量子力学教学大纲

课程编码：2812036量子力学QuantumMechanics学分：4总学时：64理论学时：64实验／实践学时：0/0一、课程教学目标量子力学是物理类专业必修的重要基础课。本课程使学生以全新观念去认识物质世界，并为后续专业课学习打下必要的基础。按照学校办学目标定位和专业培养要求，结合学生实际，制定课程目标。知识目标：掌握量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，全面系统了解微观世界基本规律。能力目标：具备运用量子力学规律解释微观现象的能力；了解量子理论最新成果、前沿发展动态和在物理、化学、信息技术等交叉领域中的应用，具备学习新知识、新技术的基本能力。素质目标：注重学生求异思维的培养，能透过现象去追寻本质，启迪创新思维；弱化主观经验，强调实验事实；了解量子史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学的方法论。二、课程基本要求 1．课程内容方面（1）初步具有量子化的思想，掌握量子力学的五个基本原理。（2）能够运用薛定谔方程解决简单的微观体系问题，掌握量子力学处理问题的基本近似方法。2．基本技能训练方面（1）在讲述量子力学基本原理基础上，适当介绍量子力学最新发展，量子理论最新成果，学科最前沿发展动态，培养学生创新能力。（2）在教学中，强调掌握实验事实以及它给予我们的启示，不直接与主观经验联系，不先入为主。并时时将新的概念和结论与经典物理学的结果作比较，以使同学能正确理解量子力学的基本概念，从而能掌握量子力学的精髓和学会正确处理具体问题的方法。（3）加强课程思政，发挥育人功能。量子力学充满了挑战和创新，是一部传奇的史诗般的科学发展史。通过了解科学家们不惧困难、善于思考、敢于创新的精神，把学习知识的过程内化为体悟人性、发奋图强、报效祖国的动力，实现知识传授与价值引领的有机统一。三、教材、主要参考书和参考资源1．主要使用教材（1）等.量子力学.北京：电子工业出版社，2022.（2）周世勋原著，陈灏修订．量子力学教程．第二版．北京：高等教育出版社，2009．2．主要参考书（1）曾谨言.量子力学，卷Ⅰ，（第五版）.北京：科学出版社，2013.（2）钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析（第三版）.北京：科学出版社，2008.（3）曾谨言.量子力学教程（第三版）.北京：科学出版社，2014.（4）苏汝铿.量子力学（第二版）.北京：高等教育出版社，2002.（5）曹天元.上帝掷骰子吗？量子物理史话.北京：北京联合出版公司，2019.（6）吴京平.无中生有的世界：量子力学外传.北京：北京时代华文书局，2018.（7）汪振东.在悖论中前行：物理学史话.北京：人民邮电出版社，2018.（8）戴瑾.从零开始读懂量子力学.北京：北京大学出版社，2020.（9）赵峥.物理学与人类文明十六讲.北京：高等教育出版社，2016.四、课程内容第一章早期的量子论主要内容：经典物理学的困难，光的波粒二象性，原子结构的玻尔理论，微观粒子的波粒二象性。重点和难点：粒子的波动性，粒子性与波动性的关系。课程思政：传统文化―大学之道：①大学之道，在于独立学生之思想，完备学生之人格，授之以安身立命之技能。（蔡元培）②大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善。（《四书》）第二章波函数和薛定谔方程主要内容：波函数的统计解释，态叠加原理，薛定谔方程，粒子流密度和粒子数守恒定律，定态薛定谔方程。重点和难点：波函数的物理意义，定态薛定谔方程。课程思政：大国重器―“墨子号”和“九章”。第三章一维势场中的粒子主要内容：一微无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿。重点和难点：利用定态薛定谔方程求解一维粒子的运动。课程思政：现代科技―扫描隧道显微镜。第四章量子力学基本原理主要内容：力学量的算符表示，算符的对易关系，厄密算符本征函数的正交性，动量算符和角动量算符，两力学量同时有确定值的关系，不确定原理，力学量平均值随时间的变化，守恒定律。重点和难点：厄米算符，不确定原理。课程思政：科学家的故事。第五章中心力场主要内容：电子在库仑场中的运动，氢原子，无限深球方形势阱。重点和难点：中心力场，氢原子。课程思政：物理之美―坚硬的原子。物理之美―对称性与守恒量。第六章量子力学的矩阵表示主要内容：状态的表象，量子力学的矩阵表示，么正变换，狄拉克符号。重点和难点：状态的表象，狄拉克符号。课程思政：物理之美―傅里叶变换。第七章量子力学本征值的代数解法主要内容：线性谐振子与占有数表象，角动量升/降算符，两个角动量的耦合。重点和难点：线性谐振子与占有数表象，角动量耦合。课程思政：哲学思辨。第八章粒子在电磁场中的运动主要内容：粒子在电磁场中的运动，正常塞曼效应。重点和难点：塞曼效应。课程思政：物理学家的故事。第九章近似方法主要内容：非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，氢原子的一级斯塔克效应，变分法。重点和难点：非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，氢原子的一级斯塔克效应。课程思政：现代科技―第三次工业革命。第十章电子的自旋主要内容：电子自旋，电子的自旋算符和自旋函数，电子总角动量的本征态，两个电子的自旋函数。重点和难点：自旋算符，自旋波函数。课程思政：现代科技―自旋电子学。第十一章全同性原理主要内容：全同粒子的特性，全同性原理，全同粒子波函数，泡利原理，两个全同粒子体系的波函数。重点和难点：全同性原理，全同粒子体系的波函数。课程思政：科学家的故事。讲课过程中穿插介绍量子力学最新发展，量子理论最新成果，学科最前沿发展动态，培养学生创新能力。创新能力培养为选讲内容，如需要将占用机动2学时介绍。五、习题每章布置1-3个习题，加深学生对所学知识的巩固。六、实验或实践环节无。七、学时分配章次内容学时1第一章早期的量子论42第二章波函数和薛定谔方程83第三章一维势场中的粒子64第四章量子力学基本原理125第五章中心力场46第六章量子力学的矩阵表示67第七章量子力学本征值的代数解法68第九章近似方法69第十章电子的自旋610第十一章全同性原理4机动2合计64八、考核类型考试九、先修课程力学、热学、电磁学、光学、原子物理学、高等数学、线性代数、数学物理方法。十、适用专业应用物理学、材料物理、光电信息科学与工程、新能源材料与器件。十一、执行说明1．本大纲根据教育部“高等院校量子力学课程教学基本要求”编制。2．教学中把量子力学最前沿内容和成果穿插于授课中，扩大学生知识面，培养学生创新能力。3．本课程采用线上线下混合式教学，采用过程性与终结性相结合的评价模式，既考察学习效果，又考查学习过程。过程性评价主要包括考勤及线上活动、作业、课堂测验、单元测验，均在线上完成，成绩占比40%；终结性评价主要是期末考试，成绩占比为60%。执笔：审核：

（1）研究黑体处于热辐射平衡态时其辐射能（2）经典解释的失败：维恩从热力学出发得到黑体辐射能量密度与波长的关系即维恩黑体辐射能量密度与波长的关系即瑞利-金斯公式，结果在长波符合，但短波不符合，甚至（3）普朗克假设：黑体辐射或吸收电磁波的能量不是连续的，而是以一份一份的方式进行，每一份能量是hv。普朗克假设得出的黑体辐射公式与实验完全符合。（1）光线照射到金属上，电子从金属中逸出。特频率；光电子初动能与照射光频率成线性关系，与光强无关；瞬（2）经典解释的失败：光是波，电子做受迫振动；光强（3）爱因斯坦光子假设：光是由一个个光子组成（2）康普顿散射解释：X射线的散射是单个光2跃迁的方式进行，即hv=En-Em。念与经典力学是不相容的，多少带有人为的性质，它们的物理本质还不清（1）物理意义：波函数Ψ(r,t)代表微观粒子的状态。Ψ(r,t)2（波函数已归一化）代Ψ2(rn是复常数）也是体系的一个可能状态。或者说，当体系处于态Ψ时，部分的（概率分布）量子力学中cΨ与Ψ表示同一态；而经典场如电场CE与E表示的是强度不同的场。24．粒子流密度和粒子数守恒定律▽微分形式）积分形式）（2）物理意义：某体积内的概率随时间的变化率等于单位时间内流进或流出该体积的Ψ(r,t)=Ψ(r)e-iEt/（1）成立条件：粒子处在与时间无关的势场中，即U=U(r)。满足▽.J=0。（1）意义：谐振动是自然界常见的一种运动形式；一般情况下的微小振动可以看作是其中，n=0,1,2,。能级等间距ΔEn=En+1-En=w；存在零点能量（基态能量）E0=w/2，这是纯量子效应。