辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（）A. B. C. D.2.已知首项为1的数列中，，则（）A. B. C. D.23.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.已知全集，且，则（）A. B. C. D.5.已知，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.6.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知等比数列的前项和为，若，且，则（）A.40 B.-30 C.30 D.-30或408.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知随机变量，且，则（）A.当时，B.C.若，则D.从该正态总体中随机抽取3个独立样本，取值均大于3的概率大于0.0111.已知函数，其中，则下列结论正确的有（）A.若，则的导函数的最小值为0B.若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则C.“在上单调递增”的充要条件是“”.D.若方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知一元二次方程的两个根为和，则__________.14.已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着中国风文化兴起，非遗文创产品深受年轻人喜爱.某非遗文化体验馆为了研究每月举办的非遗体验活动场次（单位：场）与当月非遗文创产品销售收入（单位：万元）之间的关系，随机抽取了5个月的数据如下.活动场次12345销售收入1015202632（1）根据上表数据，求关于的线性回归方程；（2）若该体验馆下个月计划举办6场非遗体验活动，试预测当月的非遗文创产品销售收入.附：，，.16.已知数列满足，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.18.已知函数．（1）求的值域；（2）求不等式的解集；（3）若的解集为R，求的取值范围．19.对于有限数列，定义它的一次合成为一个项数为的数列：.记.若经过次合成后得到只含一个元素的数列，则称该元素为数列的合成核，记作.特别地，单元素数列的合成核即为该元素本身.（1）已知数列，写出，并求出；（2）已知数列的合成核，且各项均为正整数.（i）若，求的值；（ii）若是公差大于的等差数列，求；（3）若数列的各项均为正整数，记.已知，求的最小值，并给出一组符合条件的数列

数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为函数是减函数，是增函数，在上为减函数，则，，，所以.2.已知首项为1的数列中，，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：根据递推关系逐项求解即可.解答过程：∵，，，，.故选:B.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先得到函数在上单调递减，再结合零点存在定理求解即可.解答过程：因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，，，，，根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为.故选：C4.已知全集，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，集合由中满足的元素构成，：，故，：，故，：，故，：，故，：，故，所以，则.5.已知，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数奇偶性及函数图象，分析选项即可.解答过程：由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数.对于，，，故错误；对于,，当时，，与图象不符，故错误；对于，，当，与图象不符，故错误；故选：6.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：可举例说明“”推不出“”，利用基本不等式可说明“”成立时，“”成立，由此可得答案.解答过程：取，满足，但，故“”不是“”的充分条件，因为，，，故时，，因此“”是“”的必要条件，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.7.已知等比数列的前项和为，若，且，则（）A.40 B.-30 C.30 D.-30或40答案：A解析：思路：根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.解答过程：因为，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比数列性质可知，成等比数列，公比为所以，解得，故选：A8.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案解答过程：设，则，所以在上单调递增.于是，即，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：取反例可判断AD；利用二次函数单调性可判断B；利用不等式的性质可证明C.解答过程：对于A，取

