新版华师大版九年级上册数学全册教学设计（配2026年秋改版教材）

华师大版九年级上册数学全册教学设计(配2026年秋改版教材)m)满足关系h=5²,如果用(10√(a-b)²(ab≥0).2是非负数.例2求使下列式子有意义的x的取值范围.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题例4先观察下列等式，再回答下列问题.(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数),解析：(1)从三个等式中可以发现.等号右边第一个加数都是1.第二个加数是个分数.设分母为n,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数，整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子，解：为正整数),方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.三、板书设计1.二次根式的定义2.二次根式有意义的条件通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣，41.掌握二次根式乘法法则；(重点)2.会进行二次根式的乘法运算，(重点、难点)小颖家有一块长方形菜地，长√6m,宽√3m,那么这个长方形菜地的面积是多少?探究点：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件例1式子√x+1√2-x=√(x+1(2-x)解析：根据题意得解得方法总结：运用二次根式的乘法法则：√avb=Vab(a≥0,b≥0),均是非负数这一条件，【类型二】二次根式的乘法运算解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用.计算时注意最后结果要化为最简形式.方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.三、板书设计二次根式的乘法二次根式的乘法法则成立的条件二次根式的乘法二次根式的二次根式乘法的应用在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程。对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则，在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.2.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.(难点) 探究点一；积的算术平方根的性质方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简，探究点二：二次根式乘法的综合应用它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算，三、板书设计1.二次根式的乘法法则：用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小于学生合作精神的培养.1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算：(重点)2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)7计算下列各题，观察有什么规律?二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算.若被开方数是分数.则被开方数相除时.可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算.再进行约分.方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.【类型二】二次根式的乘除混合运算解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算。8方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数，探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围例3若则a的取值范围是()A.a<2B.a≤2解析：根据题意得解得0≤a<2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件，【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式例4化简：解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式。探究点三：最简二次根式例5在下列各式中，哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.解：(1N45=3√5,被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；,被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式。方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式，探究点四：二次根式除法的综合运用例6座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T=其中T表示周期(单位：秒),1表示摆长(单位：米),g=9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多解析：由给出的公式代入数据计算即可，要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周解：2(次),∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次方法总结：解决本题的关键是正确运用公式。用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.1.二次根式的除法运算2.商的算术平方根3.最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质，在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向.在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展，1.会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题，(难点)3.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.(难点)一、情境导入18m²的正方形铺不同颜色的地砖，问能解析：利用最简二次根式的概念求出a,b的值，再代入a+b求解即可.建立方程或方程组求解.【类型一】二次根式的加减运算【类型二】二次根式的四则运算【类型三】二次根式的化简求值解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.【类型四】二次根式运算在实际生活中的应用例5母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm²,另一张面积为450cm²,他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗?如果不够，还需买多长的金色细彩带(√2≈1.414,结果保留整数)?=197.96(cm).因为1.2m=120cm<197.96cm,所以小号的金色细彩带不够用.197.96-120=77.96≈78(cm),即还需买78cm的金色细彩带.结果的要求.2.二次根式的加减的二次根式进行合并.3.二次根式的四则运算先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识.在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识，参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型?探究点一；一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()A.B.3x²-2xy-5y²=0C.(x-1)(x-2)=3解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a=0时，选项D中的方程不含二次项，所以方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程.必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可.【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数例2关于x的方程(k+1)x-¹+kx+1=0是一元二次方程，则k的值为_n解析：由题意得方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2,构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值.