高中数学二级结论（55条）

高中数学二级结论

1.任意的简单〃面体内切球半径为.(V是简单〃面体的体积，S表是简单〃面体的表面积)

s表

2.在任意△A8C内，都有tanA+tan8+tanC=taivVtanataiiC

推论：在△ABC内，若tanA+taii3+tanC<0,则△ABC为钝角三角形

3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的二倍

4

4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点

5.导数题常用放缩e'Nx+1、—<lnx<x-l^ex>ex(x>\)

XX

v22

6.椭圆与+v与=1(〃>0,〃〉0)的面积5为5=及/6

a"b"

7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导

推论：①过圆(x-a)2^-(y-b)2=r2上任意一点P"。,%)的切线方程为

(刍-a\x-a)+()加-b)(y-b)=r2

②过椭圆二+2=1(。>0/>0)上任意一点P(x°,先)的切线方程为空■+乎=1

crb-crb2

22

③过双曲线二—二二1(。>0/>0)上任意一点P(%,y0)的切线方程为当一孕■二1

a"b~a~b2

8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程

①圆/+)/+瓜+豆，+/=。的切点弦方程为与工+%)，+212。+2d2石+尸=0

②椭圆二+1=1(。>0/>0)的切点弦方程为¥+苦=1

crbcrb-

1y

③双曲线二,印①>。*>°)的切点弦方程为竽一第=1

a~

2

④抛物线y=2Px（p>0）的切点弦方程为yoy=p（x（）+x）

Xy+yX

⑤二次曲线的切点弦方程为A+B+Cyy+H

V0°o++F=（）

9.①椭圆二+E=1（。>0力>0）与直线Ax+By+C=0（4由w0）相切的条件是A2a2+B2b2=C2

a'b~

②双曲线£一[=1（。>0/>0）与直线Ar+By+C=0（AB,0）相切的条件是A2a2-B2b2=C2

crb~

10.若A、B、C、D是圆锥曲线（二次曲线）上顺次四点，则四点共圆（常用相交弦定理）的一个充要条件是:

直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kAC+kHD=0,（kAC,kBD分别表示AC和80的斜率）

1L己知椭圆方程为r+==l（〃>b>。），两焦点分别为片，F「设焦点三角形「片工中

a~n~

』PF\F2=0t贝|Jcosg21一2/（cos4的=1-2/）

12椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为与的点P的距离）公式七二。±00

13,已知占,k2,a为过原点的直线4,%，13的斜率，其中4是4和4的角平分线，则占，J电满

足下述转化关系：

2玄_/+攵3公斤=*-1±-k段¥+出+卜3了2k、-k卢kg

'="4+2自&'2=K，3="k"2kA

n,,i

14.任意满足a/+by=r的二次方程，过函数上一点（芭，y）的切线方程为"山+hy[y~=r

15.已知«r）的渐近线方程为y=ax+b则lim=a,lim[f（x）-ax\=b

fr—>4-ar1,r—¥4-x

X2y2

16椭圆J+与=1（。>人>（））绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为v=4-7rah

ab3

17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和

18.在锐角三角形中sin/4+sinB+sinC>coSyA+cosB+cosC

19.函数人X）具有对称轴x=G,K=b（a*b）,则凡r）为周期函数且一个正周期为|2a-2打

xv2〃护

2O,y=kx+m与椭圆f+'=1（〃＞人＞0）相交于两点，则纵坐标之和为

aha2k2+h2

21.己知三角形三边x,y,z,求面积可用下述方法（一些情况下比海伦公式更实用，如J万，而，后）

A+B=x2

B+C=y2

C+A=z2

2S=J43+3C+CA

22则锥曲线的第二定义：

椭圆的第二定义：平面上到定点尸距离与到定直线间距离之比为常数e（即椭圆的偏心率，c=£）的点

a

的集合（定点户不在定直线上，该常数为小于1的正数）

双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线

23.到角公式：若把直线《依逆时针方向旋转到与。第一次重合时所转的角是凡贝iJtan9=A君-

~[十仁・自

24.A、B、C三点共线＜=＞0D=mOA+nOC,OB=—!—0D[同时除以m+n）

m+n

22

25.过双曲线二-3=1（。＞0力＞0）上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积

a~b~

出ab

为E

26.反比例函数尸&（Q0）为双曲线，其焦点为（任,疡）和（―圆,—叵），kO

x

27,面积射影定理：如图，设平面〃外的A/43C在平面〃内的射影为AABO,分别记△/!〃。的面积和

△A3。的面积为S和坟，记AABC所在平面和平面〃所成的二面角为/则c°sO=S，：S

28角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例

角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对

应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线

29,数列不动点：

定义：方程=x的根称为函数/（五）的不动点

利用递推数列/（X）的不动点，可将某些递推关系=/（册-）所确定的数列化为等比数列或较易

求通项的数列，这种方法称为不动点法

定理1：若f（x）=cix+b{a=0M工1）,p是/（x）的不动点，满足递推关系/=f{an_.）,（〃>1）,

贝必“-p=-〃），即{*-p］是公比为。的等比数列.

