2027年高考数学一轮复习（北京专用）-数列求和综合形（原卷版+解析版）

数列求和综合

散型(01公式法直接求和

1.记等比数列｛册｝的前几项和为SR,若02=1，56=崇3，则=<)

23

A.3B.2C.—D.—

32

2.已知等比数列｛斯｝的前n项和为S,，若Sn=3x2"i+九则入=.

3.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S〃，公比为力且Sn+1，Sn，S〃+2,成等差数列，则公比q=()

A.-2或1B.2或-1C.1D.-2

2

4.已知数列｛册｝的前〃项和为Sn,cq=l,Sn+Sn+1=n4-l(n€N')fS25=()

A.300B.301C.324D.325

5.记S”为等差数列｛%｝的前〃项和，且a?=2%=2,则满足&V888的〃的最大值为()

A.40B.41C.42D.43

散型IL02分组转化求和

6.己知数列｛%｝满足%=1,0n+i=20n+l(neN*).

⑴证明｛Qn+1｝是等比数列，并求｛即｝的通项公式；

⑵求数歹股即+n+1｝的前〃项和S”.

7.已知数列｛斯｝是等差数列，其前n项和为S“，且2a2+。4=13,S7=49.

⑴求｛QJ的通项公式；

(2)设九=%+2%,求数列｛儿｝的前?i项和

ba

8.在数列｛%｝中，点(几许)在直线2%-y-4=0上；在等比数列｛bn｝中,b2=«3»s=io-

⑴求数列｛%｝,｛儿｝的通项公式；

⑵设q=4+bn,求数列｛0｝的前71项和Sn.

9.在数列｛«„｝中，叼=：，=—+2n+1.

3与+ian

⑴证明：数列｛^一2八｝是等差数列.

(2)求｛Qn｝的通项公式.

⑶若以=—,求数列｛九｝的前n项和S1】.

an

茎翌IL03裂项相消求和

10.已知等差数列｛Q“｝满足即=3,031=61.

⑴求｛QJ的通项公式；

⑵设数歹可/；3｝的前n项和为S”，求数列｛SJ的前几项积

11.已知数列｛%｝满足：%=1,%+i=即+2n(neN)

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列｛0｝的前〃项和为S”，若以求证：S<l.

«n«n+ln

nn

12.已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且满足Sn+2-2Sn+i+Sn=2+1+2,a3-2a2+ar=2,记儿=an-2.

⑴求证：｛b｝是等差数列；

(2)若%=3，求证：6十三-+•••+〈今

匕1幻匕2b44分+23

13.已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且满足nSn+i-(n+l)Sn=〃5+l),n£N«,aL=1.

⑴求数列｛册｝的通项公式:

n

(2)若以=(-l)-%咛，求数列｛bn｝的前几项和Tn.

«nOn+l

14.已知数列｛%｝的前n项和为SR且2Sn+3-3%=0,neN".

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)若九川,求数列｛%｝的前几项和

15.已知数列｛%｝的首项为2,前n项和为Sn，且Sn+i+2=%+3?l+Sn.

⑴求数列｛%｝的通项公式：

(2)已知心一：八记数列｛勾｝的前〃项和为7;，求证：一;WG<一5.

oan+on-zuLs

鼓型IL04错位相减求和

16.已知数列｛%｝的前？i项和为Sn，34=2Sn+2〃(九£N)

⑴证明：数列｛%+1｝为等比数列，并求数列｛Qn｝的前几项和外;

(2)设4=log3(a2n+1+1),求数列｛含｝的前几项和

17.已知Sn为数列｛斯｝的前几项和，且⑥=l,an+l=JSn+1+V^n-

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设4=看,数列｛%｝的前nJ贝和为7\，证明:|(l-^)<Tn<|.

n(»i+l)

18.已知数列｛%｝的首项%=1,｛$｝的前几项和为S”且满足必叶1-(n+1)S”-2-,

⑴正明：数歹耳^｝是等差数列；

⑵若0=号」，求数列｛“｝的前n项和

19.记S”和〃分别为数列｛斯｝，9J的前几项和，已知｛册｝为等差数列，%=恭且比=%,4T2=S2+2.

