【人教A版必修第一册】高一数学：集合的概念（教学设计）

1.1集合的概念教学设计

学

单高中数学

科

课题集合的概念元第一章集合与常用逻辑用语年级高一

（人教A版）

1、通过生活实例抽象出集合的定义，分清元素与集合的从属关系，理解集合元素三大基本特征.

学习2、熟练掌握集合表示方法，熬记自然数集、整数集、实数集等常用数集符号，能根据集合类型选

目标

择恰当方式书写集合.

3、会利用集合元素性质判断元素归属、求解简单含参问题，发展逻辑推理与数学运算核心素养.

本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第1节内容，是高中数学的起始章

节。集合是现代数学的基础语言，也是高中数学中描述函数、数列、不等式等各类数学对象的重要工

具。

教材

分析教材通过情境引入，揭示"明确研究对象与研究范围”的必要性，自然地引出集合的概念。随后从

具体例子抽象出元素与集合的定义，建立£与C的记号，但纳集合元素三大性质，介绍常用数集符

号，最后系统讲解三种集合表示方法。

本节内容具有基础性、工具性和建模性，学习效果直接影响后续函数、集合运算等内容的学习。

学生在初中阶段已初步接触过集合的相关概念，对"一组数"或"一类图形"的整体描述有一定的直

觉认识，但尚未形成严格的数学定义意识。本节学生面临的主要•降碍：

1、混淆元素的“确定性"与"互异性"，在构造含参集合时容易遗漏验证互异性。

学情

分析2、对描述法中“代表元素"与"共同特征”的位置关系理解不清，书写格式不规范。

3、习惯用自然语言表达，切换为符号语言需要适应过程。

教学策略：创设具体情境引发认知冲突，通过"问题链+追问"推动学生主动建构，辅以"辩析训练"

