高考数学一轮复习：圆锥曲线（小题）

9.2圆锥曲线小题篇

考向1椭圆双曲线的第一定义

题型1椭圆第一定义

1.椭圆的第一定义

平面内与两个定点耳F2的距离的和等于常数2a（2a大于帆码）的点的轨迹；其中，两个定点

称做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

设M（x,y）是椭圆上任意一点，焦点£（—c,0）和£（c,0）,

由上述椭圆的定义可得：7（7+77+/+y）^-c）2+y2=2a，将这个方程移项,两边平方得:

a2-cx=ayj（x-c）2+y2，两边再平方，整理得：5+方=1（4>%>0）

22

鼻+方=1（4>〃>O）U>中心在原点,焦点在X轴上;

注意：1.椭圆的标准方程

22

斗•+・=1>人>（））O中心在原点，焦点在），轴上

后面我们仅以展开性质介绍分析

2.顶点：（-t/,0）,A,（0,-/?）,B2（0,Z?）.

3.长轴和短轴：长轴为2a，短轴为2b，注意区分长半轴为a，短半轴为b.

4»:片（-c,0）,玛（c,0）,

5.焦距：忻图=2c（c>0），同时:c2=a2-b2.

6.离心率：e=5（0<e<l）；离心率越大，椭圆越扁.

椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.因为a>c>0，所以e的取值范围是

0<e<1;

①e越接近1,则c就越接近a,从而b=\]a2-c2越小，因此椭圆越扁：

②e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆.

2222

7.P为椭圆上一点，则PF,-PF2=\POp-ce[b-c,b]（利用极化恒等式证明）.

例1（2026•道里区校级二模）方程_2_=i表示焦点在x轴上的椭凤则实数m的取

2m-32-〃i

值范围为（）

53f5

A.B.C.D.—,+oo

213

I2;

22

例2己知尸为椭圆C:乙十三=1的上焦点,

P为。上一点，。为圆M:X2+/-8X+15=0上一

95

点，则归Q|+|PF|的最大值为（）

A.1+26B.3+2石C.5+26D.7+2石

题型2椭圆最值问题

椭圆最值问题

1.若。在椭圆外，求\P（^-\PF\最小值，则构造\P^2a-\PF\-2a=\P（^+\PF^-2a,利用

三点共线求最值（如左图所示），当且仅当P、Q、F2三点共线时等号成立.此类型的题目叫做声东击西,

即问左焦点，则连接右焦点，问右焦点则连左焦点，三点共线是关键.

2.若Q为椭圆外一定点（如右图所示），则|Q用可尸。|+|历归加+|。引，当且仅当片、耳、

Q三点共线时,左边等号成立，当且仅当Q、鸟、P2三点共线时（鸟位于QF2延长线上），等号成立.

3.若Q为椭圆内一定点（如下图所示），则为一|。鸟同PQ|+|「凰V2a+|QK|,当且仅当［、

。、F2三点共线时,左边等号成立，当且仅当巴、鸟、Q三点共线时（鸟位于QF2延长线上），右边等

号成立。

22

例3已知椭圆C:二+匕=1的左、右焦点分别为耳，居,M为C上任意一点，N为圆

43

E:(x-5)2+(y-4)2=l上任意一点，则\MN\-\MF]的最小值为

22

例4已知椭圆C:—+^=1,的右焦点为F

P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为

43

则1pAi+|尸盟的最大值为()

212833

B.5

A.TD.

题型3双曲线第一定义

双曲线的第一定义

的距离的差的绝对值等于常数且小于忻乙|的点的轨迹；其中，两个定点

平面内与两个定点4、F2

叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距.

注意：|尸制_归6|=2〃与\PF^-\PF\=2a[a>Qi)分别表示双曲线的一支.若有“绝对值”，点

的轨迹表示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支；

根据J(x+c『+y2_j3c)2+y2=20，化简得：£—g=1.力＞0).

工上=1(a,b>0)=中心在原点，焦点在)，轴上,

a2b2

注意：1.双曲线的标准方程：

=1力>0)o中心在原点焦点在y轴上.

2.顶点：A(-a,o)，4(a,o).

3.实轴和虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b;

}vA.(-c,0),1(c,0).

5.焦距旧周=2c(c>0)，满足关系式：c2=a2+b2.

6.离心率e=-(e>\)，离心率越大，开口越大；

12

7.P为双曲线上一点，则PFCPF2=\P(^-ce\-bAoo^(利用极化恒等式证明).

v2x2

例5(2026秋•河北期末)已知双曲线C:^--—=1的上、下焦点分别为"，居，点P在双曲

45

线C上，若\PF2\=9，则|尸制=()

A.4B.16C.5或13D.4或14

题型4双曲线最值问题

求|PQ|+|P周最值,则构造归。+加+归周一2〃=归0+|尸司+加，当且仅当P、Q、F?三点

共线时等号成立.(如下图所示).