⑴求｛6｝的通项公式.

(2)证明：Tn<5.

鼓型IL05奇偶并项求和

20.已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且⑥=l,Sn+i=4an+l(nGN)

⑴证明：｛“+1-2册｝是等比数列，并求出｛%｝的通项公式;

=2k-l,kGN*

(2)设以二n”《“求数列｛九｝的前九项和G・

(log2fln-,n=2k,keN

21.已知又是各项均为正数的数列｛%｝的前几项和，fln+i-2an+i即一3冠:0,53=13.

⑴求｛6｝的通项公式；

(曾为奇数，

⑵设h=1汨俚耨求数列｛以｝的前2n项和72,・

----:------,九为偶数，

'.log3arilog3an+2

22.已知数歹」｛｝｝的前n项和S”=d+2n.

⑴求｛册｝的通项公式：

(2)若与=(-l)n•普求数列｛4｝的前2n项和台八

滔，当71为奇数时

23.已知函数八九)=；/=上,且％=/伽)+/5+1),

I-nz,当"为偶数时

⑴计算％,a2?

(2)求通项公式｛即｝；

⑶设L为数列｛4｝的前〃项和,求5n；

24.已知｛%｝为等差数列，其前n项和为Sn,满足为=1,且S3=2。2+2.

⑴求｛a,J的通项公式：

勾+i-%+1，几为奇数，

(2)设数列｛儿｝满足以=若其中〃WN*.记0=62吁1，GN*.

M为偶数，

⑴证明：用是等差数列；

(H)求也I产5WN*).

鼓型I"6数列求和之不等式综合

2an+1,n为奇数

25.已知S”为数列入｝的前n项和，丁”为数列出“｝的前几项和，%+2=24+1-,»4

2。厂】,九为偶数

8,S5=15.

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)若72n-S2nV2025,求九的最大值；

⑶设”事证明：'讯

26.已知等比数列｛即｝的前几项和为3,且数列｛S〃+2｝是公比为2的等比数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若儿二二:；，数列｛以｝的前〃项和为7\，求证：Tn<1.

72(〃+1)。叶］2

27.数列｛册｝是等差数列，其前〃项和为二，数列｛九｝是等比数列，S3-52=3,%+口2=3,bn>0,d•b2=

%，2bl+b2=b3.

⑴求数列｛%｝、｛0｝的通项公式；

(2榭的前〃项和几，求证：\<Tn<2.

28.已知数列｛斯｝满足•。2…册-1，an=(a)""6N".

⑴求数列｛即｝的通项公式；

⑵设数列｛册｝的前〃项和为S〃，若不等式(-1)，S〃一144S3对任意的71eN•恒成立，求实数/的取值范围；

⑶记0=白，求证：普+等(n£N').

嗨*#1>P2/bn

29.已知在数列｛Q“｝中，的=/且满足%+1=言.

⑴求证：数列｛工一叮是等比数列.

。L

(--;，/为奇数

⑵设数列｛以｝满足以=%+「］；，求最小实数相，使得b+b2+…+b2k<m对一切正整数k

(m+初一2,〃为偶数

均成立.

30.各项均为正数的数列｛%｝的前?!项和为Sn,且满足髭=磅+…+成何^N)

⑴求数列｛即｝的通项公式；

⑵设P“是数列&｝的前〃项和，Qn是数列｛占｝的前"，项和，当心2时，试比较P.与Q”的大小.

02

1.¥新考法|记S"(x)=x+x2+x3+•••+xn-2(x6R,nGN)

(1)当口=2时,5"(2)为数列｛册｝的前几项和，求｛%｝的通项公式；

(2)记S2024。)是S2024a)的导函数,求S2024(2).

