29.1.2　过三点的圆（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.1.2过三点的圆（第2课时）教学目标教学目标1．通过实例体会反证法的含义，知道它是证明问题的一种方法．2．了解用反证法证明的基本思路和一般步骤，会用反证法进行简单的证明．教学重点教学重点理解反证法的含义；了解用反证法证明的基本思路．教学难点教学难点了解用反证法证明的一般步骤，会用反证法进行简单的证明．教学过程教学过程新课导入王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动．人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李．”取之信然．译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动．别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子．”拿李子来一尝，果真是苦的．王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？【师生活动】学生小组讨论，师生一起分析．【答案】假设“李子甜”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少⇒与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设不成立⇒结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的．王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的．【设计意图】通过一个故事，引出反证法，激发学生的学习兴趣．新知探究一、探究学习【问题】我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆．那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？如图，A，B，C三点在同一条直线l上．【师生活动】学生自己动手画图，得出结论，教师展示动画．【答案】过同一条直线上的三个点不能作圆．【思考】如何证明你的结论？【师生活动】教师给出已知和求证，学生独立思考，教师带领学生完成证明．教师教学时注意向学生说明：实际上，点P是不存在的，是根据假设画出来的．【答案】已知：A，B，C是直线l上的三点．求证：经过A，B，C三点不能作一个圆．证明：假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆．设这个圆的圆心为P．∵PA＝PB＝PC，∴点P既在线段AB的垂直平分线l1上，也在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点．而l1⊥l与l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴经过同一条直线上的三点不能作圆．【新知】上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫作反证法．【设计意图】通过探索，让学生通过实例体会反证法的含义，知道反证法是一种间接证法，初步了解用反证法证明的基本思路，培养逻辑推理的能力．【练习1】已知：在△ABC中，AB≠AC．求证：∠B≠∠C．证明：假设___________，∴___________．（___________）这与_________________矛盾．假设不成立．∴___________．【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案．【答案】∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C【设计意图】通过习题，加深学生对反证法的含义及用反证法证明的基本思路的理解．【问题】如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？【师生活动】教师展示问题，师生共同写出已知、求证．【练习2】已知：四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求证：A，B，C，D四点共圆．学生分组讨论证明思路，学生思考并尝试回答，教师给出提示．【分析】不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过A，B，C三点的⊙O，再证明第四点（点D）在⊙O上．【思考】如何证明点D在⊙O上？【师生活动】学生尝试证明点D与圆心O的距离等于半径，但这种方法目前存在困难，教师引导学生使用反证法证明．【思考】假设点D不在过A，B，C三点的⊙O上，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？【师生活动】学生小组讨论，得到答案：假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外．师生共同分析点D在圆内的情况，对于点D在圆外的情况，由学生独立完成证明．【答案】证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外．（1）若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠E＝180°．∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠E．这与△CDE中，∠ADC＞∠E矛盾，∴点D不在⊙O内．（2）若点D在⊙O外，设AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°．∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝∠AEC．这与△CDE中，∠AEC＞∠D矛盾，∴点D不在⊙O外．综上，假设不成立，即点D在过A，B，C三点的圆上．【设计意图】引导学生知道用反证法证明命题时，要假设待证命题的结论不成立，必须考虑结论反面的所有可能情况．如果只有一种，否定这一种就可以了；如果有多种，必须一一否定．通过证明，让学生感受数学的严谨性和数学结论的确定性，培养学生的推理能力.【思考】用反证法证明命题的一般步骤是什么？【归纳】第1步：提出与结论相反的假设．第2步：从这个假设和其他已知条件出发，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果．第3步：由矛盾断定所作假设不正确，从而说明命题的结论成立．【设计意图】让学生了解用反证法证明的一般步骤．二、典例精讲【例1】用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等．【师生活动】学生小组讨论完成解答，教师给予指导．【答案】解：已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O．求证：∠1＝∠2．假设∠1≠∠2．过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2．根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD．这样，过点O就有两条直线AB与A′B′都平行于CD．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾．这说明假设∠1≠∠2不正确，∴∠1＝∠2．∴两直线平行，同位角相等．【归纳】用反证法主要解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，适用于：（1）结论是否定型的命题；（2）结论包含的可能结果有很多或有无限种可能情况的命题；（3）结论含有“至少”“至多”等词语的命题．【例2】用反证法证明：一个三角形中至少有两个锐角．【师生活动】学生小组讨论完成解答，一名学生板书解答，教师给予指导．【答案】解：已知：如图，∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A，∠B，∠C至少有两个锐角．假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角，不妨设0°＜∠A＜90°，则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°．因此∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．∴一个三角形中至少有两个锐角．【归纳】用反证法证明时需注意：（1）否定的是命题的结论，而不是已知条件．（2）在推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证．（3）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键．【设计意图】通过例1和例2的讲解练习，巩固学生对已学知识的理解．课堂小结板书设计一、反证法二、反证法证明命题的一般步骤课后任务课后任务完成教材第119页练习第1、2题．教学反思教学反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________