高二数学新课预习：双曲线（学生版）

3.2双曲线

【划重点】

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法

2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.

3.掌握双曲线的简单儿何性质.

4.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.

5.会判断直线与双曲线的位置关系.

【知识梳理】

知识点一双曲线的定义

1.定义：平面内与两个定点Q,B的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|EB|）的点的轨迹.

2.定义的集合表示；｛M||M/i|一|ME||—2a,0<2a<\F]F2\].

3.焦点：两个定点Q,Fi.

4.焦距：两焦点间的距离,表示为|尸同

知识点二双曲线的标准方程与性质

£一)：=1(〃>0，6>0)一工=l(Q0,6>0)

标准方程

a2b2a2b2

图形

范闱或xW-ayW—a或

对称性对称轴：坐标轴：对称中心：原点

顶点坐标A\(~a,0),Ai(a,0)4(0,—a)t<2(0，a)

性质

h,a

渐近线y=±x尸土X

ab

离心率e=c,e£(l,+8),其中c=a2+b2

a

a,b,c间的关系c2=a24-b2(c>a>0,c>b>0)

知识点三等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是)，=心,离心率为2.

知识点四直线与双曲线的位置关系

设直线/：y=h+机(〃?W0),①

双曲线C：工一夕：=13>0,Z?>0),②

a-b~

把①代入②得(〃-a2k2)x2—2a2mkx—erm2—a2/?2=0.

(I)当〃一标公=0,即左=±b时，直线/与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点.

a

(2)当〃一加总关()，即土"时,j=(-2a2mk)2-4(b2~a2k2)(-a2m2-a2h2).

a

/>0=直线与双曲线有两个公共点；

/=0=直线与双曲线有一个公共点；

zlv0=>直线与双曲线有0个公共点.

知识点五弦长公式

若斜率为人«彳0)的直线与双曲线用交于力(占，M)，8(摩，也)两点，贝1力8|=(1+F爪R+也)2—4X1X2].

【例题详解】

一、双曲线的定义及其应用

例I⑴已知耳(TO),巴(1,0),动点尸满足归互卜归周|=2。(〃为常数)，则下列说法中错误的是()

A.^^。时：点尸的轨迹是y轴

B.。=1时，点尸的轨迹是一条直线

C.或”>1时，点尸的轨迹不存在

D.0<。<1时，点尸的轨迹是双曲线

(2)平面内到两个定点耳尼的距离之差的绝对值等于归国的点的轨迹是()

A.双曲线B.两条射线C.一条线段D.一条直线

⑶双曲线，一舌=1上的点尸到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为()

A.1或21B.14或36C.2D.21

跟踪训练1⑴在平面直角坐标系x。），中，己知点4（-5,0）,月（5,0）,动点尸满足|尸用-归用=8,则动点

产的轨迹是（）

A.椭圆B.抛物线

C.双曲线D.双曲线的一支

（2）已知双曲线二-匕=1上一点2到双曲线的一个焦点的距离为3,则户到另一个焦点的距离为

二、双曲线的简单几何性质

例2⑴（多选）关于双曲线《-金=1与双曲线工-上一=1（-4</<6）,下列说法不正确的是（）

4+16-1

A.实轴长相等B.离心率相等

C.焦距相等D.焦点到渐近线的距离相等

（2）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程:

①/一旷=32：

@9.Y2-/=81：

③x2-=-4；

上—匕则下列说法正确的是（

跟踪训练2（1）（多选）己知双曲线C：=1,

42m

A.双曲线C的实轴长为2

B.若（4,0）是双曲线C的一个焦点，则机=6

C.若双曲线。的两条渐近线相互垂直，则m=2

D.双曲线。的焦点到渐近线的距离为,〃

（2）求双曲线-9/十/=81的实轴;、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程.

三、求双曲线的标准方程

例3(1)以直线有x±y=O为渐近线，一个焦点坐标为(0,2)的双曲线方程是()

A.--/=-1B./上=]c.—-y2=1D.x2-^-=-\

3■33.3

(2)在双曲线中，虚轴长为6,且双曲线与椭圆/+16/=16有公共焦点，则双曲线的方程是()

(3)根据下列条件，求双曲线的标注方程：

①以椭圆(+卷=1短轴的两个端点为焦点，旦过点4(4,-5)；

②经过点P(-3,2行)和0(-6x/2,-7).