2.新考法|已知正整数列｛册｝满足%=2,且有=序对任意正整数71恒成立•

(1)求证：对任意几EN+，的均为偶数；

⑵记"=聆，求证：W二质<9.

3.丫新考法|已知｛%｝的前n项之积Pn=(仞""3“,令bn=log2册，给出条件:®cn=anbn：②。=

(T)"_卬「=”+3

>1^n-\~4^n'，X^n+lan'

⑴方程即二垢是否有解？若有解清求出来；若无解请说明理由；

⑵从①，②，③中任选一个补充在横线上并完成问题.若｛%｝满足,求｛。｝的前n项和S”.

4-卷|］已知数列｛0"｝，｛"｝分别是等比数列和等差数列，又是数列｛册｝的前n项和.若%=1,$2=比=

3,Q3b4=36.

⑴求斯和九及S”；

(2)设｛&｝是等比数列，对任意的〃WN*,当伙三九<在+1时，有以V儿V恒成立.

fefe

(i)当攵之2时，求证：2-l<ck<2+l；

⑴设数歹四求数列以｝的前右项和八

5.，新^法］(1)证明：当*>°时，x—y<sinx<x；

(2)已知正项数列｛册｝满足即+i=Q”一鬻5EN)

(i)证明：数列①即｝为递增数列；

(ii)证明：若0<%<V5,则对任意正整数a都有几期<急.

数列求和综合

01公式法直接求和

1.记等比数列｛%｝的前几项和为SM若。2=1，56=亲3，则%=（）

23

A.3B,2C,--D,--

【答案】D

【详解】设等比数列｛4｝的公比为g,若q=l,则S6=2S3,故qH1,

由比=黑3可得曾瞎，

化简得/=_',解得q=_g

则%=?=与=_*

q—2

故选：D.

2.已知等比数列小｝的前几项和为Sn,若Sn=3x2…十九则入=.

【答案】-6

【详解】（方法一）因为Sn=3x2"i+/l,

当兀之2时，Qn=Sn-Sn_iuBxZn+l+X-GxZn+QnBUn,可得皿^=2,n>2,

当n=1时，%=Si=3x2?+九

因为数列｛斯｝为等比数列，所以之二者三=2,解得人=一6.

n+1

（方法二）若数列公比为q,当q=1,则Sn=71al=3x2+A不可能恒相等，

所以qHl,则5"二笔>=言一言q"=6,2"+；l,所以；1=一6.

故答案为：—6.

3.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为右，公比为4,且Sn+i，S〃，S“+2,成等差数列，则公比9=（）

A.-2或1B.2或一1C.1D.-2

【答案】D

【详解】已知S〃+i，Sn，Sn+2成等差数列,有2S”=S^i+

那么5n-5n+1=Sn+2-Sn.

因为Sn+1-Sn=%+1，所以Sn-Sn+1=一册+1；又因为5什2-S”=即+]+%+2,所以得到一%+1=%+1+

由一册+1=。71+1+%+2，移项可得%+2=-即+1-%+1=-2%+b

因为数列｛斯｝是等比数列，根据等比数列的定义，公比q=3.

an+l

由%+2=-2%+1，可得9=詈=-2.

an+l

故该等比数列的公比q为一2.

故选：D.

2

4.已知数列｛册｝的前〃项和为Sn,%=1,Sn4-Sn+1=n+l(nE/V)，525=()

A.300B.301C.324D.325

【答案】B

【详解】由S〃+S什i=/+i得，sn_1+Sn=(n-lf+l,n>2,

两式作差得4+a,l+1=2n-l,n>2,

则S25=Q[+(。2+。3)+(。4+05)+…+(。24+025)=1+3+7+…+47

=1+田a=3()L

故选：B

5.记Sn为等差数列｛册｝的前〃项和,且。2=2%=2,则满足&V888的〃的最大值为()

A.40B.41C.42D.43

【答案】B

【详解】由己知可得力=l,a2=2,

｛%｝的公差为。2-©=1，故%="，

故&=1+2+3+…+九=

令曳罗<888,又n£V,所以九W41,故〃的最大值为41,

验证SM==861<888,S42==903>888,

所以〃的最大值为41.

