2026年浙江省人教版高中数学下册第9章函数性质习题

2026年浙江省人教版高中数学下册第9章函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是______。选项：A.2B.4C.8D.0解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。当x∈[-2,-1)时，f′(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，函数单调递增。因此极值点为x=-1（极大值）和x=1（极小值）。计算f(-1)=(-1)³-3(-1)=2，f(1)=1³-3(1)=-2，f(-2)=-8，f(2)=8。最大值为8，故选C。注意需比较端点值与极值点函数值。2.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则b+c的值为______。选项：A.-1B.1C.2D.3解析：由题意f′(1)=2a+b=0，f(0)=c=1。又二次函数极值点为x=-b/2a，代入x=1得-b/2a=1，即b=-2a。代入f(0)=1得c=1。则b+c=-2a+1，需确定a值。由极值性质，a>0，且f(1)=a+b+c=a-2a+1=-a+1<0，解得a>1。取a=2（最小正整数值），则b=-4，c=1，b+c=-3。但选项无-3，重新检验：若a=1，则b=-2，c=1，b+c=-1，符合选项A。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最小值是______。选项：A.1B.2C.3D.4解析：分段函数需分段求解：①当x∈[-3,-2]时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；②当x∈[-2,1]时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；③当x∈[1,3]时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。各段单调性：①单调递减，②恒等于3，③单调递增。最小值出现在x=-2处，f(-2)=-2(-2)-1=3。（注：绝对值函数最小值通常在分界点处取得）4.函数f(x)=xlnx-x²在(0,1)区间上的单调性是______。选项：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：求导f′(x)=lnx+1-2x，定义g(x)=lnx-2x+1。g′(x)=1/x-2，令g′(x)=0得x=1/2。当x∈(0,1/2)时，g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(1/2,1)时，g′(x)<0，g(x)递减。计算g(1/2)=ln(1/2)-1/2+1=-ln2+1/2<0，g(1)=0。因此f′(x)=g(x)<0在(0,1)恒成立，函数单调递减。5.若函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处均有零点，则p+q的值是______。选项：A.-1B.0C.1D.2解析：由零点存在性，f(1)=1-p+q=0，f(-1)=-1+p+q=0。两式相加得p+q=0。两式相减得-2p=0，即p=0。代入得q=0，故p+q=0，选B。6.函数f(x)=e^x-x³的极值点个数是______。选项：A.0B.1C.2D.3解析：求导f′(x)=e^x-3x²，f′′(x)=e^x-6x。令h(x)=e^x-6x，h′(x)=e^x-6。令h′(x)=0得x=ln6。当x∈(-∞,ln6)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x∈(ln6,+∞)时，h′(x)>0，h(x)递增。计算h(0)=1>0，h(ln6)=6-6ln6<0，h(1)=e-6<0。由零点存在性，f′(x)在(-∞,ln6)有1个零点x₁，在(ln6,+∞)有1个零点x₂。因此f(x)有2个极值点。7.函数f(x)=sinx+cosx在[0,2π]上的最大值是______。选项：A.√2B.√3C.2D.1解析：化简f(x)=√2sin(x+π/4)。由x∈[0,2π]，x+π/4∈[π/4,9π/4]。正弦函数周期为2π，最大值为√2，当x+π/4=π/2+2kπ，即x=π/4+2kπ时取得。在[0,2π]内唯一解为x=π/4，此时f(π/4)=√2。8.若函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，则a的取值范围是______。选项：A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈R解析：二次函数顶点x=-b/2a，由题意x=1为顶点，即-(-2a)/(21)=1，解得a=1。但需验证极值性质：f′(1)=2x-2a=0，即2-2a=0，a=1。二次函数开口向上（系数为1>0），顶点x=1处为最小值，需满足对称轴x=a在x=1左侧，即a<1。矛盾，重新分析：若顶点在x=1，则a=1。但需f(1)=1-2a+a²+1最小，即a²-2a+2最小，当a=1时取得最小值1，符合题意。9.函数f(x)=x³-3x+2的图象关于______对称。选项：A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=1解析：判断奇偶性：f(-x)=(-x)³-3(-x)+2=-x³+3x+2≠f(x)（非偶函数），f(-x)≠-f(x)（非奇函数）。判断对称轴：令x=1-t，f(1-t)=(1-t)³-3(1-t)+2=-t³+3t-1，f(1+t)=(1+t)³-3(1+t)+2=t³+3t-1。f(1-t)+f(1+t)=-t³+3t-1+t³+3t-1=6t≠0，不对称。但f(x-1)=(x-1)³-3(x-1)+2=x³-3x+2=f(x)，即f(x)关于x=1对称。10.若函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则f(2)的值是______。选项：A.5B.7C.9D.11解析：由f(0)=1得q=1。f′(1)=3-1-p=0，p=2。由极大值性质，f′(x)=3x²-p=3x²-2，x=1为极值点，即3(1)²-2=1≠0，矛盾。重新分析：若x=1为极大值点，则f′(1)=0，p=3。此时f(x)=x³-3x+1，f(0)=1，f′(x)=3x²-3。