跟踪训练3(1)顶点距离为6,渐近线方程是)，=±|x的双曲线方程是()

人"If

B.=i

D.=1

94

(2)已知双曲线C:£=1的一条渐近线的倾斜角为120。，旦与椭圆三+22=1有相等的焦距，则C的方

a2b2102

程为()

四、与双曲线有关的轨迹问题

例4⑴若动点尸(")满足关系式4-3)2+j，2-J(x+3y+y2=4,则点尸的轨迹是()

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线一支

(2)动圆M与圆G：(X+4)2+J^2=1,圆C”，+/-&+7=0,都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.—+/=1B./上=iC.x2-^=l(x>l)D.X2-£-=1(X<-1)

151515v715''

(3)已知号(-3,0),玛(3,0),若点尸(xj)满足|尸6卜|朋|=『(册")，则尸点的轨迹是什么,并求点尸的

软迹方程.

跟踪训练4求下列动圆的圆心M的轨迹方程：

⑴与圆G：炉+(尸2)2=1和圆。2：/+(>+2)2=4都内切;

22

(2)与圆G:(.丫+3『+/=9内切，且与圆C2\x-3)+y=1外切；

⑶在A/18C中，^(-3,0),C(3,0),直线48,4C的斜率之积为9，求顶点A的轨迹方程.

五、求双曲线的离心率

例5(I)点(4,0)到双曲线「：/>0)的一条渐近线的距离为苧，则双曲线的离心率为()

ab~5

⑵已知双曲线£-《=1的渐近线为y=±x/Ix,则该双曲线的离心率为___________

a~b”

跟踪训练5(1)已知双曲线C：，■-，=1(。>0/>0)的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的日倍，则双

曲线C的离心率为()

A.-B.-C.D,2

333

/V21

(2)已知耳，乃是双曲线氏二-与=1(。>0,8>0)的左，右焦点，点时在E上，必用垂直于x轴，sin/9h=；,

o3

则E的离心率为()

「L3

A.V3B.\J2C.2D.—

六、直线与双曲线的位置关系

例6(1)直线y=gx+2与双曲线］-4=1的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

⑵过点尸(1,2)作直线/,使/与双曲线?-9=］有且仅有一个公共点，这样的直线/共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

⑶过双曲线工-仁=1的右焦点F作倾斜角为45。的直线，交双曲线于力1两点，求弦长|力同.

48

(4)己知双曲线/-/=4,直线/：y=〃(x-l),若直线与双曲线的右支有两个交点，求〃的取直范围.

跟踪训练6(1)(多选)若直线工二。与双曲线?-_/=］有两个交点，则。的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

(2)已知B(-5,0),F2(5,0)是双曲线。的两个焦点，过&且垂直于x轴的直线交。于4B两点,

9

且|加外=弓，则。的方程为.

(3)已知双曲线。的焦点在x轴上，焦距为10,且它的一条渐近线方程为？=］4工

(i)求。的标准方程；

(ii)过。的右顶点，斜率为2的直线，交。于月，3两点，求

【课堂巩固】

1.在双曲线的标准方程中，若。=6,〃=8,则其标准方程是()

36646436366436643664

2.已知点A/(-2,0),N(2,0),动点P满足归M-|尸N|=2拉，则动点。的轨迹方程为()

B.f-f=l

A.r_r=i（x>v2）

3.若双曲线Y-E=l仅>0）的虚轴长为百，则该双曲线的渐近线的方程是（）

b~

A.y=±yfjxB.y=±3x

「工△n*3

C.y=±——xD.y=±x

22

22

4.已知双曲线C：氐-三=l（a>0,〃>0）的一条渐近线与直线2x-y+l=0垂直，则该双曲线C的离心率

为（）

A.%B.6C.2D.V5

2

5.在平面直角坐标系xQy中，直线/：y=2x-5与双曲线E-£=1的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点

a~b~

在直线/上，则双曲线的方程为（）

A丁y2_iBx2y2

205520

C.^-―=1D.=1

205520

【答案】C

【分析】根据直线与双曲线得•条渐近线平行可得的关系，求出双曲线的•个焦点的坐标，再根据。,仇。

的关系求出。力,即可得解.