突破易错点。

教学

集合基本概念，元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法

重点

教学

元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用

难点

教学

多媒体课件（PPT）

准备

教学过程

教学

教师活动学生活动

环节

1、独立思考两

【情境导入激发思考】道数学问题,举手

口头作答，对比不

教师呈现两个问题：同取值范围下答

案的差异；

问题1:方程/+1=0在有理数范围内足舌有解？在实数范围内呢？

2、跟随教师讲解,

记录集合论相关

问题2:到定点的距离等于定长的所有点，在平面上两成什么图形？在空间中

数学史料，思考统

一斫究范围的意

呢？

义；

新课

教师引导：上述两个问题的答案因"研究范围"不同而不同。数学研究需要明确3、思考自己生活

引入中“一类事物整

研究对象和研究范围，而"集合"正是描述这种范围的数学语言。体”的例子，初

步感知集合的作

【历史文化点燃兴趣】用,

简介集合论的创立者康托尔，以及罗素、希尔伯特对集合论的高度评价，激发

学生对集合语言价值的认同感。

设计意图：通过数学情境揭示集合语言的必要性，以数学史料提升学习兴趣，为新概(

念的引入做好认知铺垫。

1、小组合作，观

•探究一：集合的概念察5组实例，小组

内交流讨论每组

【活动一：直观感知---什么是集合？】对象的共同特征；

2、针对教师追问,

教师展示组研究对象：

6小组推选代表发

言，判断任意对象

(1)1—10之间的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；

能否明确判断是

否在整体内；

新知(3)所有的正方形：(4)到直线距离等于定长的所有点：

3、跟随教师板书，

探究(5)方必一%-2=0程的所有实数根；(6)地球上的四大洋。在笆记本上记录

元素、集合定义与

学生活动；现察以上对象，发现它们的共同特点。对应符号：

教师追问：每个对象中，某个特定元素"是否属于"该对象，能否给出确定答案？4、自主举例，写

出2组生活或数学

师生共同归纳：中可看作集合的

实例，同桌互相检

★元素(element):研究对象统称为元素，一般用小写字母a,b,c,…表示。查C

★集合(set):一些元素红成的总体叫做集合，一般用大写字母A,B,C,…表示。

【活动二：探究——集合元素的三大性质】

教师提出三个思考问题（PPT逐步呈现）：

思考1:（1）"…之间的所有偶数"是确定的集合吗？

1、独立思考三道思

（2）"较小的数”能组成集合吗？考藕，小组开展讨

论，分别总结三组

思考2：集合（J,2,3｝与集合｛3,2,1｝是同一个集合吗？问题背后的规律；

思考3：1,2,1,3,4这五个数能组成集合吗？集合中有几个元素？2、全班交流展示，

每组派代表分享思

学生讨论、教师点拨，师生共同归纳：考结论，提炼三大

性质关键词；

★确定性：集合中的元素必须是确定的（要么在，要么不在）；

★互异性：集合中的元素互不相同（同一元素只能出现一次）：

★无序性：集合中的元素没有顺序之分（｛1,2,3｝=[3,2,1））o

【即时辨析：集合确定性的判断】

3、独立完成确定性

题目：下列元素的全体是否能构成集合？拼析题，逐题写出

判断理由，同桌互

（1）大于2小于14的偶数；（2）某班身高在1.7m以上的同学；

新知改,重点标注（4）

（5）错误原因；

探究（3）不大于3的所有实数；（4）全体很大的自然数；

（5）中国著名的数学家。

学生独立判断，教师讲评，重点分析（4）（5）不能构成集合的原因。

4、结合象合实例，

【活动三：元素与集合的关系一£与e]口头练习“属于、

不属于”文字表

以集合A二12,4,6,8,10｝为例，师生共同建立：

述与符号书写；

★若a是集合A的元素，记作aeA,读作"a属于A";

☆若a不是集合A的元素，记作a£A,读作"a不属于A”。

学生练习：判断元素与集合的关系。

5、背诵常用数集符

【常用数集介绍】号与含义，完成配

套摸空群析，上台

教师展示常用数集符号表：N（自然数集）、N*或N+（正整数集）、Z（整数板演符号填空题目。

集）、Q（有理数集）、R（实数集）

学生通过练习（辨析题2、辩析题3）熟悉£与C的使用，巩固数集概念。

设计意图：以"问题链+思考"驱动概念建构，三大性质通过反例自然浮现，符合认知

规律；即时辨析及时检验学习效果。

,探究二：集合的表示

【过渡提问】

教师：除了用自然语言描述集合，还有什么方式可以表示集合呢？

【活动一：列举法的引入与规范】

1、跟随教师提问,

追问1:(1)地球上的四大洋组成的集合如何表示？

尝试口头写出四大

—可以一一列举，用花括号｛｝括起来：｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝洋集合、方程根集

合,自主总结列举

列举法定义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号"｛｝"括起来表示集合法书写要点：

的方法。

注意：元素之间用"，"隔开；列举时与元素次序无关(满足无序性)。

(2)方程6+1)(x+2)=0的所有根组成的集合如何用列举法表示？

——解方程得X=-1或X=-2,则解集为｛-1,-2｝。

【活动二：描述法的引入与规范】

追问2：不等式x-7<3的解集该如何用列举法表示？(发现无法穷举)2、尝试列举不等式

新知解集，发现局限性，

探究教师引导：当元素无法一一列举时，可以抓住元素的“共同特征”来描述。主动思•考替代表示

方法；

描述法定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，写成｛代表元素|共同特

征｝的形式。

3、模仿例题，独立

例：不等式x-7<3的解集而述为仅ER|x<10)：

书写不等式解集、

奇费集的描述法形

追问3:你能选用适合的方法描述由奇数组成的集合吗？

式，同桌互相检查

竖线、代表元素书

——奇数集描述为｛n|n=2k+1,kGZ｝o

写是否规范；

【三种表示方法小结对比】

表示

定义注意事项例如

方法

“地球上的四大洋”组成的集合

自然文字叙述的初式描述

注意叙述清楚

语言集合4、日主梳理集合表

“1—10之间的所有偶数”组成的集合

示方式的适用场景

把集合中的所有元素元素之间用

｛太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋｝:整理对比笔记。

列举一一列举出来，并用“，”隔开，列

法花括号“｛｝”括起举时与元素的次

来表示集合的方法序无关.｛2,4,6,8,10｝

用集合所含元素的共

同特征表示集合的方[x|无为地球上的四大洋}

描述写成｛x€dP(X)

法｛“€川P(X)｝

法｝的册式

(x6Z\x=2k,keZ,1<fc<5}

【活动三：文氏图（韦恩图）简介】

追问4：有没有其他直观方式表示集合？5、动手在草稿纸上

画出四大洋集合的

新知教师介绍图法（文氏图）：用一条封闭曲线的内部表示集合，直观形象。文氏图，再自主画

探究出小于10自然数

展示四大洋集合的文氏图示意。集合的示意图；

设计意图：通过具体情境逐步揭示各种表示方法，追问式推进使学生主动建构，对

比表格帮助学生形成结构化认知。

•典例希讲

例1:用列举法表示下列集合：

1、例题阶段：先独

（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程/="的所有实数根组成的集合.立动笔解题，再对

照教师板书订正，

标注列举法、描述

解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A,

法易错书写点;

那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）.