故选：B.

及型I【02分组转化求和

4

6.已知数列｛%｝满足%=1,an+l=2(in+l(neN)-

⑴证明｛即+1｝是等比数列，并求汝“｝的通项公式；

⑵求数列｛“+n+1｝的前〃项和外.

n

【答案】⑴证明见解析；an=2-l

n+1

(2)Sn=2+-2

【详解】(1)由题意可得：%+1=2。0

•.at+i+l_2即+1+1__2(。几+1)_2

%+1即+1。八+1

所以｛%+1｝是首项为2,公比为2的等比数列

nn

则4+1=2,即0n=2-l

因此｛即｝的通项公式为%=2"-1

nn

(2)由(1)知％=2-1,令，i=an+n+1则以=2+n

所以Sn=b+%+…+=(2^+1)+(2?+2)+…+(2"+n).

=(21+22+...+2")+(1+2+...+n)

2(1-2n)n(l+n)

=-------------+-------------

1-22

-2n+l।n(1+n)2.

综上S”=2”+i+X罗一2.

7.已知数列｛%｝是等差数列,其前n项和为国,且2a2+。4=13,S7=49.

⑴求sn的通项公式；

(2)设勾=%+2即，求数列｛九｝的前71项和

【答案】⑴%=2〃-1

22n+1—2o

⑵4=

【详解】⑴设等差数列｛%｝的公差为d,又2a2+4=13,§7=49,

2(%+d)+%+3d=13

所以,7x6d,解得%=1,d=2,

7«i+—=4AQ9

所以｛即｝的通项公式%=%+(几一l)d=1+2(n-1)=2n-1.

(2)由(1)知以=册+2,=2九-1+22n-1，

所以7〃=61+82+63+…+b4=(1+2)+(3+2，)+(5+2，s)+…+(2n—1+22”—[)

=(1+34-5+•••+2n-l)+(2+23+2S+…+22n-1)=—+")+2x(1~4-=2.

',21-43+n

8.在数列｛%｝中，点(71,%)在直线2x-y-4=0±：在等比数列｛bj中，b?=a3,bs=a10.

⑴求数列｛册｝,｛勾｝的通项公式：

(2)设J=%+bn,求数列｛金｝的前n项和4

ni

【答案】(l)an=2n-4,ne/V+：bn=2-tneN+

n2

(2)Sn=2+n-3n-1

【详解】(1)易知2〃一Qn—4=0=%=2"一4

,:b?=。3,^5=Q104=2,氏=16

4

b^q=2,b1(/=16=瓦=l,q=2

n

bn=2t

故求数列｛斯｝，出J的通项公式分别为

n_1

=2n-4,neN+,bn=2,nEN+.

(2)由(1)知：

n-1

cn=an+bn=2n-4+2

设数列｛册｝的前几项和为4”，数列仍“｝的前71项和为8“，则

n(%+即)n(2n-6),

4i=---------=----5----=九'-3n

贝I」数歹U｛c,J的前〃项和

n

Sn=Cj+c2H----Fo=4n+B”=2+M—3九一1.

9.在数列｛%｝中，%=；，—=—+2n+1.

3Qn+1On

⑴证明：数歹1七一21是等差数列.

(2)求｛%｝的通项公式.

(3)芳8=—,求数列｛%｝的前几项和S”.

nan

【答案】(1)证明见解析

(2)%=含

⑶5'=2"+1+：n2+3九一2

【详解】(1)证明：因为一匚=上+2'+1,所以」一一2"1=工一2〃+1,

an+lcnan+lan

所以」一一2'i+i=1.

an+l，

因为为二3所以\一2二1,所以数歹打上一2"}是首项和公差均为1的等差数列.

