2025-2026年北师大版高一数学必修第二册第7章综合测试卷

2025-2026年北师大版高一数学必修第二册第7章综合测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第二册第7章中，关于椭圆的标准方程，下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程总是形如x²/a²+y²/b²=1，其中a>b>0B.当椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程中分母较大的项对应y轴C.椭圆的离心率e满足0<e<1，且e越大，椭圆越扁平D.椭圆的准线方程为x=±a²/e，与焦点位置无关2.已知点P(x,y)在椭圆x²/9+y²/4=1上运动，则点P到椭圆左准线的距离d与到右焦点的距离F的最小值之比为（）A.2/3B.3/2C.4/9D.9/43.在7.2节中，我们学习了椭圆的几何性质，若椭圆x²/25+y²/16=1的左焦点为F₁，右焦点为F₂，点A(3,2)在椭圆内部，则|AF₁|+|AF₂|的值为（）A.10B.8C.6D.44.根据北师大版教材7.3节内容，将椭圆x²/16+y²/9=1沿x轴压缩到原来的1/2，所得新椭圆的离心率与原椭圆的离心率之比为（）A.1/2B.2/3C.3/4D.4/55.在7.4节中，关于椭圆的参数方程，下列表达正确的是（）A.椭圆x²/a²+y²/b²=1的参数方程为(x=acosθ,y=bsinθ)B.参数θ的几何意义是右焦点F₂到点P(x,y)的连线与x轴的夹角C.当b>a时，椭圆的参数方程中cosθ与x轴的夹角为θD.椭圆的参数方程只适用于焦点在x轴上的情况6.已知椭圆C₁:x²/9+y²/4=1与椭圆C₂:mx²/16+ny²/9=1有相同的离心率，若C₂的短轴长为6，则m的值为（）A.4B.8C.16D.327.在北师大版7.5节中，关于椭圆的统一定义，下列说法错误的是（）A.椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长B.椭圆的离心率e是焦点到准线的距离与焦点到中心的距离之比C.椭圆的统一定义可以推广到双曲线和抛物线D.当离心率e趋近于1时，椭圆逐渐变为抛物线8.已知椭圆x²/25+y²/16=1的右焦点为F₂，点P在椭圆上，若|PF₂|的最小值为2，则点P的轨迹方程为（）A.x²/16+y²/9=1B.x²/9+y²/16=1C.x²/25+y²/21=1D.x²/21+y²/25=19.在7.6节中，关于椭圆的几何应用，下列说法正确的是（）A.地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点B.椭圆的面积公式为S=πab，其中a,b分别为半长轴和半短轴C.椭圆的内接矩形面积最大时，其长宽比等于椭圆的离心率D.椭圆的高斯方程是x²/a²+y²/b²=1的另一种表达形式10.已知F₁、F₂为椭圆x²/16+y²/9=1的焦点，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|的值为（）A.6B.8C.9D.12二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点坐标为________，离心率为________。2.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√2/2，则a²与b²的关系为________。3.椭圆x²/25+y²/16=1的准线方程为________，焦点到准线的距离为________。4.将椭圆x²/9+y²/4=1沿y轴方向拉伸到原来的2倍，所得新椭圆的方程为________。5.椭圆x²/16+y²/9=1的参数方程为________（用θ表示）。6.若椭圆x²/9+y²/4=1与椭圆x²/16+y²/9=1有相同的离心率，则后者的方程为________。7.椭圆x²/25+y²/16=1的内接矩形的最大面积为________。8.已知椭圆x²/16+y²/9=1的右焦点为F₂，点P在椭圆上，若∠F₁PF₂=90°，则点P的坐标为________。9.椭圆x²/9+y²/4=1的短轴端点到左准线的距离为________。10.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在y轴上，且离心率为√3/2，则a²与b²的关系为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到准线的距离等于椭圆的短半轴长。（）2.椭圆的离心率e越大，椭圆越接近圆形。（）3.椭圆x²/16+y²/9=1的参数方程为(x=4cosθ,y=3sinθ)。（）4.椭圆的准线与椭圆相交时，交点对应的椭圆上的点到两焦点的距离之和最小。（）5.椭圆x²/9+y²/4=1的短轴端点到右焦点的距离为√5。（）6.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在x轴上，则a>b>0。（）7.椭圆的参数方程只适用于焦点在坐标轴上的标准位置。（）8.椭圆x²/25+y²/16=1的内接矩形的最大面积等于50π。