（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B=[0,1}.

例2:试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程X2-2=。的所有实数根组成的集合A；

⑵由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

解：（1）设x£A,则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为

A={xeR\x2-2=0}.

2、独立完成选择题

举手说明每个选项

方程x2-2二0有两个实数根-\.2,因此，用列举法荥示为能否构成集合的依

*昆•

力={、2,-、⑵.

（2）设x£B,则x是一个整数，即xGZ,且10<x<20.因此，用描述法表示为

B={xEZ|10<x<20}.

大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19）.

教师在讲例题的同时，补充以下注意事项：

☆列举法：元素较少或有规律的无限集时使用；{）不可省略：用"，"分隔；顺序无

3、独立完成符号填

空，基础薄弱学生

关。

上台板演，其余学

★描述法：代表元素明确（是数还是点还是其他元素）：特征写在竖线"|”之后。生纠错:

•课堂练习

【题型1：集合概念的判断】

1、用下列所给对象能构成集合的是（）

A、3的近似数B、所有小于0的实数

C、某校高一（1）班的游泳小能手D、全体很大的自然数

【答案】B

2、下列说法正确的是（）

A、某校爱好足球的同学组成一个集合

B、{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合

C、集合［1,2,3,4,5）和⑸3,2,4,1）表示同一集合

D、1,0,5H3，/；组成的集合有7个元素

【答案】C

【题型2：元素与集合的关系】

1、用符号“W”或"W”填空：

（1）设A为所有正洲国家组成的集合，则中国____A,美国____A,印度____A,

英国____A;

⑵若力=卜|d=%},则一1____A：

（3）若8=卜|/+%一6=0},则3____B：

（4）若。={%£可|1WXWIO},则8____C,9.1____C;

⑸、,4___N”,3.7___Z,3.14___Q,；____R

【答案】(1)£,C,£,C,(2)W,W(3)£,W(4)

£,至，£,£

2、集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是().

A、5GMB、0£MC、1£MD、£M

【答案】D

【题型3:集合的表示法】

1、用适当的方法表示下列集合：

4、完整书写、5道

集合表示小题，区

由方程的所有实数根组成的集合；

(1)X2-9=0分数集、点集、取

值范围集合的代表

(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；元索：

(3)不等式4x-5<3的解集.

(4)二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.

(5)反比例函数y=2的自变量的取值组成的集合.

X

课堂【答案】(1){-3,3),(2){(1,4)|,(3)(x\x<2],(4){y\y=x2-4}

练习

、日主完成含参大

(5){x|x0)5

邈，做题时主动检

验互异性，小组交

【题型4：含参综合问题】流参数取舍理由，

核对答案：

2

1、集合P={_b2a+1,a-1)，若0£P，则a的值为？

解：当2〃+1=0时，n=此时P={_i,o,一胃满足题意：

当。2-1=。时，。=±1,

当Q=1时，P={_i,3,0}满足题意，

当。=-1时，P={-1,-1,0}不满足集合互异性.6、错题整理:将练

习中确定性、互异

所以，a的取值集合为{一］1}・

性、描述法格式错

题整理到错题本。

2、已知集合A中含有两个元素1和a］且QwA,则a的值为？

解：而A中含有两个元素1和

••.（1）若a=1,则集合4={1,1},不符合集合元素的互异性；

（2）若小=0,则a=1（舍去）或a=0,

当Q=0时集合力={1,0},符合.

综上，Q的值为0.

3、已知aWR,bER,若集合{吟1}={。2以+碎，则。2。21+/021的值为_____

【答案】-1

教师引导学生回顾，构建本节知识框架：

一、集合的核心概念

1、跟随教师引

导，自主口头梳理

•集合与元素的定义；常用记号（大写字