探究点二；一元二次方程的一般形式例3将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(4)(3x-5)(x+1)=7x-2.解析：光分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称.解：(1)方程化为一般形式为3x-5x-2=0,二次项系数是3,一次项系数是一5,常数项是-2.(2)方程化为一般形式为9x-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是-16.(3)方程化为一般形式为6x+2x-17=0,二次项系数是6,一次项系数是2(4)方程化为一般形式为3x-9x-3=0,二次项系数是3,一次项系数是一9,常数项方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号，探究点三：列一元二次方程例4在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m².已知床单的长是2m,宽是1.4m,求花边的宽度，请根据题意列出方程，解析：设花边的宽度为Am,则由图可知剩下部分的长为(2-2x)m,剩下部分的宽为(1.4-2x)m.∵剩下部分面积为1.6m²,∴可列方程(2-2x)(1.4-2x)=1.6.探究点四：一元二次方程的解例5方程x²-2x=0的解为()解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x₁=0,x=2都能使方程x-2x=0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.C.0D.无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(—1)+1+1=0,解得m=-1,此时m1=-2≠0,方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.三三、板书设计确定二次项、一次教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.第1课时.直接开平方法2.运用开平方法解形如(x+m²=n的方程.3.体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣.一、情境导入一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x,根据正方形的面积可列出怎样的方程?用怎样的方法可以求出所列方程的解呢?探究点：直接开平方法例1运用开平方法解下列方程：(2)(x+3)²-2=0.解析：(1)先把方程化为x=a(a≥0)的形式：(2)原是2的平方根，从而可以运用开平方法求解.解：(1)由4x²=9,得两边直接开平方，得∴原方程的解是居方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x=√a,x=-√a.【类型二】直接开平方法的应用例2若一元二次方程ax²=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,解析：∵ax³=b,∴方程的两个根互为相反数，∴+1+2m-4=0,解得M=1,∴一元二次方程ax=b(ab>0)的两个根分别是2与-2,故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用例3若一元二次方程(a+2)x-ax+a-4=0的一个根为0,则a=_【类型四】直接开平方法的实际应用例4有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米?分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计因为边长为正，所以x=-15不合题意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的边长应为方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去。复习平方根与开平方复习平方根与开平方复习完全平方式探索配方法解一元二次方程相关例题○相关例题探索开平方法解一元三次方程配方法教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.1.认识用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.一、情境导入探究点一：用因式分解法解一元二次方程例1用因式分解法解下列方程：(2)(x-5)(x-6)=x-5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法，一7)=0,∴x-5=0或x-7=0,.原方程的解为x=5,=7.(2)4(x-3)²-25(x-2)²=0.(2)[2(x-3)]²-[5(x-2)]²=0,[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5复习因式分解虑公式法.李老师让学生解一元二次方程x-6x-5=0,同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……,你能按照他的想法求出这个方程的解吗?探究点：配方法【类型一】配方例1用配方法解一元二次方程x-4x=5时，此方程可变形为()解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可，因为x-4x=5,方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方，【类型二】利用配方法解一元二次方程例2用配方法解方程：x-4x+1=0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x+m)²=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式.【类型三】用配方解决求值问题解：原方程可化为(x+2)²+(y-3)⁸=0,∴(x+2)²=0且(y-3)²=0,∴x=-2且y=例4(1)用配方法证明2x-4x+7的值恒大于零；零.解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”,只需证明二次项系数面—8m+17的值不等于0.探索配方法解一元二次方程探索开平方法解一元二次方程配方法教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会用公式法解一元二次方程.(重点)如果这个一元二次方程是一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),它们的两根?请同学独立完成下面这个问题，你能否用配方法的步骤求出二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程例1方程3x²-8=7x化为一般形式是,其中a=_,b=C=,方程的根为解析：将方程移项可化为3x²-7x-8=0.其中a=3,b=-7,c=-7)²-4×3×(-8)=145>0,代入求根公式可得故答案分别为3x²-7x-8=0,3,-7,-8,方法总结：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.例2用公式法解下列方程：(3)x²-2x+1=0.解析：先确定a,b,c及b²-4ac的值，再代入公式求解即可.解：(1)-3x²-5x+2=0,3x²+5x-2=0.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,c的值，再求出b²-4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).【类型二】一元二次方程解法的综合运用例3三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x-10x+21=0的解，则第三边的长为()C.7或3D.无法确定解析：解一元二次方程x-10x+21=0,得x=3,=7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4<x<8.所以第三边的长x=7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍.一元二次方程的用公式法解一元二次方程经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程.体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯1.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力.老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小例1不解方程，判断下列方程的根的情况.(3)x-x+1=0.相等的实数根.取值范围是()C.aK2且a≠1D.x-2+c²=0没有实数根.x的一元二次方程.