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第七节解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考一、调和函数的定义定义调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.拉普拉斯二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理

任何在区域

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.证根据解析函数高阶导数定理,[证毕]2.共轭调和函数的定义区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.3.偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.解例1得一个解析函数这个函数可以化为答案课堂练习例2解所求解析函数为4.不定积分法不定积分法的实施过程:将上两式积分,得例3解根据调和函数的定义可得所求解析函数为用不定积分法求解例1中的解析函数例4解例5解用不定积分法求解例2中的解析函数例6解两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得三、小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的

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