25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系学习任务单2026-2027学年人教版九年级上册数学

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系班级_________姓名_________学习目标学习目标1．通过因式分解、求根公式两种方法推导并掌握一元二次方程根与系数的关系，能直接求两根和与积，完成代数式整体代换求值、已知一根求参数，牢记使用结论的前提为Δ≥0，解题时主动检验．2．在由二次项系数为1的特殊方程推广至一般一元二次方程的探究中，体会由特殊到一般、转化、整体代换的数学思想，提升代数推理与变形能力．3．在推导与综合解题中，养成先判断判别式、检验参数取值的严谨解题习惯，体会因式分解与本节知识的内在关联课前学习任务课前学习任务用适当的方法解下列方程：（1）2(3－x)2＝3(x－3)；（2）x2－2x－99＝0．课堂学习任务课堂学习任务【学习任务一】新课导入回顾：上一节我们学习了因式分解法解一元二次方程，已知两根x1，x2时，可以反向构造方程(x－x1)(x－x2)＝0，展开后能直观发现两根和、两根积与方程系数的关系．此前我们推导了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式_________________，公式说明方程的根完全由系数a，b，c决定，暗藏根与系数的内在联系．除了求根公式、因式展开这两种形式，一元二次方程的根与系数之间，是否存在简洁通用的等量关系？？【学习任务二】课堂活动把方程(x－x1)(x－x2)＝0化为x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，对比x2＋px＋q＝0可以发现，这个方程的二次项系数为____，一次项系数p＝_______，常数项q＝_____．于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1＋x2＝_______，x1x2＝_________．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数之间的关系是：x1＋x2＝＋＝_________．x1x2＝·＝___________．新知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝_______，x1x2＝________．沿用因式分解思路推导通用结论：若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，由因式分解法可变形为a(x－x1)(x－x2)＝0．展开a(x－x1)(x－x2)＝___________，与ax2＋bx＋c＝0对比系数得：−a(x1＋x2)＝_______，ax1x2＝_______，化简同样得到：x1＋x2＝_______，x1x2＝_______．验证：将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两边同除以a，得___________，则二次项系数变为1，此时方程可化为x2＋px＋q＝0的形式，对应p＝_______，q＝_______．结合此前x1＋x2＝－p，x1x2＝q，可再次验证通用结论成立．特别提醒：（1）在使用两根之和关系式时，不要漏写_______；（2）能用根与系数的关系的前提条件为___________，方程必须存在实数根；（3）方程不是一般式的要先化成___________．【学习任务三】典例精讲例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2．例2关于x的方程3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值．例3设x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列各式的值：（1）(x1＋1)(x2＋1)； （2）．例4已知方程x