∴△=(b²+c²-a²)²-4b²c²=(b²+c²-a²+2bc)(b²+c²-a²-2bc)=[(b+c²-a²][(b-c²-a²]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)b-c-a)=(a+b+c)b>c,b+c>a,a+c>b(b+c)-a>0,(a+b)-c>0,b—(a+c)<0,∴(a+b+c)[(b+c方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定△符号，例4是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m²x²-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由，设矛盾.∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒：在求出m=0后，常常会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面。三、板书设计一元二次方程根的判一元二次方程根的判利用根的判别式别式与三角形的综合解决存在性问题根据一元二次方程根的情利用根的判别式判断-况确定字母的取值范围元二次方程根的情况本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题，一般地，对于关于x的方程x+px+q=0(p,q试用求根公的值，你能得出什么结果?【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程例2已知一元二次方程的两根分别是4和-5,则这个一元二次方程是()A.x-6x+8=0C.x-x-6=0解析：∵方程的两根分别是4和-5,设两根为x,差，则x十x=-1,x·=-20.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解解析：设另一根为折，则由根与系数的关系得x+4=3,∴=-1.故答案为x=-1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决.【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数例4关于x的方程x-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是() a,n龙=2a,∴a³-2×2a=5.解得a=5,a=-1.又∵△=a-8a,当a=5此时方程无实数根，所以舍去a=5.当a=-1时，△>0,此时方程有两实数根.所以取&式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件△≥0,导致解答不全面，【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用例5已知x、n是一元二次方程(a-6)x+2ax+a=0(1)是否存在实数a,使一x十x=4+x成立?若存在，求出a的值；若不存在，请你*,解得a=24.经检验a=24是方的解.即存在a=24,负整数，则6-a为一1或—2,一元二次方程根一元二次方程根与系数的关系一元二次方程确定方程或字母的取值复习求根公式教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住△≥0这个前提条件.21.3实践与探索第1课时图形变换和面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题，2.继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题.3.通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗?例1用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长A.x(5+x)=6B.C.x(10-x)=6D解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5一x)米，根据它的面积为6平方米，即可列方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程，解析：设小正方形的边长为Acm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程，解：设小正方形的边长为zcm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80-2x)(60—2x)=1500,整理得x-70x+825=0,解得x=55,无=15.又60-2x>0,∴x=55(舍).∴例3如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22-x)米，宽为(17-x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22-x)(17-x)=300.图形面积问题图形面积问题用一元二次方程解决面积问题的动点问题形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好，1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题，2.会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题。月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株?探究点：用一元二次方程解决增长率问题例1某工厂一种产品2027年的产量是100万件，计划2029年产量达到121万件。假设2027年到2029年这种产品产量的年增长率相同.(1)求2027年到2029年这种产品产量的年增长率；(2)2028年这种产品的产量应达到多少万件?解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2028年产量的表达式即可解决，解：(1)设这种产品产量的年增长率为x,根据题意列方程得100(1+x)²=121,解得x=0.1,=-2.1(舍去),答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1+10%)=110(万件).答：2028年这种产品的产量应达到110万件，方法总结：增长率问题中可以设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n,则增长后的结果为a(1+x)°;而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1-x)°.例2某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平.(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润?(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x,根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍：(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入+以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入一每个月的维护费，然后解不等式，解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x,根据题意有100+100(1+)+100(1+x)²=364,即25x+75x-16=0,解得，x=-3.2(舍),x=0.2,所以2月，3月生产收入(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364+100(1+20%)²(m—3)-640≥90m-5m,解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解，例3一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元.请问该校共购买了多少棵树苗?解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价=数量×单价”就可求解.解：∵60棵树苗售价为120元×60=7200元<8800元，∴该校购买树答：该校共购买了80棵树苗，例4菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售。由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.案更优惠?请说明理由.分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x,列一元二次方程求出x,舍去不合题意的解：第(2)小题通过计算进行比较即可求解.(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元);方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000(元),∵14400<15000,小解应用题的一般步骤利润问题探究用一元二次方程解决增长率问题教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.1.