(2)解：由(1)可得十一2n=l+(7l-l)xl=7l,

则+”故册=短

(3)解：由(2)可得，i=}=2"+几，

23n

则S”=h]+b2+b3+…+bn=(2+1)4-(24-2)4-(2+3)+…+(24-n)

,02a3、，、2(1-2")(1+n)n,,X+111021

=(2+2+24-…+2")+(1+2+3+…+九)=~--+'「)=2+-n+-n-2

1—2222

及型I【03裂项相消求和

10.已知等差数列｛。力满足。2=3，a3l=61.

⑴求｛时｝的通项公式；

(2)设数列｛Ww｝的前71项和为Sn，求数列⑸｝的前n项积TV

【答案】(1)即=2九一1

⑵7—W

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d，则29d=。31-&=61-3=58,解得d=2,

则4=34-(n-2)x2=2n-l,所以｛%｝的通项公式为即=2n-1.

(2)由(°可得花舄=花岛二；一去'

所以L=(1-y+G—3+…+(；-马=W，

所以〃=黄"X后=出

n

11.已知数列｛%｝满足：%=1,an+1=an+2(nE/V*).

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

⑵设数列｛%｝的前〃项和为S”，若儿=马里",求证：Sn<l.

。间+1

【答案】⑴%=2，-l(n£AT)

⑵证明见解析

【详解】(1)因为%+1=册+2"(几WN*),

2

所以当出之2时,0n=4_1+2"-1,…,a3=a2+2,a2=ax+2,

上述各式相加得的=%+2+2?+…+2”T,

又为=1,所以即=l+2+22+―+2nT=W=27l-l(nN2),

1—2

又％=1满足上式，故即=2n-l(nGN)

(2)由⑴得册=2"-1,

所以人_%+1_2“-1+1_】_______1_

m丛%_斯即+1_(2匚1)(2"1-1)_2J2n+1-f

所以数列｛%｝的前〃项和

Sn=±_缶+六-缶+…+六

即z<1.

n+1

12.己知数列｛斯｝的前几项和为Sn，且满足Sn+2-2Sn+14-Sn=2+2,的-2。2+%=2,记4=%-2靠.

⑴求证：｛九｝是等差数列：

(2)若a1=3,求证：6+六+…

b2b4%〜+23

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【详解】(1)由5叶2一25"1+5“=2什1+2,得(S,+2-S〃+i)-(Sn+1一S“)=2"1+2,

即每+2一%1=2"1+2,

ntt+1

因为以=即一2,所以(以+2+2-2)-(bn+1+2)=因+1+2,

—

所以4i+2bn+i=2,①

2

由%-2a2+=2,得(％+23)-2(b2+2)+(瓦+2)=2.

整理得％-2/?2+瓦=0,

即七3-》2=52-瓦，（2）

由①②得儿+i—bn=2,九WN*,

所以｛bn｝是公差为2的等差数列.

(2)因为6[=。[-2=1,所以bn=2n—1,

即既加+2=(2n-l)(2n+3)=4Q-1.2n+3)

—1

所

以++

丽b

+2

1

2n+V42n+3

1/

<X(1+

4-\

13.已知数列｛%｝的前n项和为Sn,且辆足nSn+i—（n+l）Sn=n（n+1）,nwN",a1二l.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

⑵若儿=（一1尸.生生，求数列｛九｝的前n项和7〃.

an^+i

【答案】⑴%=2n-l；

（2）Tn=-l+（-ir_l_.