注意:由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内，形如“"的最值已经不是考

试的常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述.其它双曲线最值类比椭

圆，画图仔细分析即可.

例6(2025•上海)已知4(0,1),8(1,2),c在r：x2-/=l(x>l,y>0)上，则ABC的面积

A.有最大值，但没有最小值B,没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

2

例7(2026•福州期末)己知的、F2分别是双曲线C：y-/=1的左、右焦点，动点P在双曲线

的左支上，点Q为圆G:f+(),+2)2=1上一动点，则|PQ|+|空|的最小值为一.

考向2椭圆双曲线的第二定义

题型1椭圆第二定义与焦半径公式

椭圆的第二定义

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（Ove<l）的点的轨迹，其中，定点为焦

点，定直线叫做准线，常数e叫做离心率.

设是椭圆上任意一点,定点为4（一。,0），定直线为x=^-，常数e=j，由上述椭圆的

22

J（x-c）+yc

定义可得：,「——=-，变形即可.

a-a

----x

c

焦半径椭圆上的点到焦点的距离；设。（马,为）为椭圆上的一点，

阀|=。+气

①焦点在X轴：焦半径（左加右减）：

\PF2\=a-ex()

②焦点在y轴:焦半径周二晨：

（上减下加）.

注意：利用第二定义快速进行证明，结合图像，长的加，短的减.

注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用余弦定理推导.

254

例8点M（x,），）与定点尸（4,0）的距离和它到定直线/:x=y的距离的比是常数j,求M的

轨迹方程；

22

例9已知双曲线C：马一二二1（。>0）的离心率为2,F\,F?分别是C的左、右焦点，”是C

a~12

上一点，且|岬|=5，则内闾=

例10平面内到定点厂（5,0）及到定直线X=y的距离之比为5:4的点的轨迹方程是（)

o2

A.C.匚二二1D.匚J

169916

22

例11设1、尺为椭圆r：—+^-=1的两个焦点，p为l上一点且在第二象限.若

2521

|「用=|£闾厕点P的坐标为

考向3椭圆双曲线的第三定义

题型1椭圆双曲线第三定义与点差法

1.椭圆的第三定义（以集点在A轴上为例，下双曲线同）

•2

2

己知关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值--7或e-\（O<e<\］的

a~

点的轨迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点.

另一方面，设M（X,），）是椭圆上任意一点，两个定点为A（N，y）、4（—王，-y），

》一）1y+yi_y2-yf

常数。吟kMA%9，

X-X1x+x1厂一不

根据椭圆方程：将二r+二=1（。>人>0），变形成_/=/---，所以kq*MA=

aha"

椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数.

若椭圆与直线/交于AB两点，其中4（4）［）,巩工2，%），用（/，%），为AB中点,

h2

定理1：=-7（椭圆）；

a~

证明：设A（5，X）,8（X2，%）,M（XO，X）），则

》和①

4+4=1©

a~b~

2

d工产二与③①一②，并将③④⑤代入得:…=93=9-b

椭圆

X}-x2X}+X1X1-x2x0a~

39⑤

点差法，抓住“差中斜”，这样找到了对应关系，由于点差法属于解析几何技巧方法的入门篇，第一次

让大家见识到“设而不求”.

2.双曲线的第三定义

到关于原点对称的两个定点连线的斜率之枳为定值/或e2-\（e>\］的点的轨迹是双曲线；通

常定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值.

另一方面，设M（x,y）是双曲线上任意一点，两个定点为a（』，x）、A（-xp-y,）,

xvhxn

根据双曲线方程：将j—4=茂形成/=一「—从，所以kkMA=—,

a~b~a~'a~

双曲线上动点到关丁•原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数.

若双曲线与直线I交于AB两点，其中4（不,）,3（多,%）,〃（%,%）为AB中点，

•2

定理1：kAB-kOM=—（双曲线）

er

证明:设4（天,凹）,〃（丫2‘%）,"（丫0，%），则

土也=/③①一②，并将③④⑤代人得：阳8・七“=上匚匹・上上&=上匚&

2x.-x7x.+x9x.-x-,xna~

炉=%④

39⑤

其实中点弦问题是斜率乘积为定值，其本质来源于第三定义，如图，设AB为椭圆

=+与=1（。>6>0）不平行于坐标轴的弦，M为AB的中点，C是椭圆上一点，且弦BC过椭圆

a-b-

的中心0，利用中位线得:kOMkAB=kABkAC=--.

a~

x22

设AB为双曲线—-2_=i（a>o,/?>O）不平行于坐标轴的弦，M为AB的中点，C是双

a-b-

b123

曲线上一点，且弦BC过双曲线的中心0，利用中位线得：k0M-kAB=kAB-kAC=-^.

