高等基础数学 13

2022年高职院校教学能力比赛——教案定积分的应用一（平面面积）教学基本信息课程名称高等数学授课班级新能源汽车21级1班授课内容定积分的应用一（平面面积）授课时数2学时授课人数45授课地点多媒体数学虚拟仿真实验室所选教材《应用高等数学》（主编：卓春英等，出版社：高等教育出版社，版次：第一版）其他资源媒体资源PPT课件，动画，职教云，中国大学MOOC(慕课)国家精品课程在线学习平台环境资源多媒体数学虚拟仿真实验室、汽车虚拟仿真实验室二、教学分析教学内容本次教学内容选自模块4定积分及其应用中的定积分的应用一。主要包括：定积分的微元法，直角坐标系下平面图形的面积；极坐标下平面图形的面积、直角坐标系与极坐标系的转化；学情分析知识基础已掌握微分的概念、定积分的“四部曲”及其计算；已掌握方程组求解、坐标、参数方程等概念；已掌握扇形、矩形、三角形、梯形等特殊图形的面积公式；技能基础已具备软件绘制函数图像的能力；已具备用软件进行导航的能力；学习特点学生喜欢用百度、高德地图等导航软件；学生手绘函数图像不熟练，会用软件绘图；预判教学难点学生不能准确绘制出图形区域，难以判断图形边界；学生对极坐标不熟悉，在直角坐标系和极坐标系的转化中出差错；三、教学目标确定教学目标知识目标理解“微元法”求解问题的思想；了解极坐标与直角坐标系的转化方法；能力目标能够用“微元法”求解平面图形的面积；能够用软件绘制出函数围成的图形；能够将直角坐标系的问题转换为极坐标问题的能力；素质目标培养学生精益求精、树立严谨的科学态度；培养学生理论联系实际的能力和探索创新的科学精神；思政目标：以“常代变”“匀代不匀”“直代曲”局部线性化辩证思想；两种事物在一定的条件下是可以相互转换的，事物的对立与统一；教学重点内容“微元法”求直角坐标系和极坐标系中平面图形的面积；直角坐标问题转化为极坐标问题求解解决策略手工实验，找出解决问题的关键步骤，寻找步骤中的关键元素；动画演示，探索两种坐标间的联系；教学难点内容积分变量的选择和被积函数的确定；直角坐标与极坐标的转换问题；解决策略软件绘图，逐层分析、降解难度；动画演示，探索转换条件和关系；教学方法教法实验法、演示法、问题链教学法、任务驱动法、总结归纳法学法探究式学习、小组探讨、实验分析、对比分析、归纳总结教学设计四、教学实施（一）课前预习、小组探究教师活动学生活动设计意图课程思政发布任务：小组协作在导航软件输入起点和终点，记录导航路线和数据。发布讨论：在线段是曲线的时候怎么测量它的长度？接受任务：自由组队，输入地点完成数据报表，整理截图和数据提交平台；独立思考，在讨论区发布自己的理解和想法；在生活中寻找问题、发现问题，用数学知识解决问题；培养学生自主探究、独立思考问题的能力；实事求是、探索发现问题课前学习诊断共性问题大部分同学都能想到用近似代替的方法解决曲线长度的测量问题；大部分学生都停留在抽象的想象，不能直观的展示解决方法；个体关注个别同学可以想到用定积分的“四部曲”来解决曲线长度的测量问题；教学实施策略调整根据学生课前讨论结果和教学内容知识点难易衔接，将教学内容进行调整如下：（二）课中讲授、知识内化第一学时（45分钟）环节1情境导入（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政探索微元法分享课前讨论，发布实验任务；查看讨论结果，开始实验操作，探索计算曲线的方法；培养学生劳动意识、探索意识以直代曲的辩证思想环节2问题分析（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微元法与定积分提出问题:寻找定积分的表示中微元法的关键步骤；找出关键元素1.对比微元法和定积分的关联，探索微元法的步骤和关键点；1.培养学生对比分析的能力；环节3新知学习（25分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微元法动画展示：引导学生总结归纳微元法的步骤和关键点；学生总结归纳步骤和方法；1.找出问题的突破点，解决难点特殊与普通、对立与统一微元法求直角坐标平面面积动画展示：引导学生用微元法求直角坐标平面面积（X型）；动画展示：引导学生用微元法求直角坐标平面面积（Y型）；设问思考，寻找规律；观看动画，建立模型；观看动画，建立模型；对比模型，总结规律1.培养学生举一反三、建立模型的能力；替换思维整体原则、等量原则、对应原则环节4专业应用（10分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微元法求汽车行驶距离发布任务：软件绘图，求解汽车行驶距离；检查查看，个别指导，查看结果，纠正错误接收任务：小组协作，软件绘图，用微元法建立模型求解；完成任务，上传平台；专业结合，培养学生用数学解决实际问题第二学时（45分钟）环节1问题分析（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政曲边扇形提出问题：如何求曲边扇形的面积？实验探索，查阅资料用微元法探索曲边扇形面积的计算；从实际问题出发，培养学生严谨分析问题的能力环节2新知学习（25分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政极坐标下的平面图形面积发布任务：用微元法求极坐标下的面积微元；提出问题：模型应用；接受任务：按照步骤，建立模型；应用模型，求解问题；1.培养学生举一反三的能力；极坐标与直角坐标转换播放动画，引导学生观察点在直角坐标系和极坐标系中的表示方法以及联系；引导学生观察直角坐标和极坐标的共性和区别，寻找转换的条件；播放动画，引导学生根据坐标寻找转换公式；发布任务，加强练习；观看动画，思考问题；寻找共性，探索条件；观看动画，思考问题；独立思考，建立模型求解；1.培养学生探索分析、思考问题的能力；特殊与普通的对立统一环节3专业应用（10分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政汽车行驶路程发布任务；完成任务，上传平台；培养学生数学应用能力环节3知识总结（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政讲解练习，引导学生总结知识点布置作业：在讨论区讨论微元法求曲线长度的方法；学生纠正错误，提炼知识点，记录笔记；完成作业，将思考的方法步骤和难点发布讨论区；培养学生改错、总结的能力；（三）课后拓展、知识迁移教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政笛卡尔的故事（直角坐标系的发现、笛卡尔的心形线）发布视频资料；发布讨论活动；观看视频资料；在讨论区发表自己的观点看法；数学发展史、数学家故事的融入拓宽学生眼界；科学没有国界，但科学家有祖国的爱国主义情怀五、教学效果（教学评价与反馈）知识方面：学生掌握了“微元法”的思想；掌握了用“微元法”求直角坐标系和极坐标下的平面图形的面积；掌握了直角坐标系与极坐标的转换方法；能力方面：学生具备了严谨分析问题的能力；具备了应用数学建立模型的能力；具备了探索分析、对比分析、举一反三的能力；素养方面：学生理论联系实际、精益求精的学习态度有所提高；思想方面：提升了学生的以直代曲、以常代变的辩证思维；一般与个别、普通与特殊的对立统一思想；课前课中课后课前小组评分表：课前小组成绩：教师课中学习评价量化表：小组组员评分量化表课后评分量化表课后作业测试表六、特色与创新特色实验分析，引导学生寻找解决问题的突破点；软件绘图，解决学生学习新知中的教学难点；典题引路，培养学生以观察、联想、举一反三、触类旁通的能力；创新动手操作法，激发学生学习的兴趣，培养学生动手操作的能力；融入数学文化，开拓学生视野，感受数学的美；七、反思与诊改突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力。《数学课程标准》中指出，要让学生能够“用数学思维方式去观察、分析问题，增强学生应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，培养了学生的应用意识。典型案例，培养学生辩证思维。典型例题，引导学生将方法思路应用到各种问题中，培养学生以直代曲、以常代表的辩证思想；通过动手操作、实验分析寻找解决问题的思路和方法，将生活中的问题转化为数学问题求解。替换思维突破数学问题中的难点。通过动画演示寻找替换的条件和转换公式，培养学生探索分析、举一反三解决问题的能力；