，，此时

（因为

），但

，，有

，因此A错误；对于B，由于

，而在

上单调递增，

所以，即

，因此B正确；对于C，因为

，有

。将不等式

两边同时乘以正数

，得即

，因此C正确；对于D，取

，，此时

（因为

），但即

，因此D错误.故选：BC10.已知随机变量，且，则（）A.当时，B.C.若，则D.从该正态总体中随机抽取3个独立样本，取值均大于3的概率大于0.01答案：ABD解析：思路：由已知正态曲线关于对称且，由期望的性质判断A，由正态曲线的性质求概率、列不等关系判断B、C，应用独立乘法公式求概率判断D.解答过程：已知，则正态曲线关于对称，由，得，A：由期望性质，正确，B：由和关于对称，故，因此，正确，C：正态分布对称轴右侧的概率随分界点增大而减小，由，则，得，错误，D：单个样本取值大于3的概率为，三个独立样本都大于3的概率为，正确.11.已知函数，其中，则下列结论正确的有（）A.若，则的导函数的最小值为0B.若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则C.“在上单调递增”的充要条件是“”.D.若方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是答案：BC解析：思路：利用函数导数与单调性求最值判断选项A，利用导数的几何意义求切线方程分析得出选项B，根据函数在给定区间上的单调性得出恒成立，结合函数导数与单调性求最值即可得出选项C，由方程的根的个数等价出函数图象交点个数，构造新函数利用函数导数与单调性、极值结合函数大致图象分析即可得出选项D.解答过程：选项A，由，则，令，则，因为且，所以，当时，即，解得：，当时，即，解得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，故A错误；选项B，由，则曲线在处的切点为：，又，则此时切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为即，令，令，所以切线与轴的交点坐标分别为：，所以曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为：，故B正确；选项C，若在上单调递增，则等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，即，当时，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，即“在上单调递增”的充要条件是“”，故C选项正确；选项D，由方程，即，由，所以，令，方程恰有两个不相等的实数根，等价于与有两个不同的交点，由，当，当，解得：或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，此时，且当时，，当时，，所以的大致图象为：由图可知与有两个不同的交点，则，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.答案：解析：解答过程：由题设，则.13.已知一元二次方程的两个根为和，则__________.答案：3解析：解答过程：由题设，根据韦达定理得，所以.14.已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________.答案：解析：思路：根据已知等量关系及偶函数的性质得到是周期为的周期函数，再应用周期性求函数值.解答过程：对任意，，令，得，化简得，因为是偶函数，所以，令，得，即，综上，，所以，即是周期为的周期函数，因此.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着中国风文化兴起，非遗文创产品深受年轻人喜爱.某非遗文化体验馆为了研究每月举办的非遗体验活动场次（单位：场）与当月非遗文创产品销售收入（单位：万元）之间的关系，随机抽取了5个月的数据如下.活动场次12345销售收入1015202632（1）根据上表数据，求关于的线性回归方程；（2）若该体验馆下个月计划举办6场非遗体验活动，试预测当月的非遗文创产品销售收入.附：，，.答案：（1）（2）37.1万元解析：思路：（1）根据已知数据，应用最小二乘法求回归直线方程；（2）将代入回归方程预测销售收入即可.（1）由题意，，，，所以，由，则，所以，因此，关于的线性回归方程为；（2）将代入回归方程，即预测当月非遗文创产品销售收入为万元.16.已知数列满足，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案；（2）裂项相消法求和即可（1）由，得，所以时，.当时，，符合上式.，所以的通项公式为.（2）由（1）得.所以.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.答案：（1）当时，函数在单调递增；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是（2）解析：思路：（1）首先求函数的导数，讨论，求解函数的单调区间；（2）首先根据极值点求，再利用导数分析函数在区间上的单调性，再转化为与的交点个数，求的取值范围.（1），当，即时，恒成立，此时在单调递增，当，即时，，得或，，解得或，，解得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当时，函数在单调递增，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）由条件可知，得，当时，，得或当或时，，当时，，当的单调性如下表:3

单调递减单调递增若方程在区间上有两个不同的实数根，则与在区间有2个交点，所以.18.已知函数．（1）求的值域；（2）求不等式的解集；（3）若的解集为R，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将变形为，利用推导分式范围，得值域（2）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，化简求解再还原（3）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，分类讨论保证区间恒成立求参数范围.（1）已知函数，即，因为，所以，则,因此，即的值域为.（2），设()，不等式变为：，化简得；，展开右边并移项；解得：结合，得，即，因此.（3）令，，不等式变为，因式分解得，所以，当时，不等式恒成立，若，不等式解为，需，若，不等式解为，需，即，若，不等式为，不成立.综上，a的取值范围为.19.对于有限数列，定义它的一次合成为一个项数为的数列：.记.若经过次合成后得到只含一个元素的数列，则称该元素为数列的合成核，记作.特别地，单元素数列的合成核即为该元素本身.（1）已知数列，写出，并求出；（2）已知数列的合成核，且各项均为正整数.（i）若，求的值；（ii）若是公差大于的等差数列，求；（3）若数列的各项均为正整数，记.已知，求的最小值，并给出一组符合条件的数列答案：（1）；.（2）（i）；（ii）（3）的最小值为，一组符合条件的数列为：.解析：思路：（1）结合已知条件根据定义求解即可；（2）（i）结合已知条件根据定义建立方程求解即可；（ii）根据等差数列的通项公式以及新定义分类讨论即可；（3）根据所给条件结合新定义分类讨论分析即可.（1）由数列，根据定义：由可得：，由，得，由，得，故合成核.（2）（i）由，则，，，故合成核，解得：；（ii）