2027年高考数学一轮复习讲义-双曲线（含解析）

双曲线

【课标要求】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程2掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、

渐近线、离心率）.3.了解双曲线的简单应用.

・落实主干知识・

1.双曲线的定义

把平曲内与两个定点"，B的距离的差的维处值等于非零常数（小士|PB|）的点的轨迹叫做双曲线.这两

个定点叫做双曲线的:&点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

注意：（1）若将“小于改为“等于巧乃|"，其余条件不变，此时动点的轨迹是以R,同为端点的两

条射线（包括端点）；若将其改为“大于尸尸2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.

（2）若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.

（3）若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段“用的垂直平分线.

2.双由线的标准方程和简单几何性质

-y2y232_i

22a2h2,

标准方程ab,

(a>0,Z?>0)(a>0,b>0)

图形w

F\(-c,0),」(0,-c),

隹占

FNc,0)」(0，c)

焦距丁尸21=2。

X-/或y^-a或

范围

xNa,y^Rx£R

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

性质

4(-a,0),4(0,-a),

顶点

丁伍，0)42(0，⑶

实轴：线段为&,长：2a；虚轴：线段

轴8/2,长：2b；实半轴长：a,虚半轴

长：b

渐近线■9

e一『1,+8)

离心率a

。，b,c的关系~=屋+〃(。＞干＞0,0b＞0)

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“q”或“x”)

⑴平面内到点a。4),B(0,M)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(X)

(2)方程弓21(〃7〃>0)表小焦点在x轴上的双曲线.

mn(X)

⑶双曲线三号心0,〃>0)的渐近线方程是二匕0.(7)

mnmn

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于鱼.(7)

2.双曲线卜4产=1的离心率为()

A.A/2B.V3C.yD.V5

答案C

解析因为r・4y=1,即/耳=1,

4

所以。=1,b=^,C=dQ2+—衅,

所以金半

aL

3.(多选)己知双曲线方程亮/1,下列说法中正确的有()

A.焦点坐标为(0,±5)

B.虚轴长为6

C.焦距为10

D.渐近线方程为.尸号

答案BC

解析由双曲线方程《3=1,

得。=4,6=3,C=A/16+9=5,

又焦点在工轴上，所以焦点坐标为(±5,0),A选项错误；

所以虚轴长为26=6,B选项正确；

焦距为2c=10,C选项正确；

渐近线方程为广与=号，D选项错误.

4.已知点P在双曲线熬=l（a>0,Q0）上，双曲线的左、右焦点分别记为回，乃，焦距为2小，己知PR_L

PF?,\PF]\=2\PF2\f则该双曲线的实轴长为.

答案2

解析因为|M|=2|PB|,

由双曲线的定义得|尸"卜|尸巳|=2%

所以|PR|=4%|尸死|=2。，

因为PF]_LP/%

所以（4。）2+（2。）2=（275）2=20,

解得。=1,则实轴长为2.

回微点提醒

1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为公

2.若P是双曲线右支上一点，F1,尸2分别为双曲线的左、右焦点，贝”PQ|min=a+c,\PF2\min=c-a.

3.同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为当.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一双曲线的定义及应用

例1⑴已知圆（/3）2+丁2=1和圆G：（X-3）2+/=9,动圆“同时与圆Cl及圆C2相外切，则动圆的

圆心M的轨迹方程为（）

v2

B.X2-Y=1

C.x2-^=l（x^-l）

答案C

解析设动圆M的半径为乙

则|MCi|=r+1,|必因=什3,

则|MC2H〃G|=2V|GC2|=6,

根据双曲线的定义知，动圆的圆心〃的轨迹为双曲线/4I的左半支.

O

（2）（2025・永州模拟）已知E,B分别是双曲线E：。今1的左、右焦点，”是双曲线E的左支上一点，

过己作Na”乃平分线的垂线，垂足为N,。为坐标原点，则Q*等于（）

A.4B.2C.3D.l

答案B

解析双曲线岩、的实半轴长为斫2,

T,

延长F2N,MFi交于点H,

由题意△“可〃注△"NB,则

又。是厂内的中点，

所以|。竹||“*中MN-|M*|)W(|MP2HMB|)=a=2.

■微拓展

圆锥曲线的第二定义

平面内到一个定点和相应一条定直线/的距离之比为常数e的点的轨迹：

(1)当0</1时，轨迹为椭圆.

(2)当介I时，轨迹为双曲线.

①定点为焦点，定直线/叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.

