MATLAB之小波包变换

MATLAB之小波包科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号（语音、音乐、医学信号、图像……)的分析、加工、识别、传输和压缩、存储等问题。

Fourier变换加窗Fourier变换小波变换小波包变换Fourier变换：使用的是一种全局的变换，无法表述非平稳信号最根本和最关键的时—频局域性质。加窗Fourier变换：把时域和频域分解为大小相等的小窗口，对信号的任何部分都采用相同的时间和频率分辨率，不能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号。小波变换：是一种窗口大小（即窗口面积)固定但形状可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时—频局部化分析方法，在高频段频率分辨率较差，而在低频段时间分辨率较差。小波包变换：将频带部分多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应的频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时频分辨率。

小波包的定义一个逼近空间的小波分解及小波包分解

小波分解

小波包分解小波变换的多分辨分析仅将光滑分量（低频信号)逐级进行分解，而细节分量（高频信号)却没有进行逐级分解。随着分解级数增加，相应的小波基函数的频域分辨率变好，而时域分辨率变差。

小波包变换在多分辩分解的基础上将各尺度下的细节分量作进一步分解，从而实现对随尺度变小而变宽的频率窗口再划分，提高信号高频部分频率的分辨率，使故障特征提取能够在更加细化的频带内进行

。

小波正交基:在上图的二分树上取一组子空间集合，如果其直和恰能将V3空间覆盖，相互间又不重叠，则这组空间集合的正交规范基便组成一个小波包正交基。

最佳小波包基的选取信息代价函数把信号

在一个正交小波包基下展开，使得它与一个小波包系数序列对应,我们在该序列上定义一个信息代价函数M,它满足如下两个条件：（1）可加性条件（2）代价函数M的取值应该反映系数的集中程度。最佳小波包基对于一个给定信息代价函数M,小波包基B称为信号f(t)相对于该代价函数

的最佳基，如果在的所有小波包基中，f(t)在小波包基B下对应的小波包系数序列具有最小的信息代价值。

常用的一些信息代价函数:（1）幅值大于某阈值的系数个数（2）

范数的集中度（concentration）

（3）对数熵，约定（4）信息熵常用的一些信息代价函数:1、数列中大于给定门限的系数的个数。即预先给定一门限值，并计数数列中绝对值大于的元素的个数。2、范数。3、熵。常用的一些信息代价函数:4.能量对数。

代价函数的基本要求：

1.单调性。

2.可加性（次可加性）

"最优基”的搜索方法：在一般情况下,具有最小代价函数值的序列不易计算出来。所幸的是,在实际应用中我们通常考虑的是L2(R)的一个子空间的小波包分解,这种分解可以用一个小波包二叉树表示,我们可以采取自底向顶的快速搜索法发现最佳小波包基。例:(1)(2)(3)(4)如果原信号的长度为

，则最佳基算法的计算复杂度为小波包的压缩和重构方法由于小波包对信号进行了更细致的频率划分,将不同的频率分量分解到相应的频段上,这些分量具有不同的频率特性,其小波包分解系数间的关系也不一样,对每个节点上的分解系数分别设定阈值,将更有利于保留有用信息,舍弃噪声点,因此比直接小波分解进行压缩和采用统一的阈值进行压缩的效果更好。以2阶小波包分解为例,将信号分解后,对每个节点系数分别设定不同的阈值后得到保留的有用系数,最后再重构回原信号。小波包的分解和重构利用了改进的快速算法,大大减少了计算量。信号小波包分析的基本实现步骤如下：1、选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。2、选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。3、对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。4.对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。小波与小波包消噪方法比较原始信号小波去噪小波包去噪小波分解与小波包分解都能去除振动信号中的噪声，而小波包去噪明显优于小波去噪的结果：1、小波包去噪时对信号在低频段和高频段同时进行正交分解，能保留更多的高频分量在逼近信号中,无冗余、无泄漏、信息量更完整；2.小波包分析去噪时可以得到任意频段的频率成分，比小波去噪具有更为精确的局部分析能力，大大提高了信号的信噪比，为爆破振动信号的研究获得更加准确的信息。Fourier变换加窗Fouri