具有确定的宇称，即Ψn(-x)=(-1)nΨn(x)；（2）特点：隧道效应是由微观粒子的波动性引起的，是纯（3）应用实例：α衰变，即α粒子从放射性核中逸出；1982年，宾尼和罗雷尔利用电EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),F)nn（2）性质(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^^),AB))+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B))+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)++EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)两个厄米算符之积一般不是厄米算符，除非它们相互[EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(^),A),EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(^),B)]=0(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^^),AB))+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^^),BA)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)方法一：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),A)++EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),A)必为厄米算符。因为(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)++EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A))+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)++EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)。方法二：i(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A))必为厄米算符。因为[i(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A))]+=-i(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+)=i(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A))。方法三：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),A)必为厄米算符。因为(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A))+=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),A)。2x0Ψx0(x)=δ(x-x0)pxEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),L)Lz3EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),L)L2=l(l+1)2Ylm(θ,φ)本征值L2=l(l+1)2的简并度为2l+1。EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),L)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),L)（5）量子数l和m的物理意义表示轨道角动量在z轴上分量的大小。（1）若算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),A)与算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),B)有共同本征函数系，则算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),A)和EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),B)对易，即。（2）若算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),A)和算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),B)对易，即，则它们有共同本征函数系。如果有N个相互对易的力学量算符能唯一地确定体系的状态，就将这N个力学量称为EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),F)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),F)量子体系的任何可观测的物理量F都能够用一个线性厄米算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),F)来表示；每一个这样的算符都存在着正交归一完备的本征函数系{Ψn}，本征值fn就是在相应本征态Ψn上该力学量的测量值，所有本征值的集合{fn}称为本征值谱。任何一个物理上允许的波函数Ψ都取值fn的概率。（1）表述：设EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),A)、EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),B)代表两个力学量算符，且它们的对易关系为那么4对于任意的归一化波函数Ψ,有（2）特点：不是由测量过程决定的，关系的存在源于微（3）意义：揭示了用经典理论描述微观粒子的局限性；不确定Ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)wnl=dWnl/dr=REQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),n)lr2绕z轴具有旋转对称性）EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),F)对易则有即力学量EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),F)平均值不随时间变化。这时称F为量子体系的守EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),H)（1）态矢空间：物理体系的任一微观状态可以用一种抽象的矢量描述，这种抽象的矢EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),G)（3）意义：态矢空间中的基底相当于几何学中的坐标系；选取不同的基底，相当于选系数cn(t)称为波函数Ψ(x,t)在G表象下的表示或称Ψ(x,t)为G表象下的波函数。2．波函数Ψ(x,t)在坐标表象和动量表象中的表示坐标算符x对应本征值为x,的本征函数为Ψx,(x)=δ(x-x,)，则cx(t)就是波函数Ψ(x,t)在坐标表象中的表示，即Ψ(x,t)在本征值为x的基矢上的投影就动量算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),p)对应本征值为p的本征函数为则就是Ψ(x,t)在动量表象中的表示。2（1）波函数Ψ(x,t)的矩阵表示G表象下波函数Ψ(x,t)的矩阵表示为EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),F)矩阵元EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(F),mn)=∫φEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(*),m)(x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),F)φn(x)dx。EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(*),m)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(^),F)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(^),F)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(*),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(^),F)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(F),nm)F+=F*=Fmnnmmn特例：力学量算符EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),G)在自身表象中的矩阵元为算符在自身表象下是一个对角矩阵，并且本征值就是算符方程Φ(x,t)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),F)Ψ(x,t)：简写为=ΣFmnann3EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),F)或简写为或式中，表示哈密顿算符在G表象下的矩阵元。设力学量算符EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),A)、EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),B)的本征函数系分别为{Ψn(x)}和{φβ(x)}，则从A表象到B表象矩阵元Snβ=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(*),n)(x)φβ(x)dx。4特点：S+S=SS+=I（单位矩阵）或S+=S-1，即变换矩阵为幺正矩阵，它所表示EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),F)FB=S+FAS（3）波函数u(x,t)从A表象到B表象的变换（1）意义：在量子力学中表示一个量子态可以不引进具体的表象，直接用狄拉克符号（2）右矢和左矢：态矢空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间；右矢空间中矢Ψ+EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),A)ΨEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),A)+EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),Q)正交归一：mn=δmnnn运算中随意移动位置；φΨ+=Ψφ；在Q表象下，Ψ和φ的标量积是它们在相应基矢上分量的乘积之和，即（5）投影算符：=nnΨ=nnΨ=annEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(^),a)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),a)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),a)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),a)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),N)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(^),a)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(^),a)（2）粒子数算符的本征值为n=0,1,2,3,，本征矢为0,1,2,3,。（3）以粒子数算符的本征矢0,1,2,3,作为基矢的表象称为占有数表象或粒子EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),H)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),H)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(^),H)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),H)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(0),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),H)（1）EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),H)在H(0)表象中的矩阵形式EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),H)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),H)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),H)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),H)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(0),v)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(0),v)其中EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),H)μv=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(*),n))EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),H)ΨEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(0),v)dτ是EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(^),H),在简并空间中的矩阵元。Env=E+En(（1）电子自旋角动量：电子存在一个自旋角动量，它在空间任何方向上的分量只有两个取值Sn=±/2。（2）电子自旋磁矩Ms与自旋角动量S-的关系是。EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(^),σ)本征值：σx,σy,σz=±1，σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),x)=σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),y)=σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),z)=1，σ2=σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),x)+σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),y)+σEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),z)=32对易关系：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),σ)×EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),σ)=2iEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(^),σ)或EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)在(S2,Sz)表象中，EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),S)z,EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),S)x,EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up3(^),S)y的对应本征（2）EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)x、EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(^),σ)y对x±z)的作用或写电子的态函数时，既要考虑其坐标，又要考虑其自旋。在Sz表象中，电子总的态函若Ψ(r,Sz,t)已归一化，则式中，Ψ12表示t时刻自旋朝上的电子在r-电子在r-处出现的概率密度；12dτ表示t时刻自