山东省滨州市首都师范大学附属滨州中学2026-2027学年高二（上）开学测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省首都师范大学附属滨州中学高二（上）开学测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两个向量a=(2,−1,3)，b=(4,m,n)，且a//b，则m+nA.−4 B.4 C.−8 D.82.若空间向量a=(1,0,1)，b=(2,1,2)，则a与b的夹角的余弦值为(

)A.23 B.23 C.23.已知向量a=(23,0,2)，向量b=(12,0,A.(3,0,3) B.(−3,0,1)4.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB=a，A.−12a+12b+c5.已知直线AB所在方向向量为(2,−1,7)，平面α的一个法向量为(1,9,1)，则直线AB和平面α的位置关系是(

)A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.在面内或平行6.在四面体ABCD中，G是△ACD的重心.记AB=a，AC=b，AD=c，若A.−23 B.−13 C.7.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积是底面积的63倍，点E为四边形ABB1A1A.23913 B.3913 8.已知空间四点A(3,0,0)，B(3,3,2)，C(0,3,0)，D(0,0,3)，则四面体ABCD的体积为(

)A.533 B.152 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+AD=0

B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb

C.若AB，CD共线，则AB//CD

D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+z10.下列四个结论中正确的是(

)A.已知{a,b,c}是空间的一组基底，则{a−b,b,b−c}也是空间的一组基底

B.已知向量a=(4,−2,9)，b=(1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为(3,6,6)

C.若A，B，C，D四点共面，则存在实数x，y11.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为AD为正方形，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PB的中点，则(

)A.DE=5

B.异面直线DE与PC所成角的余弦值为23

C.PC与平面PBD所成角的正弦值为13

D.B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.下列关于空间向量的命题中，正确的有

．

①若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a//b；

②若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c则有a//c；

③若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A，B，C13.已知空间向量a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(λ,5,5,)，若a,b,c14.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均相等，∠ACC1=2∠A1AB=120°，E，F分别为B1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,−1,m),b=(1,4,1)，且a⊥b．

(1)求|a+2b|的值；16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=a，AB=b，AD=c，点M，N分别是A1D，B1D117.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，直线PB与平面ABCD所成角为60°，M为线段PB的中点．

(1)证明：CM//平面PAD；

(2)求平面PAD与平面ACM的夹角的余弦值．18.(本小题17分)

如图，在多面体ABC−A1B1C1中，AA1=AC=4，CC1=2，AB=3.侧面ABB1A1为矩形，CA⊥平面ABB1A1，CC1⊥19.(本小题17分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，AB=CD=4，AD=BC=2A1D1=2，∠BCD=60°．

(1)求证：

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】AD

11.【答案】BCD

12.【答案】①③④

13.【答案】4

14.【答案】1515.【答案】(1)解：因为a=(2,−1,m),b=(1,4,1),a⊥b，

所以a⋅b=2−4+m=0，解得m=2，

所以a=(2,−1,2),b=(1,4,1)，

则a+2b=(2,−1,2)+2(1,4,1)=(4,7,4)，

所以|a+2b|=42+72+42=9；

(2)解：向量16.【答案】解：(1)因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=a，AB=b，AD=c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点，

所以A1D=AD−AA1=c−a，

所以A1M=117.【答案】证明：取PA中点N，连接MN，DN，

则MN//AB，MN=12AB，

又因为CD/​/AB，CD=12AB，

所以MN/​/CD，MN=CD，

所以四边形MNDC是平行四边形，

所以CM/​/DN，

又因为DN⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，

所以CM/​/平面PAD

因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

所以以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系：

又直线PB与平面ABCD所成角为60°，

即∠PBA=60°，

又因为AB=2AD=2CD=2，

所以PA=ABtan60°=23，AD=CD=1，

所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,23),M(1,0,3)，

易知平面PAD的法向量为n=(1,0,0)，

因为AC=(1,1,0),AM=(1,0,3)，

设平面ACM的法向量为m=(x,y,z)，

则18.【答案】解：(1)因为侧面ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA1，

因为AC⊥平面ABB1A1，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以AC⊥AA1，AC⊥AB，即直线AB，AC，AA1两两垂直，

故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，C1(0,4,2)，B(3,0,0)，

所以A1C1=(0,4,−2),AB=(3,0,0),AC1=(0,4,2)，

设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC1=4y+2z=0n⋅AB=3x=0，

19.【答案】证明：因为AD=BC，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，

∠DAB=∠BCD=60°，