定理2：设理(x)='’(cw0,ad-bew0),{%}满足递推关系q=/(。，一),〃>1,初值条件

cx+d

。产/（4）

(1)若/")有两个相异的不动点PM，贝ij色二2二人生二七(这里2==££)

〃〃一qan-\-Qa-qc

⑵若/(x)只有唯一不动点p,=—!—+k(这里4=二)

。”一〃用一〃a+d

ax~+。Y+c

定理3:设函数，x)="；(〃-0,6/0)有两个不同的不动点芭,看，且由%+1=/(%)确定

ex+j

着数列｛勺｝,那么当且仅当b=Qe=2a时，向—=(^―L)2

〃用一々册一七

30.

.nA.nB.nC

-4tsin——sin——sin——n-4k

222

,"AnBnC

4cos——cos——cos——〃=4女+1

222

(l)sin(/7A)+siii(/?B)+sin(/?C)=«,ZeN'

..nA.nB.nC

4sin——sin——sin——〃=4k+2

222

.nAnBnC

-4cos—cos——cos——〃=4%+3

222

(2诺A+3+C=7r,贝I]：

sin2A十sin23+sin2C.A.B.C

①-------------------------=8sin—sin—sin—

sinA+sinB+sinC222

ABC

②cosA+cos8+cosC=l+4sin—sin—sin—

222

③si^A+si^g+sin2c=]_2sin4singsinC

222222

小.A.B.C..—A.7i—B.7t—Q

④sin—+sin—+sin—=1+4sin------sin------sin------

222444

A8c

⑤sinA+sinB+sinC=4sin—sin—sin—

222

⑥c/+c°4c°£=c°4°ec°tC

222222

⑦tan&an3tan-a£an%

222222

@sin(5+C—A)+sin(C+A—3)+sin(A+占-C)=4sinAsin5sinC

（3底任意△ABC中，有:

⑥cosAcos3cosc<：

①sinA.sin竺sinCJ

2228

2229

②迪⑦sin4+sin8+sinCW2A

半(6)cot—+cot—B+cot—23^3

2228

③sinA+sinC+sinCw^

@cos>4+cosB+cosC<-@cotA+cotB+cotC>V3

22222

⑨sin~—+sirr—+sin~—2—

④C"+CPS—》2224

2222

2A21

⑩tan~—+tan~2—B+tan--。>1

222

©sinA-sin5-sinCV3百

8—

222

（4）在任意锐角△ABC中，有:

®tanA-tan-tanC>3A/3③tan?A+tan?8+tan2c29

V3@cot2A+cot2B+cot2C>1

②cotA-cotRcotC<

9

31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同

一条直线上

32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，

其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高

拟柱体体积公式［辛普森（Si/〃pso〃）公式］:设拟柱体的高为“，如果用平行于底面的平面?去截该图形，所得到

的截面面积是平面y与一个底面之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为

V=；（S1+4S0+S2）”，式中，5；和S.是两底面的面积，S。是中截面的面积（即平面?与底面之间距离〃=一

6~2

时得到的截面的面积）

事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时

所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积

33.三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为4氏4c为面上的一条直线，那么

ZOAC,ZBAC,NO4B三角的余弦关系为：cosN04C=cosNR4CcosNQA3（N84C和NQ43只能是锐角）

o

34.在RtZ\4HC中，。为直角，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,则△ABC的内切圆半径为"生上

2

35.立方差公式：2/=(a-b)(cr-cibb1)

立方和公式：=(a+b)(a2-ab+h2)

36.已知△A〃C,。为其外心，〃为其垂心，则而=苏+为

37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值

—[a>b>0)

推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值-qm>b>o)

b-

“，if炉*，山

38.€=14-XH--F…H----1------X

2!〃！(〃+l)!

推论：ex>\+x+—

2

39.ex-e~x>ax(a<2)

Izrr

推论：①r——>2Inr(r>0)②lnx2----(x>0,0<tz<2)

tx+a

40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦

41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值°(长半轴长)

42.向量与三角形四心：

在中，角A,B,C所对的边分别是〃，b,c

(1)04+QB+OC=6o0是A48C的重心

(2)OAOB=OBOC=OCQu＞。为A48C的垂心

(3)。3+bOB+cOC=6oO为MBC的内心

(4)网=网=冈o0为MBC的外心

43.正弦平方差公式：sin24-sin?p=sin正-4)sin(a+。)

44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点

♦/1、•/1、

sin(x+—)-sin(x——)

45.三角函数数列求和裂项相消：sinx=---------2---------------2_

2cos-

2

上“土力mgas上山4=上(2A(Ax+By+C)2B(Ax+By+C)

46.点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为X