课前任务单小组成员名单：导航软件出发地目的地路长路线图选择一款导航软件，设置出发地和目的地（至少三个不同的地点），记录导航显示的路程长度将导航上的路线截图到任务单中。

课中任务单定积分的应用（面积）步骤被积变量被积函数总结归纳定积分应用的步骤以及不同情形下的积分变量和被积函数

课后拓展资料题目：笛卡尔坐标系（直角坐标系）笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O，既有“零”的意思，又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡尔平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对掉的性质有关。为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为(x，y)。任何一个点P在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。同样地，可以找到点P的y-坐标。这样，我们可以得到点P的直角坐标。直角坐标系也可以推广至三维空间（3dimension）与高维空间(higherdimension)。直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。依照惯例，象限Ⅰ的两个坐标都是正值；象限Ⅱ的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限Ⅲ的两个坐标都是负值的；象限Ⅳ的x-坐标是正值，y-坐标是负值。所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限Ⅰ编到象限Ⅳ。仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广：相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。在三维笛卡尔坐标系中，三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限(octant)空。第Ⅰ卦限的每一个点的三个坐标都是正值。据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何，他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。题目：笛卡尔与笛卡尔爱心曲线笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”、“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一笛卡儿简介，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高。笛卡尔简介勒内·笛卡尔（ReneDescartes，公元