V-2V2

例12（2022•甲卷）椭圆。:三+方•=1（。〉8>0）的左顶点为A，点P,。均在C上,且关于

y轴对称.若直线AP.AQ的斜率之积为7，则°的离心率为（）

抠B6C1

A.D.-

2223

2?

例13（2013•新课标I）己知椭圆E：三+工=\（a>b>0）的右焦点为尸（3,0），过点F的

/b2

直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为（1,-1），则E的方程为（）

BX\y2-lcA-2+＞，2-1

A.

36272718

例14已知点是双曲线£-亳>=1（。上关于原点对称的任意两点，点P在双曲线上

（异于A8两点）,若直线PA,PB斜率之积为,则双曲线的离心率为（）

2a

35

A.-B.2C.-D.3

22

Y*V"jr

例15已知椭圆—+^-=1,倾斜角为一的直线I与椭圆分别相交于A、B两点，点P为

5'4*4

线段AB的中点，。为坐标原点,则直线OP的斜率为（）

1414

A.一一B.一一C.-D.-

5555

与椭圆/『在第一象限交,"两点，/与

例16（2022•新高考II）已知直线IIA

轴、V轴分别相交于M,N两点,且|M4|=|N8|,|MN|=2x/3,则/的方程为一.

例17（2026•汉阳区模拟）已知A,B是双曲线E:号-5=l（a>0,b>0）上关于原点对称的两

点，动点P在双曲线E上，且PA,PB的斜率之积为/（e为双曲线的离心率），则/二

拓展思维

拓展中点弦存在定理

1.在椭圆「十方中，只需要AB中点M（Xo，），o）在椭圆内，即

椭圆的中点弦存在定理很好理解，关于双曲线，这里存在•个共中点定理,就是弦AB与双曲线渐近线

交于CD两点，M（5，%）既是AB中点，又是CD中点，证明过程可以用直曲联立，也可以用点差法,

我们本讲只介绍点差法,如下：

令C（%为），0（后，”），由于渐近线方程为）'=士，x，根据曲线与方程的思想，我们可以把两条渐

近线上点的集合统一为方程（@-加）（@+法）=0，即。■-5=（）,

此时CD一定满足;]

.*

5一人）（凡十七）（"一%）（>+%）_「“W+1一加1

两式相减可得

—272.U,K［）-KAB--'~~

abC。HaX）

由于A、B、aD四点共线，故M（xo,>o）既是AB中点，乂是CD中点.

所以双曲线的中点弦本质来自于渐近线，即OM斜率绝对值大于渐近线斜率绝对值时,

AB斜率一定小于渐近线斜率的绝对值，具实按照数字逻辑也很好埋解，

\kOM|＞~

其实中点弦问题就可以转化为弦AB与渐近线和双曲线均有两个交点，如果；（左图），

k八/＜一

a

或者丧小。时,此时弦AB与渐近线有两个交点，也与双曲线有两个交点，此时一定成立;

\^OM|<~

当a（中图），或者仅需今-捐＞1时，由于M（N），NO）在双曲线内部,

此时弦AB与渐近线有两个交点，也与双曲线有两个交点，此时一定成立;

\kOMI-g

或者仅需0W王一出＜1

（右图）时,

a~b~

<1

此时弦与渐近线有CD两个交点，但与双曲线并没有两个交点,此时不存在这样的中点弦.

综上，双曲线的中点弦本质就是中点"（%，%）的位置，当M位于双曲线和渐近线中间的区域时

（含边界），一定不存在以M为中点的弦.

例18（2023.乙卷）设为双曲线“2-21=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是

9

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.

22

例19（2026•河南期末）己矢】双曲线C：0一二二1（。＞0/＞（））的实轴长为4,离心率为＞/2，直

crb-

线/与C交于A,8两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1,则

\OM\的取值范围为

考向4椭圆双曲线的焦点三角形

1.椭圆的焦点三角形问题

周长问题：过椭圆5+的左焦点6的弦AB与右焦点F、围成的三角形

a~b~

ABF?的周长是4a；

22

角度问题：①已知椭圆^+^=1（^>/2>0）的左、右两焦点分别为F、、F2,P是椭圆上一动点,

在焦点三角形PFF?中，若々PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点.

