安徽省宣城市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省宣城市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−2i)z−=1+i，则|z|=A.55 B.25 C.22.已知集合A={0,tanπ3,sin3,cos4},B={x|0<x<1}，则集合A∩A.1 B.2 C.3 D.43.已知非零向量a,b的夹角为π3，若a在b上的投影向量为12b，且(A.3 B.2 C.3 D.4.“sin(3π2+α)=−13A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则(x+1)f(x)>0的解集为(

)A.(−2,2) B.(−∞,−2)∪(1,2)

C.(−1,2) D.(−2,−1)∪(0,2)6.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n+1，bn=3n−1，将数列{an}，{A.2n2−3n B.3n2+2n7.已知函数f(x)=x2−x,x∈[0,2]2f(x−2),x∈(2,+∞)，则曲线f(x)在点(3,f(3))A.2x+y−6=0 B.3x+y−10=0 C.2x−y−6=0 D.3x−y−10=08.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),A(4,0)，若圆M：(x+4)2A.(1,3] B.[3,+∞) C.(1,32]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校进行数学竞赛，将120名参赛学生的成绩整理如下：成绩(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数82236281610根据表中数据，下列结论正确的是(

)A.这120名学生成绩的极差一定为60分

B.这120名学生成绩的平均数大于65分

C.这120名学生成绩的中位数不小于70分

D.这120名学生成绩大于70分的人数所占比例不超过50%10.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A.该四棱台的高为6

B.AA1⊥CC1

C.11.已知A(−3,0),B(3,0)，动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率乘积为−13，设点P的运动轨迹为曲线C，过点P的直线lA.点P的轨迹方程为x23+y2=1 B.△PAB面积的最大值为3

C.不存在点P，使得∠APB=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.现将A，B，C，D，4位民警派往甲，乙，丙，丁4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有

种(用数字作答)．13.已知正项数列{an}满足log2an+1=log214.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(1−ax)是偶函数，则函数f(x)的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−3c．

(1)求角B的大小；

(2)若a=4，AC边上的中线BM长为13,∠BAC的角平分线AD交BC于点D16.(本小题15分)

某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为12，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为34；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为14，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功．

(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；

(2)记X为参赛居民中闯关成功的人数，求17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB的中点，E为AD上靠近D点的三等分点，PA=AB=3，BC=2．

(1)求证：AD⊥平面PBC；

(2)求PE与平面ACD所成角的正弦值；

(3)在线段PC上是否存在点F，使得EF//平面ABC，若存在，请说明点F的位置，若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=eax−3x+2(a∈R)．

(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若对任意的实数k、b，曲线y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f(x)是“A函数”.若当a=1时，函数g(x)=ex[f(x)+x−2]+m是“19.(本小题17分)

已知定点P(1,1)，过点P作直线PQ⊥x轴于点Q，M是直线OP(O为坐标原点)上任意一点，过M作MN⊥x轴于点N，作ME⊥PQ于点E，直线OE与MN相交于点W，设点W的轨迹为曲线Γ．

(1)求曲线Γ的方程；

(2)过点H(0,1)的直线m交曲线Γ于A，B两点，过点H且与直线m垂直的直线n交曲线Γ于C，D两点，证明：直线AD与直线BC的交点在定直线上．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】10

13.【答案】−5

14.【答案】(−∞,ln3]

15.【答案】解：(1)根据题意2bcosC=2a−3c，且sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，

根据正弦定理得2sinBcosC=2sinA−3sinC=2sinBcosC+2sinCcosB−3sinC，

化简得2sinCcosB=3sinC，因为sinC>0，

因此cosB=32，又因为B∈(0,π)，

因此B=π6；

(2)根据题意，在三角形ABC中，AC边上的中线BM长为13，

得2BM=BC+BA，

得4|BM|2=|BC|2+|BA|2+2|BC|⋅|BA|cosB=a2+c2+2ac×316.【答案】解：(1)设事件A为“第一轮基础知识作答成功”，事件B为“第二轮拓展知识比拼成功”，

由题意可知，P(A)=12，则P(A−)=1−12=12,P(B|A)=34,P(B|A−)=14，

根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=12×3417.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

因为AD⊂平面PAB，所以AD⊥BC．

因为D为PB的中点，P A=A B，

所以AD⊥PB．

又因为PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

所以AD⊥平面PBC．

(2)由题意，以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(−2,3,0)，P(0,0,3)，

D(0,32,32)，所以AD=(0,32,32),AC=(−2,3,0),AE=23AD=(0,1,1)，

故E(0,1,1),PE=(0,1,−2)，

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥ACn⊥AD，则n⋅AC=−2x+3y=0n⋅AD=32y+32z=0，

取n=(3,2,−2).设PE与平面ACD

设直线PE与平面ACD所成角为θ，

则sinθ=|cos〈PE,n〉|=|PE⋅n||PE|⋅|n|

=65×17=6858518.【答案】解：(1)因为f(x)=eax−3x+2(a∈R)，

所以当a=1时，函数f(x)=ex−3x+2，求导得f′(x)=ex−3，

当x>ln3时，f′(x)>0，即f(x)在(ln3,+∞)上单调递增；

当x<ln3时，f′(x)<0，即f(x)在(−∞,ln3)上单调递减，

所以f(x)有极小值f(ln3)=eln3−3ln3+2=5−3ln3，无极大值．

(2)因为f(x)=eax−3x+2，所以f′(x)=aeax−3，其中x∈R，

当a≤0时，f′(x)=aeax−3<0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)=aeax−3=0，得aeax=3，所以x=ln3aa=ln3−lnaa，

又因为f′(x)=aeax−3为增函数，

所以当x>ln3−lnaa时，f′(x)>0，f(x)在(ln3−lnaa,+∞)上单调递增；

当x<ln3−lnaa时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,ln3−lnaa)上单调递减；

综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,+∞)，无单调递增区间；

当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,ln3−lnaa)，单调递增区间为(ln3−lnaa,+∞)．

(3)因为f(x)=eax−3x+2，

所以当a=1时，g(x)=ex[f(x)+x−2]+m=ex(ex−2x)+m是“A函数”，

则g′(x)=ex(ex−2x)+e19.【答案】解：(1)因为PQ⊥x轴且过P(1,1)，所以PQ的方程为x=1，

又ME⊥PQ，PQ⊥x轴，故ME⊥y轴，设直线ME的方程为y=t，则E的坐标为(1,t)．

因为点M在直线OP：y=x上，且点M的纵坐标为t，故点M的坐标为(t,t)，则直线MN的方程为x=t，

所以直线OE的方程为y=tx，

直线MN的方程为x=t，与y=tx联立，可得交点W的坐标为(t,t2)，