学习并掌握比例线段的相关概念及其性质；(重点)2.掌握成比例线段的判定方法.(难点)3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应探究点一；线段的比【类型一】求线段的比解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一，方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再【类型二】比例尺例2在比例尺为1:50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的实际距离是_m.解析：设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1:50000=3:x,解得x=150000.150000cm=1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例例3下列四组线段中，是成比例线段的是()解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例四个选项中，只有C项排列后有故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】由线段成比例求线段的长即解得【类型一】利用黄金分割进行计算【类型二】黄金分割的实际应用解：根据黄金分割的定义，可知,.,∴AD=AB1.成比例线段成比例线段：四条线段a,b,c,d,如果a与b的比等于c与d的比，即那么这简称比例线段2.黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.(梯子是我们生活中常见的工具.造出方程，解方程求出待求线段长.例2如图所示，直线1//L₂//1,A下列比例式中成立的是()BCC方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：探究点二；平行线分线段成比例的推论易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP:CP,又含有BD,故可考虑过点C作PD的平行线CF,便可以构造出此时只需证得CE=DF即可，方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式。如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式。三、板书设计平行线成比例(基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点)3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.(难点)一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢?例1下列图形都相似吗?为什么?(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰三角形；(6)所有等腰梯形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形.解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A=∠E=80°,∠B=∠F=75°,角形对应边和对应角的方法探究点三：相似多边形的应用个相似四边形AEFD和EBCF.若AD=3,BC=4,求AE;EB的值.所以AE:EB=AD:EF=例4在AB=20m,AD=30m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等，如图①,那么小路四周所围成的矩形A'B'CD′和矩形ABCD相似吗?请说明理由：(2)如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②,试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A'BCD′和矩形ABCD相似?解析：(1)根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；(2)根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.解：(1)矩形A'BCD和矩形ABCD不相似理由如下：解得x=0.∴当x与y的比值为3:2时，小路四周所围成的矩形A'B'CD和矩形ABCD相似.三、板书设计点)例1如图所示，已知△OAC△OBD,且OA=4,AC=2,OB=2,∠C=∠D,求：解：(1)∵△OAC∽△OBD,∠C=∠D,∴F.若DF=3,则AC的长为()例3如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,点N为BC的中点，AM平分∠BAC,CM⊥AM,垂足为点M,延长CM交AB于点D,【类型一】利用平行判定三角形相似EFB∽△DFC,再进一步求解即可.的△DFC,∴△DFC△EDA,∵AB=3BE,∴相似比分别为1:4,1:3,3:4.例5如图，已知AB//EF//CD,AD与BC相交于点0.AB//CD分线段成比例知BO:OE=AB:EF,结合已知条件求得EF=6;同理由EF//CD6+2=8,即AD的长是8;探究点一：两角分别相等的两个三角形相似这两个三角形相似吗?请说明理由.理由：由三角形的内角和是180°,故△ABC∽△A'B℃(两角分别相等的两个三角形相似).方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件.探究点二：两角分别相等的两个三角形相似的应用例2已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F,求证：解析：要证明|可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论，方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式，BF的长.所以四边形DFCE是平行四边形，所例1如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根解：因三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短(长)边与最短(长)边是对应边，所以在判例3如图甲，小正方形的边长均为1,则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似例4如图所示，零件的外径为a,要求它的厚度x,需求出内孔的直径AB,但不能直接量出AB,现用一个交叉长钳(AC和BD相等)去量，若OA:OC=OB;OD=n,此时解得=1.6.解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形所【类型五】利用相似三角形的性质解决动点问题不重合),Q点在BC上，CP的长；(2)由于△PQC△ABC,根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，迸而可表示出AP、BQ的长，根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键，三、板书设计1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等：3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等.同学们讨论非常激烈，本节课堂教学1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。(难点)胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?探究点一：相似三角形的应用【类型一】利用影子的长度测量物体的高度例1如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长，△ABC中，∵∠A=30°,∴AB=2BC=12m,即树长AB是12m.【类型二】利用镜子的反射测量物体的高度例2小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度，如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20m.当她与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6m,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角=反射角).解析：根据物理知识得到∠BEA=∠DEC,所以可得△BAE△DCE,再根据相似三角方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程.解题【类型三】利用标杆测量物体的高度例3如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9,6m,在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度，【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度例4星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢?”