江西省九江市六校2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，，则为（）A.，B.，使得C.，使得D.，2.已知，，，则（）A. B. C. D.3.已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（）A. B.C. D.4.对于数列，定义其“交错和”为，若，则（）A. B.1 C. D.20265.设，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知公比大于1的正项等比数列满足．设，数列的前项和为，若，则（）A. B. C.6 D.57.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.8.若，且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.10.（多选题）已知函数的定义域为，在处取到极小值，则下列结论一定正确的是（）A.在处取到极大值 B.在处取到极大值C.在处取到极小值 D.在处取到极小值11.已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.满足，且的所有的和为1225C.满足的的取值集合为D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.已知全集，若集合，，则的元素个数为________.14.已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上存在极值点，求的取值范围.16.已知数列满足，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17.已知函数的图象关于点对称，函数.（1）求的值；（2）若命题“，”是假命题，求的取值范围.18.已知数列满足：，且对任意，有.（1）求，，并比较大小；（2）证明：数列是等比数列；（3）记数列的前项和为，证明：.19.给出函数，，我们把称为，的平方差函数.（1）若，均为可导函数，函数在处取得极值，且，证明：；（2）已知.（i）若，且在区间上单调递减，求的取值范围；（ii）若，判断的零点个数.

数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，，则为（）A.，B.，使得C.，使得D.，答案：B解析：思路：全称量词命题的否定是存在量词命题，且否定结论.解答过程：原命题中量词为“任意”，结论为“”，因此为“，使得”.2.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先分别判断与的大小，再判断的大小.解答过程：，，，所以.3.已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由奇偶性排除BD，由特殊点函数值排除A，得到答案解答过程：由的图象关于轴对称，可知是偶函数，对于A，定义域为R，，故为偶函数，但与图象不吻合，A错误.对于B，，故不为偶函数，B错误；对于D，，不为偶函数，D错误；对于C，定义域为R，且，故为偶函数，且，故C满足要求；4.对于数列，定义其“交错和”为，若，则（）A. B.1 C. D.2026答案：A解析：思路：根据，得到通项公式，进而得到答案.解答过程：由和两式相减得，故，因此.5.设，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.解答过程：若，则，所以，故必要性成立.取，，则，但，充分性不成立.因此“”是“”的必要不充分条件.6.已知公比大于1的正项等比数列满足．设，数列的前项和为，若，则（）A. B. C.6 D.5答案：B解析：解答过程：因为是等比数列，，则，故，即，所以是等差数列，由得，由等差数列的性质得，因此，已知，故．7.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案解答过程：设，则，所以在上单调递增.于是，即，解得.8.若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：构造可得是周期为2的周期函数，并求出，从而求出答案解答过程：因为，所以，设，则，所以是周期为2的周期函数，中，令得，因为，联立可得.因为，所以，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：应用作差法比较大小判断A，由对应函数的单调性判断BC，应用特殊值法，举反例判断D.解答过程：对于A，.由，得，，故，故A正确；对于B，由及函数在区间上单调递增，得，故B正确；对于C，由及函数在区间上单调递减，得，故C正确；对于D，取，，则，，故D错误.10.（多选题）已知函数的定义域为，在处取到极小值，则下列结论一定正确的是（）A.在处取到极大值 B.在处取到极大值C.在处取到极小值 D.在处取到极小值答案：BD解析：思路：对于选项A，可取函数，即可判断正误；对于选项B，根据函数与函数图象的对称性判断；对于选项C，可取函数，即可判断正误；对于选项D，根据函数为偶函数判断.解答过程：对于选项A，取，易知在处取到极小值，，在处取到极小值，故A错误；对于选项B，与的图象关于原点对称，所以在处取到极大值，故B正确；对于选项C，取，，不是该函数的极值点，故C错误；对于选项D，是偶函数，且时，.由于在处取到极小值，由偶函数的对称性，在处也取到极小值，故D正确.11.已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.满足，且的所有的和为1225C.满足的的取值集合为D.若，则答案：ACD解析：思路：A选项，变形得到，因为，所以，A正确；B选项，得到，，所以当或时，，从而求出所有的和；C选项，的奇数项为1，偶数项为0，求出C正确；D选项，当为偶数时，，当为奇数时，，求和即可解答过程：A选项，中取，得，所以，因为，，……，所以，故A正确；B选项，取，，结合A选项的分析，得，因为，所以，，所以当或时，，所以满足，且的所有的和为，故B错误；C选项，的奇数项为1，偶数项为0，所以满足的的取值集合为，故C正确；D选项，当为偶数时，.当为奇数时，，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.答案：3解析：解答过程：由已知，，则.13.已知全集，若集合，，则的元素个数为________.答案：2解析：解答过程：依题意，，而，故，即有2个元素.14.已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足，则________.答案：11解析：思路：先由根和系数的关系得到，，再结合变形得到，代入计算出结果；解答过程：由根与系数的关系得，.则.又，，所以，，.故答案为：11.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上存在极值点，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解；（2）根据极值点的定义，把原问题转化为在区间内有解，利用零点存在定理求解即可.（1）当时，，求导得，所以，.故所求切线方程为，即.（2）由，得，.因为，所以的符号由分子决定，又在区间上存在极值点，等价于在区间内有解，且在该解左右两侧变号.所以，即，解得，所以的取值范围为.16.已知数列满足，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案；（2）裂项相消法求和即可（1）由，得，所以时，.当时，，符合上式.，所以的通项公式为.（2）由（1）得.所以.17.已知函数的图象关于点对称，函数.（1）求的值；（2）若命题“，”是假命题，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用对称性有求参数值，再验证函数定义域是否关于点对称，即可得；（2）问题化为“，”是真命题，即，结合指数函数、二次函数及分式型函数的性质求右侧的最小值，即可得.（1）由题意得，，即，所以，恒成立，所以恒成立，则，解得，或（舍去），所以，此时，由，得定义域为，满足关于点对称，故；（2）因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，即“，”是真命题，即，又，令，则，所以，，因为在区间上单调递增，当，即时，，易知函数在区间上单调递减，所以，所以时，取得最小值6，所以，即的取值范围是.18.已知数列满足：，且对任意，有.（1）求，，并比较大小；（2）证明：数列是等比数列；（3）记数列的前项和为，证明：.答案：（1），，；（2）证明：由，又，故数列是以为首项、为公比的等比数列.（3）证明：由（2）得，故.所以，则解析：思路：（1）依次计算出，作差法比较大小；（2）计算出，证明出结论；（3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得.（1），由题意，，，则，故.（2）略（3）略19.给出函数，，我们把称为，的平方差函数.（1）若，均为可导函数，函数在处取得极值，且，证明：；（2）已知.（i）若，且在区间上单调递减，求的取值范围；（ii）若，判断的零点个数.答案：（1）证明：因为，所以，由题意，即，因为，所以，由可得，所以.（2）（i）；（ii）当时，有1个零点；当时，有3个零点解析：思路：（1）求导，利用极值点的定义得到方程，变形得到结论；（2）（i）根据单调性可得，参变分离可得，构造函数，得到其最值，从而求出的取值范围；（ii）换元得到或，判断出有唯一的根为1，方程也有1个根为1，设，求导，分和两种情况，得到单调性，求出的零点情况.（1）略（2）（i）因为，，所以，因为在区间