宁夏回族自治区固原市第二中学2025-2026学年高二下册第一次月考数学试卷-含答案

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“四书五经”是中国儒家经典的核心典籍，自宋代以来成为科举考试和传统教育的核心内容，其中“五经”是指《诗经》，《尚书》，《礼记》，《周易》，《春秋》．如果从“五经”中任选两本，可以选择的方法种数为（）A.5 B.9 C. D.2.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.243.函数的极值点是（）A. B. C. D.4.已知，则（）A.1 B. C.2026 D.5.从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（）A.12 B.24 C.32 D.366.已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.B.函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C.函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D.函数的最小值为7.在的展开式中，含项的系数是（）A.40 B.80 C. D.8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分.多选或错选不得分，部分选对得部分分）9.下列结论中正确的有（

）A. B.C. D.10.随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A.若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B.若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C.若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法11.已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（）A.为 B.所有项的二项式系数和为C.二项式系数最大的项为第4项 D.没有常数项三、填空题（每题5分，共15分）12.已知函数，则________．13.曲线在处的切线方程为________．14.若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______.四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，合计77分）15.已知函数，求的极值．16.计算下列各式．（1）；（2）；（3）解方程：.17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：（1）某内科医生甲与外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲和乙两人都不参加，有多少种不同的选法？（3）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？18.已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）求函数在区间上的最值．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．

数学（满分：150分时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“四书五经”是中国儒家经典的核心典籍，自宋代以来成为科举考试和传统教育的核心内容，其中“五经”是指《诗经》，《尚书》，《礼记》，《周易》，《春秋》．如果从“五经”中任选两本，可以选择的方法种数为（）A.5 B.9 C. D.答案：D解析：解答过程：从“五经”中任选两本，可以选择的方法种数．2.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.24答案：A解析：思路：利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。解答过程：每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．故选：A.3.函数的极值点是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出函数导函数，得出函数的单调区间，从而得出函数的极值点.解答过程：由函数可得令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取得极小值.所以极值点为.故选：C方法提示：本题考查求函数的极值点，注意极值点的概念，属于基础题.4.已知，则（）A.1 B. C.2026 D.答案：D解析：思路：由题可得，令可得答案.解答过程：，令，则.故选：D5.从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（）A.12 B.24 C.32 D.36答案：B解析：思路：分百位数是3和百位数是4讨论，结合排列的应用即可求解.解答过程：当百位数是3时，则十位和个位共有种排法；同理可得当百位数是4时，十位和个位共有12种排法，所以比300大的三位数的个数为.故选：B.6.已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.B.函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C.函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D.函数的最小值为答案：C解析：思路：根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.解答过程：由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．7.在的展开式中，含项的系数是（）A.40 B.80 C. D.答案：A解析：思路：由题可知的展开式中，含项的系数就是的展开式中，含项的系数减去含项的系数解答过程：解：的展开式中，含项的系数就是的展开式中，含项的系数减去含项的系数，因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中，含项的系数为故选：A8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可.解答过程：设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得.二、多选题（每题6分，共18分.多选或错选不得分，部分选对得部分分）9.下列结论中正确的有（

）A. B.C. D.答案：CD解析：思路：根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D．解答过程：是常数，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：CD．10.随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A.若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B.若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C.若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法答案：BCD解析：思路：利用分步乘法计数原理、排列的知识逐项分析、计算判断作答.解答过程：对于A，男生甲排在两端，则这5名同学共有种不同的排法，A错误；对于B，2名女生相邻，则这5名同学共有种不同的排法，B正确；对于C，2名女生不相邻，则这5名同学共有种不同的排法，C正确；对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有种不同的排法，D正确.故选：BCD11.已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（）A.为 B.所有项的二项式系数和为C.二项式系数最大的项为第4项 D.没有常数项答案：CD解析：思路：根据二项式展开式的特征求出，即可判断A，再由二项式系数和为判断B，由二项式系数的特征判断C，写出展开式的通项，即可判断D.解答过程：因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误；二项式所有项的二项式系数和为，故B错误；因为二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，故C正确；二项式展开式的通项为，令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确.故选：CD三、填空题（每题5分，共15分）12.已知函数，则________．答案：解析：思路：由题意可得：，代入自变量的值求解的值即可.解答过程：由题意可得：，则.故答案为．方法提示：本题主要考查复合函数求导法则，导数的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.曲线在处的切线方程为________．答案：解析：思路：求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.解答过程：函数，求导得，则，切点，由点斜式得切线方程为，整理得．故答案为：.14.若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______.答案：解析：思路：分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解.解答过程：由题意可知：在区间内恒成立，可得在区间内恒成立，因为在区间内单调递增，则，可得，所以实数的取值范围为.四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，合计77分）15.已知函数，求的极值．答案：极大值为1；极小值为解析：思路：求导，利用导数分析函数单调性，进而求出函数极值．解答过程：由题意得的定义域为R，则，令，解得，，则变化情况如下表：极大值极小值的极大值为；极小值为．16.计算下列各式．（1）；（2）；（3）解方程：.答案：（1）480（2）16（3）或解析：思路：（1）利用排列数公式求解；（2）利用排列数公式求解；（3）利用组合数公式求解.（1）；（2）；（3）因为，由可得或，解得或.17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：（1）某内科医生甲与外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲和乙两人都不参加，有多少种不同的选法？（3）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？答案：（1）（2）（3）120解析：思路：（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解；（2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选5人，即可求解；（3）由题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生，②队中有3名内科医生和2名外科医生，③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解.（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，只需在剩下的7人中再选3人即可，有种选法.（2）甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有有种选法.（3）分3种情况讨论:①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法;②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法;③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，由分类加法计数原理，可得有40+60+20=120种不同的选法.18.已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）求函数在区间上的最值．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增．（2）最小值为，最大值为．解析：思路：（1）先求出导函数结合导函数正负得出函数单调性；（2）根据函数单调性及极值点比较判断最大值及最小值即可.（1）的定义域为，，令，得，，的变化情况如下表所示：x10单调递减1单调递增所以，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为由于，，所以的最大值为．综上，的最小值为，的最大值为．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．答案：（1）当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（