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图),并说明理由，解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高，解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高，方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解.探究点二：相似三角形与几何的综合应用【类型一】相似三角形与直角三角形二比为2:1征?解：(1)(2)(4)三图中的两图形都是位似图形，位似中心分别为A,P,P.的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断(1)(2)(4)是位似图形，(3)不是位似图形.(2)若△ABC的面积为7,求△A'BC的面积.探究点三：位似图形的画法使四边形A'B'CD与四边形ABCD的相似比为2:3;(2)如图乙，已知五边形ABCDE,在位似中心点O的同侧作五边形ABCDE的位似图形A'BCD'E,使五边形A'B'CDE与五边形ABCDE的相似比为1:3;(3)如图丙，已知六边形ABCDEF,位似中心点O在AB边上，在点O的另一侧作位似图形A'B'CD'EF,使六边形A'BCDE'F与六边形ABCDEF的相似比为1:2.解：(1)画法如下：六边形A'B'CD'E'F就是所求作的六边形.若没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便，三、板书设计位似图形及其性质定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一①两个图形相似②对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上性皮③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和找关键点的对应点位似是相似图形的延伸和深化.经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣.位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系.1.了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义：(重点)2.利用坐标表示物体间的位置；(重点)3.建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题，(难点)“怪兽吃豆”是一种计算机游戏，如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位北碰碰车(0,150),动物馆(75,225).北北北(1)图中到小明家距离相等的是哪些地方?解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离。方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序.利用直角坐标系和方位描述物体间的位置将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境：另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究.1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移或对称、位似变换引起的点的坐标的变化规律；(重点、难点)2.使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受到代数与几何的相互转化，初例1将点(1,2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的对应点的坐标是解析：向左平移1个单位，横坐标减1,向下平移2个单位，纵坐标减2,于是点(1,2)变为(0,0).故答案为(0,0).【类型一】利用位似求点的坐标【类型二】在坐标系中确定位似比的位似比是1:3.例5如图，点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).(4)以O为位似中心，按比例尺1:2将△AOB放大后得△A₄O标为(-3,-4);(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A₃O₃B₃,则点A₃的坐标为(3,-4);(4)以0(2)沿y轴平移：横坐标不变，上加下减.2.对称变换的坐标特征：3.位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(一kx,一ky).这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率，第23章解直角三角形1.熟练运用勾股定理进行测量；(重点)胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”,古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?探究点一：利用勾股定理进行测量例1如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳.问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?即可求得AB的值，然后解答即可.知条件转化到同一直角三角形中求解例2如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向√AB²+BC²=√(100√3)²+100²=200(km),∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，探究点二：运用相似三角形解决高度(长度)测量问题例3如图所示，某同学身高(AB)是1.66m,测得他在地面上的影长(BC)为2.49m,如果这时操场上旗杆的影长为42.3m(BE),那么旗杆的高度(DE)是多少米?例4如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点B=180m,DC=60m,EC=50m,则河宽为m.故填150.方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此问接的方式完成，构造相似三角形就是一种行之有效的途径，1.运用勾股定理进行测量；2.运用相似三角形进行测量.本次教学过程是对勾股定理及相似三角形的知识进行系统全面的回顾，教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是发现学生疏忽的知识点，及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础，23.2直角三角形的性质1.理解并掌握直角三角形的性质；(重点)2.能利用直角三角形的性质解决问题.(难点)用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗?说说理由，并把你的发现和大家交流一下.探究点一：在直角三角形中，30°角所对的直例1等腰三角形的一个底角为75°,腰长4cm,那么腰上的高是cm,这个三解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶,故答案为2,4方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键.例2如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向：当船到达C处时恰与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.BDC=60°,∴∠ABD=90°,即△ABD为直角三角形，∴∠ABC=30°∵的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间从A处到D处的时间∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分.(1)线段BF的长；(2)线段EC的长.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,DC=AB∠B=∠C=23.3锐角三角函数1.锐角三角函数【类型一】正弦函数A.2【类型三】正切函数CC例4如图，在△ABC中，∠C=90°,求sinB的值. 在Rt△ACD中，根据正弦的定义得可设AD=12k,AC=13k,再根据勾股定理计算出CD=5k,由于BD=AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36,解得5k.∵BD=AC=13k,∴BC=BD+CD=13k+5k=36,三、板书设计2.余弦的定义3.正切的定义4.求三角函数值学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学.在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题。