②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为

3

典例⑴椭圆部(。乂>0),焦距为4,夕为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线产！的距离

之比为右则椭圆方程为.

解析依题意，右焦点尸2(2,0),右准线-日，

由椭圆第二定义知V，

a2

'：c=2,故。=4,•••〃=«23=[2,

・••椭圆方程为禧;1.

1O14

⑵已知双曲线:^=1的右焦点为M是双曲线右支上一点，定点4(9,2),则|A〃|+；|M0|的最小值

为.

答案y

解析设M到百线―M的距澳为力由双曲线第二定义知，

c5

|MF2I5.,3..

.•气MB|,

3

.•.|八留勺四尸2|=阳川+4

如图，可知(\MA\+d)min=Xj-1=9-1=y.

思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PHHPB||=2a,运用平方的方法，建

立与PR"B|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式

计算即可.

跟踪训练1(1)设P是双曲线竟=1上一点，Fi,B分别是双曲线的左、右焦点，若尸厅|=9,则

等于()

A.lB.17C.1或17D.5或13

答案B

解析由双曲线卷亲1得

lbZU

67=4,b=2圾,c=6,

由双曲线的定义可得||尸尸HPB||=2a=8.

因为|PQ|=9,所以|9-|P尸加=8,得尸6|=1或17,

若|PB|=1,则尸在双曲线的右支上，应有PB|2CF=2,不成立；

若|P£|=17,则P在双曲线的左支上，应有|PB|2c+a=10,成立所以|PB|=17.

(2)Fi；B分别为双曲线C：捺4=1(40)的左、右焦点，乃是双曲线。右支上的一点，取与双曲线。

的左支交于点0.已知△尸0B是等边三角形，则双曲线。的实轴长为.

答案2

解析由双曲线的对称性，设点P在第一象限，如图.

因为乃是等边三角形,

所以|P@=|PE|=I0B|,

所以尸2|=|0B|=2a,

又I。凡H0BI=2〃，则I。户2|=4匹\PFi\=6a,

在中，由余弦定理可得

|P"l|2+|P/2|2一|F'/2|2

COSZF1PF2=

2|吗||呻21

36次-16a2-4/_1

48Q22'

整理得C2=7标，所以〃=4.4=6/=6,解得。=1,所以实轴长为2.

题型一双曲线的标准方程

例2(1)(2024・济南模拟)已知双曲线G过点4(-小，1),且与双曲线。2：/_31,2=1有相同的渐近线,

则双曲线G的标准方程为()

AeB.%

C』1D^=l

155155

答案A

2

解析由双曲线G与双曲线C2：x-3/=l有相同的渐近线，

故可设双曲线G的方程为r-3产如W0),

又因为G过点4(・反，1),

代入双曲线G的方程得15・3=九

解得后12,所以双曲线G的标准方程国白白1.

」4T0

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线”-4尹12=0上的等轴双曲线的标准方程

是

////

答

案

H或9

89-

8-

22

解析直线3#4vH2=0与坐标轴的交点为(-4,0),(0,3),若双曲线的焦点在x轴上,

・•・等轴双曲线的一个焦点为(4,0),

即C=4,，小人也

故等轴双曲线的标准方程为£4=1.

若双曲线的焦点在)，轴上，

・•・等轴双曲线的一个焦点为(0,3),

即c=3,启"小号，

故等轴双曲线的标准方程为由生I.

22

思维升华求双曲线的标准方程的方法

（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2凡2人或2g从而求出标，

⑵待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为胃-GW0）,与双

曲线驾=1（心0,90）有公共焦点的双曲线方程可设为:^名=1（-*4<62）；与双曲线芸=1具有相同渐

QDCl।X4/~0AClU

近线的双曲线方程可设为捺言RWO）.

跟踪训练2江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹

明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形

成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双

曲线的标准方程是（）

/丫2B：产1

22

Dxy*

C-891

答案D

解析由题意可知该双曲线的焦点在X轴上，实轴长为4,点（4,3）在该双曲线上.

设该双曲线的方程为意昌1（心0,b>0）,

喈、'=］解福力

故该双曲线的标准方程是3舁1.

43

题型三双曲线的几何性质

命题点1渐近线

例3（2025・石家庄质检）已知双曲线C：马91（。>0,A0）的实半轴长为点，其上焦点到双曲线的一条

渐近线的距离为3,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.J=±V5X

产塔

CD.尸

答案B

解析设双曲线C：套=13。，心0）的上焦点为（0,c）（c>0）,双曲线的渐近线方程为刀土。尸0,

由点到直线的距离公式可得

|dc±axo||dc|.