【详解】⑴由吟+i—（九+1）%=〃（九+1）,nWN*,得螯一知=1，又％=1，

二数列｛+｝是首项为票=%=1,公差d=1的等差数列，

=n,2

•••Y即Sn=n,

22

当「22时，an=SnSn_!=n(nI)=2n1,且勺=1也满足,

an=2n-1,则数列｛斯｝的通项公式为%=2n-l；

（2）由（1）得%=2n-1,

1）n4n=/11\

••・九=（一（2n-l）（2n+l）（一］）"（目+E）

•』二-（1+3+（如＞（渭）+-+（-1），（亳+六）=-1+（-1）”肃

14.已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且25)+3—3%=0,n€N,.

⑴求｛Q“｝的通项公式;

3n

(2)若勾=，求数列｛瓦｝的前n项和7\.

（厮+1）（即+1+1）

【答案】(1)%=3n

13用+1)

【详解】(1)由2Sn+3—3a„=0,

可得n=1时，2s1+3—3al=0,

解得%=3,

n>2时，2S,LI+3-3an_i=0,X25n+3-3an=0,

两式相减可得2%=2szi-2sAi=3%-3-3%_]+3,

即布即=3%_],

数列｛册｝是首项为3,公比为3的等比数列，

所以%=3”；

(2)数列｛bn｝满足%=@+1)3-1+1)=(3,+1)(3H1+1)=-3"1+1)'

所以Tn=":卷+*一/+•.•十号—就7)=4(:品期).

15.已知数列｛%｝的首项为2,前n项和为Sn，且Sn+i+2=%+3n+Sn.

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)已知"=,二.力,记数列仍“｝的前几项和为求证：一:W7\<-』

oan+on-zuz5

【答案】(1)%=生衿

⑵证明见解析

【详解】(1)由已知S”+i+2=%+3几+5壮得册+1=Sn+1-Sn=an+3n-2,

即册+i-a,】=3n-2,则斯一即_[二3九_5,an_x-an_2=3n-8,…，a2-ax=1

等式左右分别相加可得

(3n-5+l)(n-l)_3n2-7n+)

a-«!=(3n-5)+(3n-8)+­­•+1=

n22

.|,i3n2-7n+4.3n2-7n+8

则r册=--—+%=--一

(2)依题意得,

bn=9n2-15n+4(3n-4)(3n-l)3岛一六)

6(in+6n-20

则7n=/—14+…+*一")=*1

9n-3

又i.，所以在《咽，所以7T9n-3'

即-gWTn<-1.

致型IL04错位相减求和

16.已知数列｛%｝的前几项和为S“，3册=2S“+2TI(7IWN").

⑴证明：数列｛Q“+l｝为等比数列，并求数列｛Q,｝的前几项和S”;

(2)设%=log3(a2n+i+1),求数列｛言寸的前〃项和

【答案】(1)证明见解析；5n=£±2_n；

(2)Tn=2-(n+2)x^

【详解】(1)数列｛5｝的前几项和为Sn，3%=2Sn+2九(九EN)3%-i=2S“_i+—1),(n>2)»

当冗=1时，3a1=2Si+2,%=2,

当？i22时，30n-30n_i=2Sn-2Sn_i4-2,

所以3册—30nt=2o„+2,

所以册=3an_j+2.

所以%+1=3即-1+3=3(即_1+1),所以，=3,

即一1+1

所以数列｛斯+1｝是首项为3,以3为公比的等比数列,

所以%+1=(a1+1)x3"T=33所以册=3n—1,

=31-1+32-1+-+3n-1=(31+32+…+-7i=一小

3n+1-3

所以5n—-2-n：

2n+1

(2)因为%=log3(a2n+i+I)=log3(32n+1-1+l)=log33=2n+1,

所以^=(2"+1)x(：)>

CZn4-l\5/

设数列｛言d的前几项和为G,

Tn=3x：+5x《+…+(2n+1)x)

JJo

=3x记+5x禾d----F(2n+1)x

，=3x2x±+…+2x(2n+1)x煮,

也=3x[+滑-(2n+Dxf

士=4-去一3+l)x*=，(2〃+4)x肃,

7n=2-(2n+4)xx1=2-(n4-2)x

所以7n=2—(n+2)X/

17.已知S”为数列｛册｝的前几项和，且%=l,an+1=同3+国

⑴求数列｛时｝的通项公式;

（2）设以=表数列｛九｝的前n项和为加证明：总一志）47\＜今

【答案】(l)an=2n-1

⑵证明见解析

【详解】（1）解：因为“+1=历7+后,即+1=Sn+i-S〃,

所以1+1—Sn=JSn+i+y[Sn-

又因为4=1,所以JSn+1+=0,

所以心什1—y/^=1,

所以｛图是公差为1的等差数列.