（）9.椭圆的离心率e满足0≤e≤1。（）10.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到中心的距离为√5。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知椭圆x²/16+y²/9=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，且|PF₁|+|PF₂|=10。求点P的轨迹方程。2.椭圆x²/9+y²/4=1的右焦点为F₂，点A(1,2)在椭圆内部。求|AF₂|+|F₁F₂|的最小值。3.椭圆x²/25+y²/16=1的短轴端点为B，焦点为F₁、F₂。求三角形F₁BF₂的面积。4.椭圆x²/16+y²/9=1的参数方程为(x=4cosθ,y=3sinθ)。求椭圆上到直线x-2y+6=0距离最远的点的坐标。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某科学实验装置中的运动轨迹为椭圆，其长轴长为8，短轴长为6，且焦点位于x轴上。求该椭圆的方程。2.已知椭圆x²/25+y²/16=1的右焦点为F₂，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=60°。求|PF₁|•|PF₂|的值。3.椭圆x²/9+y²/4=1的内接矩形的一条边与x轴平行。求该矩形的最大面积。4.椭圆x²/16+y²/9=1的右焦点为F₂，点P在椭圆上，且PF₂的延长线与直线y=x交于点Q。求|PQ|的最小值。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：椭圆的离心率e=√(1-(b²/a²))，0<e<1，e越大，(b²/a²)越小，椭圆越扁平。2.A解析：椭圆x²/9+y²/4=1的a=3,b=2,c=√5，左准线x=-9/√5，右焦点(√5,0)。3.A解析：|AF₁|+|AF₂|=2a=10，根据椭圆定义。4.B解析：压缩后椭圆x²/(8²)+y²/9=1，e₁=√5/8，e₂=√5/9，e₁/e₂=2/3。5.C解析：参数方程中cosθ表示x轴投影，θ为右焦点F₂到点P的连线与x轴的夹角。6.B解析：C₂的短轴长为6，b=3，e=√5/4，a²=9/(1-(5/16))=144/11，m=8。7.C解析：统一定义适用于圆锥曲线，但离心率范围不同。8.A解析：|PF₂|的最小值=a-c=2，a=5,c=√9-4=√5，b²=9-5=4。9.A解析：地球轨道为椭圆，太阳位于焦点。10.B解析：由余弦定理|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°=(2a)²，解得|PF₁|•|PF₂|=8。二、填空题1.(-√5,0),(√5,0);√5/3解析：c=√9-4=√5，e=c/a=√5/3。2.a²=b²解析：e=√2/2⇒1/2=1-b²/a²⇒a²=b²。3.x=±15/√5;3√5解析：准线x=±a²/e=±9/(√5/3)=±27/√5，距离=27/(3√5)=3√5。4.x²/9+y²/16=1解析：沿y轴拉伸2倍，b'=2b=8。5.(4cosθ,3sinθ)解析：标准参数方程形式。6.x²/16+y²/9=1解析：e=√5/4⇒a²=16/(1-(5/16))=256/11，b²=9。7.48解析：最大面积=4ab=434=48。8.(4,0)解析：由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=10，且∠F₁PF₂=90°，得P在以F₁F₂为直径的圆上。9.3解析：短轴端(0,±2)，准线x=±9/(√5/3)=±27/√5，距离=27/(3√5)-2=3。10.a²=4b²解析：e=√3/2⇒3/4=1-b²/a²⇒a²=4b²。三、判断题1.×解析：焦点到准线距离=a²/e=9/(√5/3)=27/√5≠2。2.√解析：e=0时为圆，e→1时趋近抛物线。3.√解析：标准参数方程形式。4.×解析：最小值出现在椭圆上离准线最近的点。5.√解析：右焦点(√5,0)，短轴端(0,±2)，距离=√(5+4)=√9=3。6.√解析：焦点在x轴上，a²>b²。7.×解析：可旋转任意角度。8.×解析：最大面积=4ab=48。9.×解析：0<e<1。10.√解析：c=√9-4=√5。四、简答题1.解：由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=10=2a⇒a=5。又b²=a²-c²=25-5⇒b²=20。轨迹方程为x²/25+y²/20=1。2.解：|AF₂|+|F₁F₂|=|AF₂|+2c。当A、F₂、F₁共线时最小，最小值=√(1+5)+2√5=√6+2√5。3.解：三角形面积S=1/2×2c×b=1/2×2√5×4=4√5。4.解：设P(4cosθ,3sinθ)，到直线距离d=|4cosθ-6sinθ+6|/√5。令f(θ)=4cosθ-6sinθ，最大值√(4²+(-6)²)=√52，最大距离=(√52+6)/√5，P点坐标为(4cosθ,3sinθ)。五、应用题1.解：a=4,b=3,c=√7，方程为x²/16+y²/9=1。2.解：由余弦定理|PF₁|²