(难点)问题1:一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的?问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值，探究点一；特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算(1)2cos60°·sin30°-√6si解析：将特殊角的三角函数值代入求解.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值.【类型二】已知三角函数值求角的取值范围例2若则锐角α的大致范围是()方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.【类型三】根据三角函数值求角度A.20°B.30°C.40°D方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.【类型二】判断三角形的形状和为0时，则其中的每一项都必须等于0.三、板书设计12.应用特殊角的三角函数值解决问题.了整体的复习，效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.2.熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题.(难点)一、情境导入得到它的三角函数值呢?我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角例1用计算器求下列各式的值(精确到0.0001):解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近解：根据题意用计算器求出：(4)sin18°+cos55°-tan59°≈-0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序.例2已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A,∠B的度数(结果精确到0.1°):(3)tanA=2.4,tanB=0.5.键的顺序.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序.【类型三】利用计算器验证结论解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到，【类型四】用计算器比较三角函数值的大小例4用计算器比较大小：20sin87°tan87°,解析：20sin87°≈20×0.9986=19.974,tan87°≈19.081,∵19.974>19.081,∴方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序.探究点二；用计算器求三角函数值解决实际问题例5如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=20km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?=AC-cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB=AH+BH可求得AB的长；故改直的公路AB的长为29.3km;答：公路改直后比原来缩短了4.7km.方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键.1.已知角度，用计算器求函数值；2.已知三角函数值，用计算器求锐角的度数：3.用计算器求三角函数值解决实际问题.备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.23.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用1.理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素：(重点)2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用，(难点)世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B,塔身中心线【类型一】利用解直角三角形求边或角=60°,利用解直角三角形解答即可.【类型一】求河的宽度=4.0;sin68.2°=0.93,cos68.2°=0.37,tan68.2°=2.5.解：设AD=xm,则AC=(x+82)m.在Rt△ABC中，,∴AB=ACtan∠【类型二】求不可到达的两点的高度例5如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为铅垂线【类型一】利用仰角求高度例1星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用x的值即可.【类型二】利用俯角求高度例2如图，在两建筑物之间有一旗杆EG,高15米，从A点解析：根据点G是BC的中点.可判断EG是△A例3如图，为了测量河的宽度AB,测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得45°,求出BC=CD=21m,最后根据AB=AC一BC,代在-21=15.3(m).则河的宽度AB约是15.3m.【类型四】仰角和俯角的综合例4某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°,求建筑物AB的高(精确到1m,可供选用的数据：√2解析：过点C作AB的垂线CE,垂足为E,根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD=12m可知BE=CE=12m,由AE=CEtan30°得出AE的长，进而可得出结论.解：过点C作AB的垂线，垂足为E,∵CD⊥BD,AB⊥BD,∠ECB=45°,∴四边形答：建筑物AB的高为19m.4.仰角和俯角的综合.备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节.上课前多失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步.只有这样，才能2.学会用坡度、坡比解决实际问题。(重点、难点)在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量.从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度?探究点：与坡度或坡角有关的实际问题例1一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s,车速是2m/s,汽车行驶的水平距离是40m,解析：坡面距离为30×2=60m,水平距离为4方法总结：根据坡度的定义,解题时需先求得水平距离I和铅直高度h.例2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m,如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为()方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离.例3如图所示，给高为3米，坡度为1:1.5的楼梯表面铺地毯.已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元?解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，∴地毯的总面积为1.5×7.5=11.25(平方米).∴需要的钱数为8×11.25=90(元).答：铺完整个楼梯共需90元，坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫坡度(或坡比),即,坡面与水平面的夹角α叫坡角.本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义.1.通过对生活中各种事件的概率的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确的判断.2.知道事件发生的可能性是有大小的.一、情境导入在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢?探究点：事件的分类【类型一】必然事件的识别例1下列事件是必然事件的是()B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C.圆的半径为3,圆外一点到圆心的距离是5,过这点引圆的切线，则切线长为4D.三角形的内角和是360°解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°,D选项错误，故选择C.方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，例2一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是()A.摸出的4个球中至少有一个是白球B.摸出的4个球中至少有一个球是黑球C.摸出的4个球中至少有两个是黑球D.摸出的4个球中至少有两个是白球解析：∵袋子中只有3个白球，而有5个黑球，二摸出的4个球可能都是黑球，因此选项A是不确定事件；摸