内蒙古自治区呼和浩特市铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.2.以下不等式正确的是（）A.如果，，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么3.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4.不等式的解集是（）A. B. C. D.5.已知函数，且，则（）A. B. C. D.6.在等差数列中，，（，），则（）A. B. C. D.7.如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（）A. B. C. D.8.设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（

）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.10.下列能够取得最小值为4的函数有（）A.函数 B.函数C.函数 D.函数11.已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（）A.B.是偶函数C.的图象关于点中心对称D.是的一个周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若，则实数的值为______.13.设函数，则______．14.已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.求下列函数解析式：（1）函数满足；（2）函数对任意的都有；（3）函数是一次函数且满足.16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性，并求其极值．17.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元.假设小王生产的产品当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？18.已知数列的前项和为，且满足．（1）求及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19.设函数，．（1）求函数在区间上的最值；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）已知，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：集合，，所以.2.以下不等式正确的是（）A.如果，，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么答案：C解析：思路：举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C.解答过程：对于选项A，取，，，，满足，，但，A错误；对于选项B，取，，，，满足，但，B错误；对于选项C，因为，所以，C正确；对于选项D，取，，满足，但，D错误；3.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题，即对于，​成立.设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为.充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有(−1,+∞)⫋A因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是.4.不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：方法一：由，得，化简得，即，等价于，解得.所以原不等式的解集为.方法二：由，得或，化简得或（舍去），所以，所以原不等式的解集为.5.已知函数，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，又因为，所以，所以，所以A、C无法判断，对于B、D，，所以，即.6.在等差数列中，，（，），则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等差数列通项公式列出已知项的表达式，求解公差与首项，再代入计算即可.解答过程：设等差数列的首项为，公差为，其通项公式为，.由，，可得，两式作差得.因为，可得，进而.故.7.如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数与单调性及最值的关系求解即可.解答过程：由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误.对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误.对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确.对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误.8.设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点.解答过程：当时，，在区间内的零点为和，共个零点.由得，则函数在区间上的零点为共6个.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.10.下列能够取得最小值为4的函数有（）A.函数 B.函数C.函数 D.函数答案：BCD解析：思路：利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案.解答过程：对A：，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对C：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D：，当且仅当，即时等号成立，故D正确.11.已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（）A.B.是偶函数C.的图象关于点中心对称D.是的一个周期答案：ABC解析：思路：利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误.解答过程：对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；对于B,令可得，所以，即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；对于C,令，则由可得，即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；对于D,由于是偶函数，所以满足，即，可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若，则实数的值为______.答案：2解析：思路：根据集合相等的定义分析即可.解答过程：集合，，若，则，则或，所以或或，当时，集合，，则，满足题意；当时，集合，，不符合；当时，集合，，不符合；综上，实数的值为2.故答案为：213.设函数，则______．答案：解析：思路：先对原函数求导得到含常数的导函数表达式，再将代入导函数构造出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值.解答过程：由题意得，令，得，解得.14.已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，______．答案：解析：思路：借助与关系计算可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.解答过程：由题意，当时，，而满足上式，因此，则，则，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.求下列函数解析式：（1）函数满足；（2）函数对任意的都有；（3）函数是一次函数且满足.答案：（1）（2）（3）或．解析：思路：（1）用换元法，令，代入求出后即可得；（2）用替换已知式中的，然后解方程组可得；（3）设，代入已知条件求解.（1）令，则，所以，则．（2）∵，①∴，②由得解得：．（3）设，则.又，所以.即，解得，或.所以或．16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性，并求其极值．答案：（1）（2）在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值解析：思路：（1）利用切线的几何意义求出斜率，再结合题意得到切点，最后得到切线方程即可.（2）利用导数求解函数的单调性，再求解极值即可.（1）因为，所以，设切线的斜率为，由斜率的几何意义得，而，得到切点为，则切线方程为，化简得，故切线方程为.（2），令，可得，令，可得，则在上单调递减，在上单调递增，得到极小值为，无极大值.17.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元.假设小王生产的产品当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？答案：（1）（2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元）解析：思路：（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式；（2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润.（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元，且年利润年销售收入固定成本流动成本，当时，流动成本，所以；当时，流动成本，所以.因此，年利润的函数解析式为.（2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足，因此，（万元）当时，是开口向下的二次函数，对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值.比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）.18.已知数列的前项和为，且满足．（1）求及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），，（2）解析：思路：（1）赋值求出前3项，作差得到递推关系，证明数列是等比数列，从而写出通项即可.（2）写出的表达式，采用错位相减法，即可得解.（1）根据已知条件，，令，解得，同理，易得.当时，，与两式相减，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，所以，则，两式相减可得，整理得.19.设函数，．（1）求函数在区间上的最值；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）已知，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论．答案：（1）最大值为，最小值为.（2）.（3）.证明如下：由（1）可知，函数在单调递减，在单调递增，因为方程有两个不等实根，，不妨设,所以，，化简得，即，令，其中，则，所以，解得，则解得；因为方程有两个不等实根，，不妨设,所以，，化简得，即，令，其中，则，所以，解得，解得；设，其中，令，，则，，，，因为，所以，，，，令，其中，则，设则，当时，，所以在上单调递减，，所以在上单调递增，当趋于0时，趋于1，趋于负无穷，所以，则，所