极大值点x=1，f(1)=1-3+1=-1。计算f(2)=2³-3(2)+1=8-6+1=3。（注：需重新检验极值性质，此处计算f(2)=3，选项无对应值，可能命题错误）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值是______。解析：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。最大值为0。2.若函数f(x)=x³+px²+q在x=-1处取得极小值，且f(1)=1，则p的值是______。解析：f′(-1)=3(-1)²+2p(-1)+0=0，得p=3/2。f(1)=1+p+q=1，代入p=3/2得q=-5/2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域是______。解析：分段函数最小值为3（在x=-2处取得），值域为[3,+∞)。4.函数f(x)=e^x-x²在x=1处的切线方程是______。解析：f′(1)=e-2=e-2，f(1)=e-1。切线方程y-(e-1)=(e-2)(x-1)，即y=(e-2)x+3-e。5.若函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处均有零点，则q的值是______。解析：f(1)=1-p+q=0，f(-1)=-1+p+q=0。两式相加得p+q=0，相减得-2p=0，p=0。代入得q=0。6.函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的最大值是______。解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，当x=π/4时取得。7.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，则a²的值是______。解析：由题意a=1，a²=1。8.函数f(x)=x³-3x+2的图象关于______对称。解析：由第9题解析，关于直线x=1对称。9.若函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则f(2)的值是______。解析：由f(0)=1得q=1。f′(1)=3-1-p=0，p=2。f(x)=x³-2x+1，f(2)=8-4+1=5。10.函数f(x)=x³-3x²+2的极值点是______。解析：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f′′(0)=6>0（极小值），f′′(2)=-6<0（极大值）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。解析：正确。f′(x)=3x²≥0，函数单调递增。2.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，则a≠0。解析：正确。若a=0，则f(x)=bx+c为一次函数，无极值。3.函数f(x)=|x|在R上处处可导。解析：错误。在x=0处不可导。4.函数f(x)=sinx+cosx在[0,2π]上的最小值是-√2。解析：正确。f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值为-√2。5.若函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则p=3。解析：正确。f′(1)=3-1-p=0，p=2。6.函数f(x)=x³-3x²+2的图象关于原点对称。解析：错误。f(-x)≠-f(x)，非奇函数。7.函数f(x)=e^x-x²在(0,1)区间上单调递减。解析：正确。f′(x)=e^x-2x，令g(x)=e^x-2x，g′(x)=e^x-2<0，g(x)递减。又g(0)=1>0，g(1)=e-2<0，f′(x)<0在(0,1)恒成立。8.函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处均有零点，则p=0。解析：正确。f(1)=1-p+q=0，f(-1)=-1+p+q=0，两式相减得-2p=0，p=0。9.函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的最大值是1。解析：错误。最大值为√2。10.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，则a=1。解析：正确。由顶点x=a=1，且f′(1)=0，得a=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点。答：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f′′(0)=6>0（极小值），f′′(2)=-6<0（极大值）。极值点为x=0（极小值）和x=2（极大值）。2.判断函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值的条件。答：需满足f′(1)=3-1-p=0，即p=2。且f′′(1)=6>0（极小值），或f′′(1)<0（极大值）。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最大值。答：分段函数：①x∈[-3,-2]，f(x)=-2x-1；②x∈[-2,1]，f(x)=3；③x∈[1,3]，f(x)=2x+1。各段最大值：①f(-3)=5，②f(-2)=3，③f(3)=7。最大值为7。4.函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的单调性。答：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上x+π/4∈[π/4,3π/4]，正弦函数在该区间单调递增，故f(x)单调递增。5.若函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，求p+q的值。答：f(0)=q=1。f′(1)=3-1-p=0，p=2。p+q=2+1=3。6.函数f(x)=x³-3x²+2的图象的对称轴方程。答：由极值点x=0和x=2可知对称轴为x=1。7.函数f(x)=e^x-x²在(0,1)区间上的单调性。答：f′(x)=e^x-2x，令g(x)=e^x-2x，g′(x)=e^x-2<0，g(x)递减。g(0)=1>0，g(1)=e-2<0，f′(x)<0在(0,1)恒成立，函数单调递减。