金属塑性变形的力学基础应力应变分析

金属塑性变形的力学基础塑性理论：研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑性力学，是连续介质力学的一个分支。塑性理论假设：（1）变形体是连续的；（2）变形体是均质和各向同性的；（3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的；（4）在一般情况下，忽略体积力的影响；

小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而切应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。因此变形后的单元体体积为（15-22）第四节塑性变形体积不变条件设单元体的初始边长为，则变形前的体积为=单元体体积的变化（单位体积变化率）在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积不发生变化，因此

式（15-23）称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和等于零,说明三个正应变分量不可能全部同号。（15-23）=第五节

速度分量和速度场、位移增量与应变增量、应变速率张量

反映的是单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小，亦称全量应变。

塑性变形一般是大变形，前面讨论的应变公式在大变形中不能直接应用。然而，我们可以把大变形看成是由很多瞬间小变形累积而成的。考察大变形中的瞬间小变形的情况，需要引入速度场与应变增量的概念。

一、速度分量和速度场

位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故

简记为(x，y，z，t)二、位移增量和应变增量

在图15-6中，设质点P在dt内沿路径PP’P1从P‘移动无限小距离到达P“，位移矢量PP“与PP’之间的差即为位移增量，记为dui。这里d为增量符号，而不是微分符号。此时它的速度分量记为

物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。图15-6位移矢量和增量dudtdwdtdvdt

产生位移增量以后，变形体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用dεij表示。

简记为此时的位移增量分量为（15-25）

在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，表示为（15-26）

一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为简记为=（15-27）（15-28）

=

应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。

三、应变速率张量

单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用表示，单位为。设在时间间隔dt内产生的应变增量为，则应变速率为=

（15-29）

应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式（15-27）类似，应变速率===

一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量

应该注意，应变速率是应变增量对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬时变形状态。

第六节

对数应变

设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个瞬时试样长度又伸长了dl，则其应变增量为

为了真实地反映瞬时的塑性变形过程，一般用对数应变来表示塑性变形的程度。

而试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对d∈进行积分，求出总应变d∈（15-32）

∈

从上式可以看出对数应变∈和相对应变ε的关系，即只有当变形程度很小时，相对应变ε才近似等于对数应变∈。变形程度越大，误差也越大。这就是为什么相对应变适用于小变形的情况，对数应变适用于大变形的情况。一般认为，当变形程度超过10％时，就要用对数应变来表达。∈反映了物体变形的实际情况，称为对数应变或真实应变，

它能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。（15-33）∧∈1．叠加性设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到

l3，则总的对数应变为各分量对数应变之和，即:除此之外，对数应变还有以下两个性质：=显然，这表明，对数应变具有可叠加性，而相对应变不具有可叠加性。

对应的各阶段的相对应变为∈∈1

＋∈2＋∈3负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为2．可比性对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。拉长一倍时∈+压缩一半时∈-因而，相对应变为不可比应变。

前面提到的体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后分别为l1、b1、h1，则体积不变条件表示为：

=（15-34）∈1

＋∈2＋∈3一、平面应力问题

图15-7平面应力状态

平面应力状态假设变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力，且所有的应力分量与该坐标轴无关，如图15-7所示。工程中，薄壁容器承受内压、无压边的板料拉深、薄壁管扭转等，由于厚度方向的应力很小可以忽略，均可简化为平面应力状态。第七节平面问题和轴对称问题或由式（14-26）可得平面应力状态下的应力平衡微分方程为

（15-36）平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(14-27)、（14-28）、（14-29）各式中求得。由于，所以平面应力状态下的主切应力为（15-37）

纯切应力状态（即纯剪状态）是平面应力状态的特殊情况，见图15-8，纯切应力等于最大切应力，主轴与坐标轴成/4，切应力在数值上等于主应力，。因此，若两个主应力在数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。

平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变存在；只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。图15-8

纯切应力状态及应力莫尔圆二、平面应变问题

如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。

设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以，则平面应变状态的三个应变分量为、、，且满足以下几何方程=（15-38）根据体积不变条件有平面变形状态下的应力状态有如下特点：1）没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，为中间主应力，在塑性状态下，等于平均应力，即2）由于应力分量、、沿z轴均匀分布，与z轴无关，所以平衡微分方程与平面应力问题相同。3）如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成

或

（15-39）三、轴对称问题

当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。塑性成形中的轴对称应力状态主要指每个子午面（通过旋转体轴线的平面）都始终保持平面，且子午面之间的夹角保持不变。轴对称问题通常采用圆柱坐标系比较方便。当用圆柱坐标表示应力单元体时，如图15-9所示，应力张量的表示形式为

