山东省济南市2025-2026学年高一上册10月学情检测数学试卷-含答案

数学本试卷共4页，满分150分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.46.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.167.设全集，集合，则（）A. B. C. D.8.已知集合，且，则实数的取值为（）A. B.3 C.2或3 D.或39.的最大值为（）A. B. C.4 D.810.不等式的解集是，则的解集是（）A. B.C.或 D.或11.方程有一个正根和一个负根充分不必要条件是（）A. B. C. D.12.已知集合，，若，则实数取值范围是（）A. B. C. D.13.对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或14.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（）A.100人 B.人 C.人 D.178人15.设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数取值范围为（）A. B.C. D.或16.已知正实数，满足，则最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.17.已知集合，，下列说法正确的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件18.关于的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.或19.已知集合或，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则20.已知正数，满足，下列结论正确的是（）A. B.C.的最小值为12 D.的最小值为14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.21.已知，，则的取值范围为________.22.已知集合，，若，则实数________.23.甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是________.24.若对任意，不等式恒成立，则________.四、解答题：本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25已知二次函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求不等式的解集.26.设集合，.（1）求集合中元素的最小值和最大值；（2）用表示集合中所有元素的和.（i）求；（ii）设是正整数集的一个子集，且.对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值.

数学本试卷共4页，满分150分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由元素与集合，集合与集合的关系逐个判断即可.解答过程：对于A，正确；对于B，正确，对于C，正确，对于D，符号使用错误，故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：确定集合，再由交集运算即可求解.解答过程：，又因为，所以，故选：C3.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：根据含有一个量词命题的否定形式可直接得出结论.解答过程：易知命题“，”的否定形式是.故选：C4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.解答过程：由题意当时，由推不出，此时；当时，，则可得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B5.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.4答案：A解析：思路：由基本不等式“1”的代换可求得最值.解答过程：，当且仅当，即时取等号.故选：A.6.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16答案：A解析：思路：根据补集的概念求出，再根据元素个数求出真子集个数即可.解答过程：，，则，其真子集个数为.故选：A7.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据集合描述法的定义求出集合，进而利用补集运算求解即可.解答过程：集合，所以.故选：A8.已知集合，且，则实数的取值为（）A. B.3 C.2或3 D.或3答案：D解析：思路：根据元素与集合的关系，对是否为2进行分类讨论，可得结果.解答过程：若，可得或；当时，满足题意；当时，满足题意；若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意.因此实数的取值为或3.故选：D9.的最大值为（）A. B. C.4 D.8答案：B解析：思路：利用基本不等式来求最大值即可.解答过程：由，则由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：B.10.不等式的解集是，则的解集是（）A. B.C.或 D.或答案：B解析：思路：根据三个二次之间的关系解得.解答过程：由不等式的解集是，所以方程的两个根为和3.由韦达定理得，，即，所以为，即，解得.故选：B.11.方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断.解答过程：若方程有一个正根和一个负根，则，，，得，则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误；是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误；是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确；是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误.故选：C12.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果.解答过程：由可知，当时，可得，即，满足题意；当时，可得，解得;综上可知，实数的取值范围是.故选：C13.对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：分与两种情况，结合二次函数性质求解.解答过程：当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意；当时，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A14.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（）A.100人 B.人 C.人 D.178人答案：B解析：思路：根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案.解答过程：如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示，则，，，．不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为，观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为，观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为，则，，，．由三个集合的容斥关系公式得，解得，故接受调查的市民共有人．故选：B．15.设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.或答案：D解析：思路：先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案.解答过程：若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，等价于当时，，当时，，即，所以；若q为真命题，即存在，不等式成立，等价于当时，.由于，，所以，解得.若p，q都是真命题，则；所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.故选：D.16.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得.解答过程：由正实数，满足，所以，.，当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立.所以的最小值为.故答案为：C.二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.17.已知集合，，下列说法正确的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件答案：ABC解析：思路：解绝对值不等式可得，因此，根据集合的包含关系对选项逐一判断可得结论.解答过程：解不等式可得，即,因此可得，所以，即A正确；又，但，因此B正确；因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，可得C正确；易知若，则一定有，但，所以“”是“”的充分不必要条件，即D错误.故选：ABC18.关于的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.或答案：BD解析：思路：分，，讨论求解不等式的解集即可；解答过程：当时，不等式为，解得；当时，由解得或，若时，即，则的解集为：或，故D正确；若时，即，则的解集为：；若时，即，则的解集为：或；当时，由解得或，所以的解集为：，故B正确；故选：BD19.已知集合或，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AD解析：思路：对于选项A，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项C，分，讨论求解即可；对于选项D，当时，判断出即可得解.解答过程：对于选项A，已知，根据集合的性质可知，当时，的解集是空集，满足，当时，由，可得，所以因为，所以或，解得综上：，所以选项A正确；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，由A选项知，所以选项B错误；对于选项C，当时，是空集，此时，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项C错误；对于选项D，当时，，因为，所以，则，，此时，所以选项D正确.故选：AD.20.已知正数，满足，下列结论正确的是（）A. B.C.的最小值为12 D.的最小值为14答案：BC解析：思路：由可得，由正数，解不等式可得，可得A错误，B正确，将等式变形利用基本不等式可得，解不等式可知C正确，将代入表达式，再利用基本不等式计算可得D错误.解答过程：对于A，由可得，又因为为正数，所以，解得，因此A错误；对于B，由可得，解得，因此B正确；对于C，将等式变形可得，又所以可得，整理即可得，解得或（舍），当且仅当，即时，等号成立,因此C正确；对于D，由可得，当且仅当，即时，等号成立,此时的最小值为13，即D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.21.已知，，则的取值范围为________.答案：解析：思路：利用不等式的基本性质可求得的取值范围.解答过程：因为，，则，由不等式的基本性质可得.故的取值范围为.故答案：.22.已知集合，，若，则实数________.答案：解析：思路：分别讨论当时，时和时，所对应的值，从而求出，即可求解.解答过程：由于，当时，无解；当时，,此时，,不满足条件；当时，此时，,此时,满足条件；故答案为：23.甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是________.答案：丙解析：思路：根据逻辑关系分析求解即可.解答过程：假设甲说错，那么乙、丙都对，此时身高顺序从高到矮为乙、甲、丙，则丙最矮；假设乙说错，那么甲、丙都对，此时乙的说法的意思是乙不比丙高，这与丙的说法矛盾；假设丙说错，那么甲、乙都对，由甲对可知甲最高，由乙对可知乙比丙高，所以身高从高到矮为甲、乙、丙.此时丙的说法‘我比你们都矮’是正确的，这与丙说错的假设矛盾.综上所述，丙最矮.故答案为：丙.24.若对任意，不等式恒成立，则________.答案：3解析：思路：根据绝对值不等式转化为二次不等式组，构造，通过特殊赋值得到关于的不等式组，先令待定系数，再通过整体的范围，利用不等式的性质可求的范围，进而可结合所得范围求解可得.解答过程：因为对任意，不等式恒成立，所以对任意，恒成立.设，由可得，即①，由可得，即②，由可得，即③，令，则由解得，所以，由①可得④，由③可得⑤，由④+⑤可得⑥，由②⑥可得.故答案为：.四、解答题：本题共2小题，共26