则、反=y[^i+n-1=n,所以Sn=n2.

22

当％N2时，an=Sn-S“_i=7i-(n-l)=2n-1,

当％=1时，%=1满足上式,

所以即=2n-1.

（2）证明：由题意及（1）,得%=竽

所以Tn=1xG)+3xG)+…+(2n—1)x(J,①

=1xG)2+3xQ)3+•••+(2n-3)xQ)”+(2n—1)x(2)

①.②得力l=*+2xG)+2xG)+…+2xG)-(2n-1)xQ),

整理得十管+§xG)y.

又T"=1XG)'+3XGY+-••+(2n-l)x(i)">⑶+(;)'+"+(；)"=K1-

所以总—总三7“京得证•

18.已知数列｛Q〃｝的首项%=1,｛册｝的前71项和为Sn且满足TlSn+1-(几+1)S“=巧2

⑴证明：数列｛+｝是等差数列；

⑵若除二号」，求数列｛%｝的前力项和凡「

【答案】⑴证明见解析

1n2n+3n2

(2)Rn=12一行一行

【详解】(1)证明：因为九%+1-(九+l)Sn=［九(71+1),所以充苜―岬=5

又%=1,所以数列｛?｝是以1为首项，以g为公差的等差数列.

(2)由(1)可得手=5九+3所以Sn=g/+g”

当九>2时S1=*几-I)2+1(n-1),

22

所以%=Sn-Sn_i=1n+|n-1(n-l)-1(n-1)=n,

当九二1时时=72也成立，所以即二九，所以以二/7，

因“n=a+,+"…+券，@

扔”=捺+芸+看+…+「'②

②-①彳制&=今+/+^+最+…■—恭③

则/=/+,+,+…+T一盖，④

③-④得洛=1+1+"±+提+…+表一/一甥+葛

111n22n-ln2

=1+(1+-+^2+...+^2)-------+

1

1•(1-2«-1)n2:2n-1n2

=1+------------------1-----

1~~2nX2n2n+1

1-2

71122n-1n2

=3----------------------------1-------

2n-22n2n2〃+1

2n+3n2

=3--------------------

2n2n+1

所以=12一笔^一成k.

19.记S”和7\分别为数列&｝,｛九｝的前〃项和，已知｛册｝为等差数列，b=黑且瓦=既，4/2=$2+2.

4

⑴求｛册｝的通项公式.

(2)证明：Tn<5.

【答案】⑴即=3n—1；

⑵正明见解析.

【详解】(1)由题设4(仇+%=%+©+2，又bn=M则4(2+?)=%+02+2,

所以为=2,又瓦=b=?=：=>。3=4%=8,

328

又｛即｝为等差数列，设公差为乙则4=宁=3,

所以是首项为2.公差为3的等差数列，故为=2+5-1)x3=371-1.

⑵由(1)得以=*，则G=|+卷+捺+…+*

r-t-।,IT2.5.83n-4.3n—1

所以n号=尹+»+尹+…+/+行，

作差得畀1+/尹…+摄・露1,a1一次)3n-l533n-l

2i-l2n+122n2n+1

所以Tn=5—£-祭=5-甯V5.