Ja2+b2y/c^'

又双曲线c：9§=1（介0,心0）的实半轴长为百，所以片百，

所以双曲线C的渐近线方程为3>x/3x=0,即尸亭.

思维升华（1）渐近线方程的求法：求双曲线骞=1（。>0,心0）的渐近线方程的方法是令即得两渐

近线方程率0（或y=±R.

（2）在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线寓，1（心0,Q0）中，离心率e与双曲

线的渐近线的斜率Q4满足关系式声】$.

命题点2离心率

例4（1）（2024•武汉模拟）已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线所成的角为g则双曲线的离心率为

（）

A.苧B.V3

C.2或平D.2或通

答案C

解析依题意，双曲线的一条渐近线的倾斜角为强％,

所以沁*或%

即等吟=百，

所以41+停）2考或*J1+（百/2,

综上，双曲线的离心率为竽或2.

（2）（2024・武汉模拟）已知双曲线C：捺3=1（00,8>0）的左、右焦点分别为B,B，过乃的直线与双曲

线的右支交于力，8两点，若△48后的周长为10々，则双曲线离心率的取值范围为（）

A愣+8）B.［票十句

C.（L直D.（L啕

答案D

解析根据双曲线定义知，△48”的周长为4a+2M8|,

所以4a+2M8|=10%所以|力用=3%

又I期若,所以力》学,

a

即3心2分,

所以3a2》2（尾屏）,

即5储22c2,

解得e〈半，

故双曲线离心率的取值范围是（L手］.

思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量Rh,。的方程或

不等式，利用。2=屋+〃和W转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范

围).

跟踪训练3（1）已知双曲线£洛1（心0,〃>0）的焦点恰好为矩形48CO的长边中点，且该矩形的顶

点都在双曲线上，矩形的长宽比为2：1,则双曲线的离心率为（）

A.2+2V2B.3+2V2

C.1+V2D.2V2-1

答案C

解析如图，连接CB,

由题意知C（c,2c）,

|CB|=2c,|QB|=2c,

则|5|=2伍,

则由双曲线的定义知

|Wi|-C&|=2〃,

BP2y/2c-2c=2a,a=(y[2-\)c.

所以双曲线的离心率占a+1.

a

（2）（2024・绍兴模拟）若双曲线G：簿=1（心0,〃＞0）的渐近线与圆C2：（工-2）2+T=1有公共点，则G的离

心率的取值范围为（）

A.（l,豹B.（l,乎]

C.（l,2）D.（l,2]

答案B

解析•・.双曲线的渐近线方程为於i@=0,且渐近线与圆（片2）2+户1有公共点,

・•・圆心到渐近线的距离小于等于辟，

1,・・・3〃W〃，：.c2=a2+b2^a2,

・・Fy

课时精练

（分值：80分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2025・八省联考）双曲线/—9=1的渐近线方程为（）

A..y=±xB.y=±2x

C.y=±3xD.y=±4x

答案C

2.“心2”是“方程J+匕-I表示双曲线”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析因为方不呈9一七表示双曲线，所以（2-〃?）（次+1）＜0,解得加＜-1或心2.

Z-mm+1

即加6（-8,-1）U（2,+OO）.

因为（2,+8）是（-8,-1）U（2,+8）的真子集，

所以“，心2”是“方程尹表示双曲线”的充分不必要条件

2—mm+1

3.若匈圆过定点力(2,0),且和定圆C：(x+2)2+/=l外切，则动圆圆心尸的轨迹方程为()

B.咛C

C.4/寻卜<-0

D.4x2-^=l(x>1)

XO\LJ

答案D

解析定圆C的半包为1,圆心为CG2,0),与/(2,0)关于原点对称.设动圆的半包为〃，

则|以|=匕由两圆外切可得|PC|=l+r,

所以IPCHP川=1〈MG=4,

所以P的轨迹为双曲线的右支.

设P的轨迹方程为9-在13>o,b>0),

贝!JC=2,b2=c2-a2=^-,

所以动圆圆心尸的轨迹方程为4/普1(无>i).