证明：5%产尸骨"丁"2二（词，故当％取得最大值b时，当点P位于短轴端点时,

NRPF会取得最大值.

22

②已知椭圆J+-£-=l（f/>/?>0）的左、右两焦点分别为兄、F2，若椭圆上存在一点P，使得

NF\PF2=6，则椭圆离心率ewsing』）.

证明：如图，设片为椭圆的短轴顶点,假设椭圆上存在一点P，使得NF\PF『e，则必有

/RB'FzNO，又e=sin"£4-，由于，故ejsin',1、.

1122222L2J

22

面积问题：椭圆*+£=1（〃>人>0）焦点为F4P为椭圆上的点，NF\PF?=e,如下图,

则SFPF=「sm'j/tan,（灵动椭圆焦点三角形面枳公式）

1+C0S。2

m+n=2。①

（2c）2=m2+n2-2〃〃zcos施）

证明：设\PFi\=m,\PF2\=n,<

S/%机〃sin.

c•e0

GI2•Z）2sin—cos-

1

①2-②：nin-————所以SFPF=〃♦———=b---------/tan—

1+cos。*叫1+cos。nd2

zcos——

2

2.双曲线焦点三角形性质

x

双曲线—*l(a>0/>0)的焦点为耳F2,B为双曲线上的点，NF\BF?=a,如图,

a

sincrb2

则S.F、BF,=b°(灵动双曲线焦点三角形面积公式).

l-cosatian-a

2

\m-n\=2a®

证明:设忸用=〃7,忸国=〃,,（2c）2=nr+n2-2nmcosa®

S.FM,二g机〃sino@

3.aa

2b2.2sin—cos—,2

①2一②得：加〃=

代入③，得：SFBF=〃•'“a='——2_2=_L_

1一cos。，2

"“Sa2sin2£1an@

22

例•甲卷）已知为椭圆的两个焦点，P,Q为上关于坐标原

20（2021FVF2C:—+^=1C

164

点对称的两点，且归@=闺段，则四边形PFQF?的面积为一.

22

例21（2025•天津）双曲线多一方=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为耳，尸2，以右焦点”2为

焦点的抛物线）产=2〃*〃>0）与双曲线在第一象限的交点为P，若归6+归周=3|4周，则双曲线

的离心率e=（）

「八6+1V5+1

A.2B.5C.-----D.-----

22

22

例题2（2025•新高考H•多选）双曲线C：a-W=l（a>°12>0）的左、右焦点分别是耳，鸟，

左、右顶点分别为A）2,以耳居为直径的圆与曲线C一条渐近线交于M,N两点，且

、汽

NN%M=——，则（）

6

A.ZA.MA.=-B.|A^|=2|A142|

C.C的离心率为V13D.当。=应时,四边形NA.MA.的面积为8A/3

例23（2026•成都二诊）已知双曲线C:、—==1（。>0,〃>0）的左、右焦点分别为F「K,P是双

a~b~

曲线上一点，且APFR为等腰直角三角形，则C的离心率为一.

例24（2026•深圳一模，多选）设双曲线r：x2-y2=\的左、右焦点分别为£,鸟.过K的直

线/与「的两条渐近线的交点分别为A、8,A为FiB的中点，O为坐标原点.则（）

A.^AOB是直角三角形B..BOF2是等腰直角三角形

C.|A卸=5D.直线/斜率为±g

3.椭圆双曲线共焦点问题

y

2

卜方二1和双曲线y~

椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图所示，椭圆2-7=1共焦点,

crCTb2

X2y2

由于两个式子a力不同，将椭圆写成一十2=l(m>0,/i>0),

mn

双曲线写成—y=1(/7>0,<7>0)

pq

*osin<7sinanq

可以知坦SFPF=n---------cr-----=----

1+cosa1-cosof1+cosa1-coscr

ncosa=-----,|P^|-|PF,|=in-p=n+q

n+q

①当时,

PFIIPF2

2c麻

椭圆和双曲线的离心率e确=空=1呼।“双

榔2a\PF]+\PF2\双2a~\\PFl\-\PF2\\

\1_（归用+|尸周）24尸用一|尸修丫一伊呼+|尸身）

=2

或或一花段2想用2"旧用2

a

sin2—cos

l-C0S(71+COS«一.

