(2，＋∞)时f'(x)为负，f(x)单调递减，所以函数在x=2处取得极大值，极大值为f(2)=ln2-1，无极小值04解题关键在于准确求导并解方程，列表检验符号变化，确保极值点判断无误，计算过程要细致避免代数错误x变化时f'(x),f(x)变化情况表x(0,2)2(2,+∞)f'(x)＋0－f(x)↗极大值↘列表法清晰展示单调性与极值题型一：变式训练与总结函数极值点个数讨论核心思想讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数，需对参数a进行分类讨论。核心标准是导数零点的存在性与变号情况，通过分析导函数f'(x)的符号变化来确定极值点。情形一：a≤0当a≤0时，f'(x)＝1/x－a>0在(0,＋∞)上恒成立。函数在整个定义域内单调递增，无极值点，导数无变号零点，图像呈持续上升趋势。情形二：a>0当a>0时，令f'(x)＝0得x＝1/a。在(0,1/a)上f'(x)>0，在(1/a,＋∞)上f'(x)<0，函数先增后减，在x=1/a处取得唯一极大值点。结论总结综上，当a≤0时无极值点，当a>0时有一个极值点。分类讨论思想是解决含参函数问题的核心方法，需根据参数范围划分不同情形逐一分析。导数应用·极值问题题型二：根据极值、极值点求参数已知函数在某点取得极值求参数，利用必要条件f'(x0)=0建立方程求解。求出参数后必须检验，确认该参数下x0两侧导数符号相反，排除导数不变号的增根情况。必要条件建方程：已知函数f(x)在x＝x0处取得极值，则必有f'(x0)＝0，利用此必要条件建立关于参数的方程，解出参数值。必须检验防增根：求出参数后必须检验，确认该参数下x0两侧导数符号相反，排除导数不变号的增根情况，确保是极值点。联立方程求解：若已知极值大小，还需将x0代入原函数f(x0)=极值，建立第二个方程，联立求解参数，增加约束条件。易错点警示：此类问题易错点在于忽略检验，求出参数后直接作答，可能导致导数符号未变，x0不是极值点的错误。图：数学方程求解与参数计算的抽象概念示意Module03·CalculusApplication题型二：典型例题解析KeyInsight例题已知f(x)=2lnx+ax²-3x在x=2处取得极小值，利用f'(2)=0建立方程1+4a-3=0，解得a=1/2。经验证a=1/2时导数在x=2左侧负右侧正，符合极小值条件。01已知函数f(x)＝2lnx＋ax²－3x在x＝2处取得极小值，由极值点必要条件得f'(2)＝0，建立关于a的方程02由f'(x)＝2/x＋2ax－3，得f'(2)＝2/2＋4a－3＝0，即1＋4a－3＝0，解得a＝1/2，计算过程需准确03经验证符合题意，当a=1/2时，f'(x)=2/x+x-3=(x-1)(x-2)/x，在x=2左侧(1,2)导数负，右侧(2,+∞)导数正04导数在x=2处由负变正，函数先减后增，故x=2为极小值点，a=1/2符合题意，检验步骤不可省略MODULE03·DERIVATIVEAPPLICATION题型二：参数范围讨论策略针对极值点位置受限问题，通过导函数零点分布快速锁定参数区间。KeyInsight"当极值点位置受限时，如x₁<2<x₂，转化为导函数零点分布问题。利用二次函数图像特征建立不等式求解，避免求根公式的复杂计算。"转化思路设x₁，x₂是函数f(x)的两个极值点，若x₁＜2＜x₂，则实数a的取值范围可通过导函数零点分布求解。构建不等式由题意得f'(x)＝3x²－4ax＋a²的两个零点x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂，所以f'(2)＝12－8a＋a²＜0。求解过程解不等式a²-8a+12<0，得2＜a＜6。此方法避免了求根公式的复杂计算，直接利用函数值符号判断根的位置。策略核心将极值点位置关系转化为导函数在特定点的符号，结合二次函数图像开口方向，快速确定参数范围。