鼓型I【05奇偶并项求和

20.已知数列｛即｝的前几项和为%,且为=l,Sn+1=4an+l(neN)

⑴证明：｛%+]-2即｝是等比数列，并求出｛斯｝的通项公式;

&,九=2k-l,keN*

(2)设勾=]：燎，一立“求数列电｝的前九项和心

【答案】⑴证明见解析，%=n2T

f^zi+^z^,n=2/c-l,/cG/V"

(2)71=3=.

(T++n=2k,kWN*

【详解】(1)当n=l时，$2=%+。2=4%+1，且%=1,所以%=4;

当n22时，由Sn+i=4即+1,得S”=4%-i+1，则

Sn+i一S”=4an+1-(4%_i4-1),可得%+1=4%—4。,—，

即时+1-2an=2(%-2an_1),且药一2%*2、可得叫丁斯_?,

«n-2an-j

可知数列｛斯+1-2册｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

则4+1—2%=22-=2%可得瑞—黄二%

且可知｛胃是以T为首项，；为公差的等差数列，

所以羽="与九一1)=氤即%=几2一1.

(%,n=2k-l,kEN'n1

2-,n=2k-l,keNK

⑵由(1)可知以=n%

log—,n=2k,keNn—l,n=2k,keN*

\2n

可知｛九｝的奇数项为以瓦=1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以历=1为首项，2为公差的等差数

列.

当?i=2k,keN*时，兀=(1+4+…+4>1)+(l+3+-+n-l)=—+/二1)=—+-：

\/1—4/34

、1，r,V,L力1TT>2n+1-l.(n+1)22*1-1,(n-1)2

当n=2k—1,kEN时，Tn=Tn+1-bn+1=——+-n=——+1―

综上所述=34.

I一吟,n=2k,kwN

\34

21.已知S”是各项均为正数的数列｛%｝的前7i项和，a-—2an+｝an-3嫉=0,S3=13.

⑴求&｝的通项公式;

(an,"为奇数，

(2)设"=1汨俚将求数列｛九｝的前2n项和72n.

I百F?防偶数，

【答案】⑴%=3吁1

叫=*-1)+肃

【详解】(1)因为解+i-2%+1%-3'=0,所以(册+i+an)3n+i-30n)=0.

因为即>0,所以即+i3ati=0.即即+1=3即，

由S3=%+。2+。3=。3+3al+32al=13,解得臼=1.

由a“+i=3册,由=1工0,所以｛4｝是首项为1,公比为3的等比数列.

所以%=3"T.

n-1

(2)当n为奇数时，bn=an=3；

当荏为偶数时’"二记^^二嬴马布二码扁二X土一.

所以丁2n=(%+/+…+b2n一1)+⑸+/+…+b2n)

=(3。+32+…+32T)+_§+0T+…+(高-高)]

=瑟+乂1-焉)=*-1)+就.

22.已知数歹耳上｝的前F项和Sn=M+2儿

⑴求｛即｝的通项公式：

(2)若儿=(一1)”•瞥，求数列｛4｝的前271项和72n.

【答案】⑴％=Er

⑵-嘉

【详解】(1)当九二1时：已知Sn="2+2九，那么2=S[=1，+2X1=3,所以。1=1.

*ai113

当7i之2时：--S-S〃_1—n?+211—[(71—1)2+2{n-1)],

ann

先展开式子(几—l)2+2(n-1)=n2—2n+1+2n—2=n2—1.

2222

则’=n+2n-(n-1)=n+2n-n4-1=2n4-1,所以0r=]一.

a,t"2n+l

当n=l时，«1=7^7-7=p上式也成立.所以册=心•

(2)已知b=(—1)”.翳，把%=*代入可得:

b=(-l)n----------=(_I)"•(―!—+—

n"I"(2n-l)(2n+l)<)12n-12n+l”

72n=d+b2+b3+-+b2n

11111911

I3J135，"7，l)l4n-14n+lJ

,可以发现相邻两项相加为0，除了第一项一(1+g)中的—1和最后・,项("_1+'二1)中的4?；1.