②当NF\PF?=a时,一定有=2=>—^2-4

444

1.仪a

9911sin2--cos2

证明：区厂一赤1=1

n---------=---------4n—ri+

1+cosa\-cosa个.a

2ccos2—a2sinffi

22

例25（2014•湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点£、F2,P是它们的一个交点，且

鸟=6。，记椭圆和双曲线的离心率分别为绘，Q，则的最大值为

4

例26（2026•多选•湖北月考）如图，P是椭圆0:=+4=1（。>人>0）与双曲线

a~b-

G：二一二二1（m>。，〃>。）在第一象限的交点，且GC共焦点F\,F、,NF\PF、=e,C\,C2的离

“m~n

心率分别为，则下列结论正确的是（）

13

B.若夕=60，则—+4=4

A.[\PF^=a-\-n^\PF^=a-m

D.tan"

C.若6=90，则+的最小值为2

2b

4.有关1mHp的结论

（1）设F]>F2是椭圆+=1（«>Z?>0）的两个焦点，。是椭圆的中心，P是椭圆

222b2

上任意一点,NF\PF?=e，则\PF]-\PF2\=a+b-\OP\

1+COS。

(2)设6、F2是双曲线*•一/>0）的两个焦点，。是双曲线的中心，P

是双曲线上任意一点，NRPFLO，则归国疗用二/一/+|。可=]黑^

（3）等轴双曲线满足：|qO『二|尸用尸周；

fl加2

证明：(1)2+〃2Top1，

\PFi\-\PF2\=(a-^exG)(a-exQ)=a2匕=4

a")

利用等面积法，明/。*耳，故阳H明=总

也可以利用中线定理，2|0斤+2c工=归娟2+归耳『=(归用+归身)2—2归用忖用，

从而归用•归入|=。2+/?2_|042

力2

(2)归凰忖用=«2片—〃2二片+方片_42=6_。24|0尸.，

或者利用中线定理，2|OP|2+2c2=|P/*|2+|P^|2=(|Pf；|-|P^|)2+2|P^|-|P^|,

)1cin

整理得|尸盟『从一"+|OP|,再利用等面积法S对凡=一归耳疗段sine=〃-------

21—cos。

故I""叫"|

(3)由于等轴双曲线满足a=b，所以归制・归入|=从-/+|0尸|2=10目2.

Xv

例27(2023•甲卷)已知椭圆^==1,6,工为两个焦点，o为原点，P为椭圆上一点,

96

3

cos=—，则)

-5

2底3后

A.-B.--C.一D.--

5252

例28(2026•岫岩县模拟)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质:

小卜2是双曲线的左、右焦点，从右发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射

光线的反向延长线过6;当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分/耳尸鸟.若双曲

线C的方程为三-汇=1,则下.列结论正确的是()

916

A.射线〃所在直线的斜率为k，则ke—

(33

B.当m-Ln时,|?"・|尸周=32

C.当〃过点Q（7,5）时,光线由F2至1JP再到。所经过的路程为13

D.若点T坐标为（1,0）,直线PT与C相切，则归周二12

i2

例29（2026•贵州期末）己知椭圆。：/+%v=1向＞方＞0）的两焦点月，工，若椭圆C上存在

\PO^-\OF^='为原点）,|夕々『+归用2＞4/—3吐则椭圆8勺离心率的取值范）

点P，使得

围是,

考向5椭圆双曲线的焦点弦问题

1.椭圆焦长公式

4是椭圆£+亲■=上一点，£、工是左、右焦点，NA£g为a,48过

”,c是椭圆半焦距,

（1）

则呼鼻

证明:（1）如图所示，|A制+|A周=2a;忸用+忸周=2。，故\AB\+\AF2\+\BF2\=4a;

（2）设|Af；|=m；忸匐=〃；|A/s|=2a-m；\BF2\=2a-n；由余弦定理得

9o52

tn2+（2c）-（2a-m）"=2m（2c）cosa;整理得lAfjl=---------①

a-ccosa

同理：n2+（2c）2-（2a-n）2=2n-（2c）cos（180-a\;整理得|BF|=---②

'7a+ccosa

2ab22ab

①+②得，则过焦点的弦长：MM=〃?+〃=③

a2-c2cos2ab2+c2sin2a

22.212

焦比定理：过椭圆「+4=1的左焦点F,的弦|>4F；|=--——，忸用=--——

crb~a-ccosaa+ccosa

令|AF]\=A,\F.B\，即--------=———----=>ecosa=—―-④，

a-ccosaa+ccosaZ+l

代入焦长公式①可得|M=（4+1W⑤.

2a

2.双曲线的焦长公式

周长问题：双曲线4-4=1（^>0^>0）的两个焦点为小居，弦AB过左焦点£（4、B

a~b~

都在左支上），|A8|=/，则AABF2的周长为4«+2/（如二图）

焦长公式:

121

(1)当AB交双曲线于一支时，|4回二———,672-c2cos2«>0=>l<e<----(图左)

a~-C~CQS~acoscr