（15-40）

图15-9圆柱坐标系中的应力单元体（15-42）

相应的应力平衡微分方程表示为（15-41）参照式(15-16)，圆柱坐标系下的几何方程为图15-10轴对称应力状态

轴对称状态时，如图15-10所示，由于子午面在变形中始终不会发生扭曲，并保持其对称性，所以应力状态具有以下特点：

1）在面上没有切应力，，所以应力张量中只有四个独立的应力分量；2）各应力分量与坐标无关，对的偏导数为零。

所以，用圆柱坐标表示轴对称应力状态的应力张量为

（15-43）相应地，其应力平衡微分方程式为(15-44)

在某些情况下，例如圆柱体在平砧间均匀镦粗、圆柱体坯料的均匀挤压和拉拔等，其径向应力和周向应力相等，这样，在式（15-41）的应力平衡微分方程式中，便只有三个独立的应力分量。

轴对称变形时，子午面始终保持平面，向没有位移速度，位移分量

=0，各位移分量均与无关，由此，，向成为应变主方向，这时，几何方程简化为

（15-45）所以对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔，以及圆柱体平砧镦粗等，其径向位移分量u与坐标成线性关系，于是得这时，径向正应力和周向正应力分量也相等，即

。图15-5位移分量与应变分量的关系

（b）（c）以及棱边ab（dy）在y方向的线应变由图中的几何关系，可得因为，同理得则工程切应变为切应变为（15-14）（15-15）其值远小于1，所以有用角标符号可简记为（15-16）（15-17）两式相加，得即同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得（15-18）（15-19）对式（15-16）中的三个切应变等式分别对x、y、z求偏导，得将上面的前两式相加后减去第三式，得再对上式两边对y求偏导数，得（15-20a）（15-20b）（15-20c）与另外两式组合得（15-21）=

（15-22）=（15-23）tuuii=&&dudvdwdtdtdtdu&tuddii=此时的位移增量分量为

图15-6位移矢量和增量图15-1受力物体内一点的位移及分量一点的位移根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即（15-1）（15-2）

或图15-2单元体在xy坐标平面内的变形

设单元体平面PABC仅仅在xy坐标平面内发生了很小的拉变形，对于平行于坐标轴的线元分别有:（15-4）

图15-3单元体的变形

应变张量也是二阶对称张量，可用表示为:或（2）单元体分别在x面、y面和z面内发生角度偏转，产生切应变为

（1）在x、y、z方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为（15-5）

（15-8）（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用、、表示主应变，则主应变张量为（15-8）

（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且

主应变可由应变状态特征方程求得。（15-9）对于塑性变形，由体积不变条件（3）在与主应变方向成45°方向上存在主切应变，其大小为（15-11）

（15-10）（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量式中，（15-12）为应变偏张量，表示变形单元体形状变化为应变球张量，表示变形单元体体积变化。为平均应变（5）存在应变张量的等效应变=（15-13）等效应变的特点:

是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变ε。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。

ε1

图15-4应变莫尔圆

主切应力平面：使切应力达到极大值的平面称为主切应力平面；主切应力：主切应力平面上所作用的切应力称为主切应力。在主轴空间中，垂直于一个主平面而与另两个主平面交角为45

的平面就是主切应力平面。三、主切应力和最大切应力（14-18）主切应力平面上的主切应力为

主切应力角标表示与主切应力平面呈45

相交的两主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。最大切应力：

主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力，用

max表示。设三个主应力的关系为，则主切应力平面上的正应力值和主切应力值（14-19）（14-20）主切应力的性质：若

1=

2=

3=

，即变形体处于三向等拉或三向等压的应力状态（即球应力状态）时，主切应力为零：

12=

23=

31=0若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应力值将保持不变。

四、应力偏张量和应力球张量应力张量分解为应力偏张量和应力球张量或（14-21）若取主坐标系，则其中，

m为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即应力球张量：表示球应力状态，也称静水应力状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力。特点：在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。应力偏张量：称为应力偏张量，是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。应力偏张量不变量对于主轴坐标系

应力偏张量用来表示不同的变形类型。如J1

=0，J2

与屈服准则有关，J3

决定了应变的类型：J3

>0属伸长应变，J3

=0属平面应变，J3

<0属压缩应变。（14-22）

（14-23）

五、等效应力

等效应力：把复杂应力状态的应力值折合成单向应力状态的应力值在主轴坐标系中在任意坐标系中（14-24）

（14-25）

对于单向应力状态，设代入式（14-25），可得：。由此可见，等效应力等于单向应力状态的主应力。等效应力表示了三个主应力的综合效果，可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量的综合效果，与材料的塑性变形密切有关。也称为广义应力或应力强度。14.4应力平衡微分方程应力是坐标的连续函数，即在直角坐标系中，点Q(x,y,z)的应力状态为

ij。无限邻近处点Q

((x+dx),(y+dy),(z+dz))