【详解】因为直线，：卜=2."5与双曲线4-1=1的一条渐近线平行，

cT

所以;=2,即q=2匕，

b

由直线/：y=2x-5,令x=0,得少=_5,

则双曲线的一个焦点为（0,-5）,即半焦距c=5,

Fhc2=tz2+/J2=5b2=25»得//=5，所以T=20,

所以双曲线的方程为匕-三=1.

205

故选：C.

6.双曲线二-9=15＞0力＞0）的渐近线与圆（》+21+_/=3相切，则双曲线的离心率为（）

（rlr

A.gB.2C.75D,2\/2

7.过点尸（4,3）与双曲线W-4=l只有一个公共点的直线有（）条.

169

A.1B.2C.3D.4

8.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线匕一三=1的通径长是（）

169

9Q

A.-B.—C.9D.10

42

上+回=】,

9.（多选）已知曲线C:则下列说法止确的是（)

m+1m

A.若C是椭圆，则其长轴长为2而

B.若切＜0,则C是双曲线

C.C不可能表示一个圆

D.若加=1,则C上的点到焦点的最短距离为立

2

10.（多选）已知双曲线£/_匕=1,则（）

6

A.£•的焦距为行

B.£的虚轴长是实轴长的卡倍

C.双曲线片--=1与七有相同的渐近线

6

D.点（g,O）到E的一条渐近线的距离为K

11.已知双曲线±72=1的一条渐近线与直线x+2y-3=0垂直，则〃的值为.

a

12.双曲线C犬-4=1的渐近线与直线工=1交于力"两点，且|AB|=4,那么双曲线C的离心率为.

13.已知双曲线的方程为4/一〉，2=4,写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程.

14.已知双曲线。的焦点在x轴上，焦距为4,且它的一条渐近线方程为y

⑴求。的标准方程；

（2）若直线=与双曲线。交于48两点，求|力用.

15.若双曲线C\一（=1上一点Z）（2,G）到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.

⑴求双曲线C的方程；

⑵设小人是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若|产用+|尸用=6,求的面积.

【课时作业】

1.若点M在双曲线廿=1上，双曲线的焦点为E，K，且卜鸣|二3|M/，则|加闾等于（）

164

A.2B.4C.8D.12

2.已知双曲线过点（-2,0）,且与椭圆4/+9/=36有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）

A.-——=1B.---y-=1

44'

3.若双曲线/一好2=］的一个焦点是go),则实数*=()

4.已知双曲线£-4=1(〃>0)经过点(2,3),则其渐近线方程是()

crJ

3

A.y=±5/3xB.y=±-x

2石

C.y=±y-rD.y=±—x

5.在平面直角坐标系中，已知“8C的顶点力(-3,0),4(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的

轨迹方程为()

A.--^=l(x>2)B.--^=l(x>3)

45V795V7

2222

c.^-+^-=l(0<x<2)D.^-+^-=l(0<x<3)

6.已知双曲线C：5-g=l伍>0力>0)的一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的离心率为()

A.2B.41C.73D.75

7.已知双曲线C：匚-乙=1的右焦点为产，点40,加)，若直线力?与。只有一个交点，则〃?=()

412

A.±2B.±4百C.±2x/3D.±4

8.“直线与双曲线有且仅有一个公共点〃是“直线与双曲线相切”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

9.若双曲线C:二-^二1的一条渐近线与直线/：3x+2y-2=0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的

a24

一个端点构成的三角形的面积为（）

A.2石B.6C.2而D.8

10.已知直线/：»=0与双曲线。:*提=1（9＞（））无公共交点,则双曲线。离心率6的取值范围为（）.

A.（l,x/3]B.[后+8）C.（1,拒]D.[VI+8）

11.（多选）在平面直角坐标系X。），中，已知双曲线工一e=1,则（）

412

A.离心率为2

B.渐近线方程为），=土声x

C.实轴长为2

D.右焦点到渐近线的距离为2g

12.（多选）已知双曲线c：/—22=],则（）

3

A.双曲线C与圆卜-g）+/=1有2个公共点

22

B.双曲线C的离心率与椭圆三+汇=1的离心率相同

43

C.双曲线。的渐近线斜率与双曲线工-/=1的渐近线的斜率互为倒数

3

D.双曲线C与直线y=只有一个公共点

13.（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线的离心率是（