核心考点·导数应用题型三：求函数的最值（不含参）求不含参函数在闭区间上的最值，遵循“先求极值，再算端点，最后比较”的三步法。最大值与最小值必在极值点或端点处取得。1求导找驻点：已知函数f(x)＝x³－12x＋8在区间[－3,3]上，令f'(x)＝3x²－12＝0，解得x＝±2，均在区间内。2计算关键点值：计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1。需计算所有极值点及端点处的函数值，不可遗漏。3比较得结论：比较得M＝24，m＝－8，故M－m＝32。最大值在极值点x=-2处取得，最小值在极值点x=2处取得。4避坑指南：此类题目计算量较大，需细心计算每个点的函数值，比较时注意正负号，避免大小比较错误导致失分。导数应用题型四：求函数的最值（含参）含参函数求最值需分类讨论参数对极值点位置的影响。讨论极值点是否在区间内，若在区间内则比较极值与端点，若不在则函数单调，最值在端点。逻辑需严密，不重不漏。难点分析：参数影响极值点位置，需讨论极值点是否在给定区间内，分情况确定最值取得位置。区间内极值点：最值可能是极值或端点值，需全部计算比较，取最大者为最大值，最小者为最小值。区间外极值点：函数在区间上单调，最值必在端点取得，单调递增时右端点最大，单调递减时左端点最大。分类标准：通常是极值点与区间端点的大小关系，需画出数轴辅助分析，确保讨论情况不重不漏，逻辑清晰。图：含参函数极值点与区间位置关系的数轴示意图导数应用题型四：典型例题解析含参最值问题解题框架：先求导数零点，讨论零点与区间端点位置关系。分零点在区间左、中、右三种情况，分别确定单调性，计算对应最值，最后综合写出分段函数形式的最值结果。STEP01解题第一步求导数f'(x)并解f'(x)=0得零点x₀，分析x₀与参数a的关系，确定x₀随a变化的移动规律。STEP02讨论x₀与区间[m,n]的位置关系，分x₀≤m、m<x₀<n、x₀≥n三种情况，分别判断函数在区间上的单调性。STEP03当m<x₀<n时，函数先增后减或先减后增，最值在x₀或端点处取得，需计算f(x₀)、f(m)、f(n)并比较大小。STEP04最后综合三种情况，写出分段函数形式的最值结果，注意各段参数范围的衔接，确保定义域覆盖所有实数。导数应用·参数求解题型五：根据最值求参数已知函数最值求参数，需判断最值取得位置。若在极值点取得，联立f'(x₀)=0与f(x₀)=最值求解；若在端点取得，直接令f(a)=最值或f(b)=最值。解出参数后需验证是否符合题设条件。极值点取得最值若函数在区间内存在极值且最值在极值点取得，则联立f'(x₀)=0与f(x₀)=最值建立方程组，求解参数值。端点取得最值若函数在区间上单调，最值在端点取得，则直接令f(a)=最值或f(b)=最值，建立关于参数的方程求解。含参分类讨论若含参导致最值位置不确定，需分类讨论最值是在极值点还是端点取得，分别建立方程求解，最后汇总结果。解后验证解出参数后必须验证，确认在该参数下函数确实取得给定的最值，排除单调性不符或极值点位置错误的情况。CalculusApplication题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用导数符号决定单调性：f'(x)>0递增，f'(x)<0递减。单调性是分析极值与最值的基础，需优先确定。单调性变化产生极值：由增变减为极大值，由减变增为极小值。极值点是单调区间的分界点，即图像上的峰谷。极值与端点比较得最值：在闭区间上，最大值是极大值与端点值最大者，最小值是极小值与端点值最小者。数形结合是利器：解题时应画出函数草图，直观展示走势，辅助判断最值位置，避免盲目计算。"单调性、极值、最值三者紧密关联。导数符号决定单调性，单调性变化产生极值，极值与端点比较得最值。"