4.(2025•天津市河西区模拟)已知双曲线C舞=13>。，加0)的左、右焦点分别为R，0为坐标原点,

过万作。的一条渐近线的垂线，垂足为M,且|MB|=3QM，则双曲线。的离心率为()

A.V2B,V6C.2V2D.3

答案B

解析由题意得R(-c,0),\MF^b,由勾股定理得QM=。，

因为MB垂直于渐近线，所以cos/例OR哼

因为|MF2|=3|OM,所以MB|=3%而|0匹2|=c,

在△MOB中，由余弦定理得cos乙伙疗”2+；一温,

2ac

因为NMOF\+/MOF2=it,

所^^^°，

化简得所以片后〃，故一=75.

a

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.（2024•南通调研）已知双曲线C：存=1（〃>0）的右焦点为凡直线/：x+勿=0是C的一条渐近线，尸是/上

4D

一点，则（）

A.C的虚轴长为2在

B.C的离心率为几

C.|PQ的最小值为2

D.直线尸〜的斜率不等于考

答案AD

解析双曲线C：衿1的渐近线方程为樨2尸0,依题意得十g解得3传

对于A,C的虚轴长为2/尸2鱼,A正确；

对于B,。的离心率斫年邛，B错误；

对于C,点b（V5,0）到直线/：产0的距离为广^———鱼,即|P用的最小值为四，C错误；

/2+（02

对于D,直线/：xr2v=o的斜率为串而点尸不在/上，点尸在/上，则直线尸尸的斜率不等于弓，D正

确.

6.（2025•泉州模拟）已知双曲线C：务2=］（心0）的一条渐近线方程为严紧，上、下焦点分别为月,后，则

GJ

（）

A.双曲线。的方程为今=1

B.双曲线C的离心率为2

C.双曲线C上的点到焦点的最小距离为苧

D.若点”（2企，。为双曲线C上支上的一点，则凡的内场圆面积为2兀

答案BC

解析对于A,双曲线C：白声i（心°）的渐近线方程为尸皿，则a4，

于是双曲线。的方程为心f=l,故A错误；

3

对于3,双曲线C的离心率e=JTR=2,故B正确；

对于C,c=双曲线C上的点到焦点的最小距离为。。半胃，故C正确；

对于D,Fi（0,第，6（0,-第，由点M（2月,/）在双曲线上支上，得片V5,

5..2吊尸倒以鱼考，

△ME月的周长为IMP|+|MB|+|PB|—sf+7，+4，】6『,

OOOO

设△MFiB的内切圆半径为乙

则Sz^MF/zCx苧尸殍，解得尸当，

因此的内切圆面积为3,故D错误.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.（2024•新课标全国I）设双曲线C：舞=1（。>0,〃>0）的左、右焦点分别为万，尸2,过后作平行于y轴的

直线交。于4区两点，若|广闻=13,⑷9|=10,则C的离心率为.

答案|

解析尸国=13,|力巴勺物=5,

且力尸2-LRB,

22

|F,F2|=V|FMI-MF2|=12.

由双曲线定义可得2a=\F\A\-\AF^,

2c=|KB|=12,

化简得。=4,c=6,

则0的离心率吟

8.（2024・抚顺模拟）已知双曲线C：鲁=1的左、右焦点分别为B,过B作其中一条渐近线的垂线，垂

足为P,则匕

答案2V3

解析依题意，a=y/2,b=2,c=V6,

・・.|PB|=Z尸2,|03|=片n（0为坐标原点）,

・・・cosNPBE=^W，

\OF2\V6

在△尸尸2仔中，由余弦定理得1PB|=J|PF21+尸/2『一2仍尸2卜|F/21cos

=J4+24-2X2X2V6X^

=2V3.

四、解答题（共28分）

9.（13分）求适合下列条件的双曲线的标准方程.

（1）焦点在x轴上，。=2遍，经过点4（-5,2）；（6分）

（2）过点P（-或,2）,且与椭圆有相同焦点的双曲线方程.（7分）

解⑴因为。=2遮，且双曲线的焦点在x轴上，

可设双曲线的标准方程为竟。13>0）,

将点,4（-5,2）代入双曲线的方程得

解得〃=16,

因此，双曲线的标准方程为舞

ZU1O

（2）在桶圆小号1中，

94

c=、9.4=遍,

所以椭圆的焦点坐标为B（-圾0）,凡（圾0）,

22

设双曲线的标准方程为/『1（心0,b>0）,

因为双曲线与椭圆有相同焦点，

所以层+『=5,

点P（-交，2）代入双曲线方程，可得自徐1,

联立仗一次j解得伤=：

（a2+房=5,㈤=4,

所以双曲线的标准方程为/