8.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，求a²的值。答：由题意a=1，a²=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。答：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-2，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。最大值为0，最小值为-4。2.若函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处均有零点，求p+q的值。答：f(1)=1-p+q=0，f(-1)=-1+p+q=0。两式相加得p+q=0。3.求函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的最大值和最小值。答：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，当x=π/4时取得；最小值为1，当x=0时取得。4.函数f(x)=x³-3x²+2的图象关于直线x=1对称，求证。答：若图象关于x=1对称，则f(1-x)=f(1+x)。f(1-x)=(1-x)³-3(1-x)²+2=-x³+3x²-3x+2，f(1+x)=(1+x)³-3(1+x)²+2=x³+3x²+3x+2。f(1-x)+f(1+x)=-x³+3x²-3x+2+x³+3x²+3x+2=6x²+4≠0，矛盾。（注：此处命题可能错误，实际函数图象不关于x=1对称）5.函数f(x)=e^x-x²在(0,1)区间上单调递减，求证。答：f′(x)=e^x-2x，令g(x)=e^x-2x，g′(x)=e^x-2<0，g(x)递减。g(0)=1>0，g(1)=e-2<0，f′(x)<0在(0,1)恒成立，函数单调递减。6.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1处取得最小值，求a的取值范围。答：由题意a=1，需验证极值性质：f′(1)=2-2a=0，a=1。二次函数开口向上，顶点x=1处为最小值，需满足对称轴x=a在x=1左侧，即a<1。矛盾，重新分析：若顶点在x=1，则a=1。但需f(1)=1-2a+a²+1最小，当a=1时取得最小值1，符合题意。7.函数f(x)=x³-3x+2在x=1处取得极值，求极值类型。答：f′(1)=3-3=0，f′′(1)=6>0，为极小值。8.函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的值域。答：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，最小值为1，值域为[1,√2]。9.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求f(2)的值。答：由f(0)=1得q=1。f′(1)=3-1-p=0，p=2。f(x)=x³-2x+1，f(2)=8-4+1=5。10.函数f(x)=x³-3x²+2的图象关于直线x=1对称，求证。答：若图象关于x=1对称，则f(1-x)=f(1+x)。f(1-x)=(1-x)³-3(1-x)²+2=-x³+3x²-3x+2，f(1+x)=(1+x)³-3(1+x)²+2=x³+3x²+3x+2。f(1-x)+f(1+x)=-x³+3x²-3x+2+x³+3x²+3x+2=6x²+4≠0，矛盾。（注：此处命题可能错误，实际函数图象不关于x=1对称）【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.B5.B6.C7.A8.C9.D10.A解析：2.极值点与端点比较确定最值；3.极值点处导数为0，结合f(0)=1求解；4.绝对值函数在分界点处可能取得最值；5.判断导数符号确定单调性；6.零点存在性结合函数连续性；7.导数零点个数与极值点关系；8.三角函数化简后求最值；9.二次函数极值点与对称轴关系；10.函数对称性判断；11.极值点处导数为0，结合端点值求解。二、填空题1.012.3/213.[3,+∞)14.y=(e-2)x+3-e15.0解析：2.极值点与端点比较确定最值；3.极值点处导数为0，结合f(1)=1求解；4.绝对值函数在分界点处可能取得最值；5.求导后计算切点坐标与斜率；6.零点存在性结合函数连续性。三、判断题1.√22.√23.×24.√25.√26.×27.√28.√29.×30.√解析：2.三次函数导数单调递增；3.一次函数无极值；4.绝对值函数在零点处不可导；5.三角函数化简后求最值；6.极值点处导数为0；7.奇偶性判断；8.导数符号判断单调性；9.零点存在性结合函数连续性；10.三角函数化简后求最值；11.二次函数极值点与对称轴关系。四、简答题1.答：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f′′(0)=6>0（极小值），f′′(2)=-6<0（极大值）。极值点为x=0（极小值）和x=2（极大值）。2.答：需满足f′(1)=3-1-p=0，即p=2。且f′′(1)=6>0（极小值），或f′′(1)<0（极大值）。3.答：分段函数：①x∈[-3,-2]，f(x)=-2x-1；②x∈[-2,1]，f(x)=3；③x∈[1,3]，f(x)=2x+1。各段最大值：①f(-3)=5，②f(-2)=3，③f(3)=7。最大值为7。4.答：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上x+π/4∈[π/4,3π/4]，正弦函数在该区间单调递增，故f(x)单调递增。5.答：f(0)=q=1。f′(1)=3-1-p=0，p=2。p+q=2+1=3。6.答：由极值点x=0和x=2可知对称轴为x=1。7.答：f′(x)=e^x-2x，令g(x)=e^x-2x，g′(x)=e^x-2<0，g(x)递减。g(0)=1>0，g(1)=e-2<0，f′(x)<0在(0,1)恒成立，函数单调递减。8.答：由题意a=1，需验证极值性质：f′(1)=2-2a=0，a=1。二次函数开口向上，顶点x=1处为最小值，需满足对称轴x=a在x=1左侧，即a<1。矛盾，重新分析：若顶点在x=1，则a=1。但需f(1)=1-2a+a²+1最小，当a=1时取得最小值1，符合题意。五、应用题1.答：求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1