图：函数单调性、极值与最值关系综合示意图CalculusApplication题型六：综合应用例题解析综合题解题流程：先求导分析单调性，画出函数草图，直观确定最值点位置。若已知最值，列方程求参。草图能辅助判断最值是在极值点还是端点，减少计算量，提高解题准确率。Step01求导分析单调性解题流程先求导分析单调性，确定极值点位置，画出函数草图，直观展示函数在区间上的走势与高低点。Step02确定最值点位置根据草图确定最值点位置，若最高点在极值点，则最大值为极值，若最高点在端点，则最大值为端点函数值。Step03列方程求解参数若已知最值求参数，根据确定的最值点位置列方程，如f(x₀)=M或f(a)=M，解出参数并验证单调性是否符合。KeyInsight草图辅助判断草图能辅助判断最值是在极值点还是端点，减少计算量，提高解题准确率，避免漏算端点或极值点导致错误。核心考点题型七：不等式恒成立与存在性问题不等式恒成立问题常用分离参数法，将不等式转化为f(x)≥a或f(x)≤a，进而转化为求f(x)最小值或最大值。若f(x)min≥a则恒成立，将不等式问题转化为函数最值问题求解。不等式f(x)≥a在区间D上恒成立，等价于f(x)min≥a，需先求函数f(x)在区间D上的最小值，再解不等式不等式f(x)≤a在区间D上恒成立，等价于f(x)max≤a，需先求函数f(x)在区间D上的最大值，再解不等式分离参数法将参数a移到一边，函数f(x)移到另一边，避免对参数分类讨论，简化计算，是解决恒成立问题的通法若函数f(x)在区间D上不存在最大（小）值，且值域为(m,+∞)，则不等式f(x)>a恒成立等价于m≥a，需注意开闭区间核心概念辨析题型七：不等式存在性问题f(x)≥a有解等价于f(x)max≥a。只需函数最大值大于等于a即可，无需所有点满足。f(x)≤a有解等价于f(x)min≤a。只需函数最小值小于等于a即可，存在一个点满足即可。存在性vs恒成立存在性问题要求比恒成立低。恒成立需区间内所有点满足，存在性只需有一个点满足。解题时务必区分量词。解题判定策略若f(x)在区间D上存在最小值m和最大值M，只需比较参数a与m、M的关系即可快速判断不等式是否有解。导数应用·题型七综合例题解析不等式综合题解题核心在于分离参数构造新函数g(x)，通过求导分析单调性与极值，将参数范围问题转化为函数最值问题。01分离参数，构造新函数将原不等式转化为a≤g(x)或a≥g(x)形式，使参数独立于一侧，构建不含参的新函数g(x)。02求导分析，确定最值求g(x)导数g'(x)，解g'(x)=0找极值点，分析单调性，准确计算g(x)在给定区间上的最小值或最大值。03建立不等式，求解范围根据恒成立条件，令参数a小于等于最小值或大于等于最大值，建立关于a的不等式，注意开闭区间的取舍。04技巧与简化核心是构造函数的技巧与求导过程。若构造复杂，可考虑换元法简化函数结构，确保新函数可导且易求最值。Chapter04易错点与课堂总结易错警示导数为零不一定是极值点必要不充分条件：f'(x₀)=0是x₀为极值点的必要不充分条件。导数为零的点称为驻点，驻点不一定是极值点，需进一步检验。反例y=x³：在x=0处f'(0)=0但无极值。因为导数在x=0左右两侧均为正，函数单调递增，无单调性变化。判定法则：判断极值必须检验导数在x₀左右两侧符号是否相反。若符号相同则函数单调，无极值，检验步骤不可省略。KeyInsight"f'(x₀)=0是x₀为极值点的必要不充分条件。判断极值必须检验导数在x₀左右两侧符号是否相反，若符号相同则函数单调，无极值。"反例图示：y=x³y=x³f'(0)=0（导数为零）x<0时f'(x)>0（单调递增）x>0时f'(x)>0（单调递增）左右导数同号→无极值点图：y=x³在x=0处导数为零但无极值的函数特征CommonMistakes易错点：极值不一定是最值概念辨析极值是局部概念，最值是整体概念。极值不一定是最值，最值可能是端点值，两者定义域范围不同。解题步骤求闭区间最值时，必须将