分析：

Q

点的应力状态为如在Q

点的x面上，其正应力分量为则Q

点的应力状态为2）由平衡条件,有由此得得质点的应力平衡微分方程

（14-26）

简记为14.5应力莫尔圆

应力莫尔圆：应力状态的几何表示法，切应力的正、负规定：在作应力莫尔圆时，顺时针方向作用于单元体上切应力为正，反之为负。一、平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下，已知

x，

y，

xy，用应力莫尔圆求任意斜面上的应力、主应力和主切应力。分析：在

—

坐标系内标出点A（

x，

xy）和点B（

y，

yx），连接AB两点，以AB线与

轴的交点C为圆心，AC为半径做圆，即得应力莫尔圆。平面应力状态下的圆方程为

此时，圆心坐标为，半径为

圆与

轴的两个交点即为主应力

1，

2。

该圆可以描述任意微分面上

，

的变化规律，圆周上每一点代表了一个物理平面上的应力。（14-29）

由几何关系可得平面应力状态下主应力与

x，

y，

xy

之间的关系

主应力

1与x轴之间的夹角从应力莫尔圆上可得到主切应力

（14-30）

（14-29）

注：应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。二、三向应力莫尔圆对于三向应力状态，设变形体中某点的三个主应力为

1，2，3，且1>2>3，三向应力莫尔圆为:圆心的坐标和半径分别为

应力莫尔圆形表示，三个圆的半径分别等于三个主切应力，主应力分别是三个圆两两相切的切点，位于水平坐标轴上。三个圆的方程为

(14-31)每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律。三个圆所围绕的面积内的点便表示l，m，n均不为零的斜面上的正应力和切应力。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。在塑性理论中，分析问题的方法：静力学：根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系式——平衡微分方程几何学：根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移分量之间的关系式——几何方程。物理学：根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系式——物理方程或本构方程。此外，建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间的关系——屈服准则或塑性条件。第十四章应力分析分析变形——分析变形体内的应力、应变状态14.1张量的基本知识一、角标符号和求和约定

角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。如可用xi即（x1，x2，x3）表示一点的坐标；如应力分量

xx，

xy，

xz，

，可简记为

ij（i,j=x,y,z）等。一般地，如果一个坐标系有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如

ij（i,j=x,y,z）（m=2，n=3）就包含有9个元素。

克氏符号：

ij称为克罗内克（Kronecker）符号，

ij定义为

导数记号：导数记为f,j，表示f(xi)对xj的导数，逗号后边的下标表示对相应坐标的求导求和约定：在一项中，没有重复出现的角标叫自由标，表示该项的个数。在一项中，同一角标出现二次，则对该角标自1到n的所有元素求和，这种角标在求和之后不再出现，称之为哑标，这一运算称之为求和约定。二、张量的基本概念张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中，其张量分量的个数为3n，如应力、应变是二阶张量，有32=9个分量。其中，lki，llj为新坐标系的坐标轴关于原坐标系的方向余弦。表示点应力状态的九个应力分量构成二阶张量，称为应力张量。不同坐标系中的应力分量之间的转换关系三、张量的基本性质张量不变量：二阶张量存在三个独立的不变量。张量可以叠加和分解：几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。二阶对称张量存在三个主轴和三个主值以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。14.2外力、应力和点的应力状态FF＇Fμ

一、外力和应力外力：塑性加工时，由外部施加于物体的作用力叫外力。可以分为两类：面力或接触力和体积力面力：作用于物体表面的力，也叫接触力，如作用于物体表面的分布载荷，正压力和摩擦力都是面力。

体积力：作用在物体每个质点上的力，如重力、磁力和惯性力等。注：对于一般的塑性成形过程，体积力可以忽略不计。但在高速成形时，惯性力不能忽略。

应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析。设Q点处一无限小的面积ΔF上内力的合力为ΔP，则定义为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分量：垂直于截面的正应力

和平行于截面的切应力

，有注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q点的应力不同。二、直角坐标系中一点的应力状态

坐标面上的应力：在三个互相垂直的微分面上有三个正应力分量和六个切应力分量；一般情况下，共有9个应力分量完整地描述一点的应力状态。1）应力分量的符号带有两个下角标：前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法线命名）；第二个角标表示应力所指的坐标方向；正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的是切应力分量。

切应力互等定理

9个应力分量中只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量。2）应力分量有正、负之分：