2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第1章同步练习题

2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第1章同步练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在《2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第1章》中，若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=-1时为0，则下列关于a、b、c关系的正确表述是（）A.a+b+c=0且a≠0B.b+c=0且b≠0C.a+c=0且c≠0D.a+b=0且b≠0解析：由极值条件f'(1)=3a+2b+c=0，导函数在x=-1处为0即f'(-1)=-3a+2b-c=0，联立方程组解得a+b=0且b≠0。选项D正确。2.根据教材第1章例3，若某几何体的三视图分别为矩形、矩形和等腰三角形，则该几何体可能是（）A.正方体B.长方体C.圆锥D.三棱柱解析：三视图均为矩形说明几何体至少有两个平行且相等的矩形面；等腰三角形说明存在对称轴，排除C选项。正方体三视图均为正方形，排除A；圆锥三视图至少有一个三角形，排除C；三棱柱至少有一个三角形面，排除D。正确答案为B。3.教材第1章习题5涉及的不等式|2x-3|+|x+1|<5的解集为（）A.(-2,2)B.(-1,3)C.(-2,3)D.(-1,2)解析：分段讨论：①x<-1时，-2x+2<5得x>-1/2（矛盾）；②-1≤x≤3/2时，3-x+x+1<5得x>-1（满足）；③x>3/2时，2x-3+x+1<5得x<3。综上解集为(-1,3)，选项B正确。4.在《2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第1章》的向量章节中，若向量a=(1,k)，b=(-2,4)，且a⊥b，则k的值为（）A.-8B.-2C.8D.2解析：向量垂直条件a•b=-2+4k=0，解得k=1/2。选项中无正确答案，教材可能存在勘误。5.第1章例7涉及的概率问题：从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，抽到一红一白的概率为（）A.3/10B.2/5C.3/5D.1/2解析：总情况C(5,2)=10，有利情况C(3,1)×C(2,1)=6，概率6/10=3/5，选项C正确。6.根据教材第1章定理2，若函数f(x)=x^2+px+q在x=2时取得最小值-1，则f(0)的值为（）A.3B.5C.7D.9解析：对称轴x=-p/2=2得p=-4，最小值条件4-4×2+q=-1得q=1，f(0)=0^2-4×0+1=1。选项中无正确答案，可能存在命题错误。7.第1章习题12考察的数列问题：等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为（）A.20B.22C.24D.26解析：a_3+a_7=2a_5=18得a_5=9，a_5+a_9=2a_7=18，选项中无正确答案。8.根据教材第1章例9，若某四面体的顶点坐标分别为A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)、D(0,0,0)，则平面ABC与平面BCD所成二面角的余弦值为（）A.1/3B.2/3C.1/2D.√2/2解析：平面ABC的法向量为(1,1,0)，平面BCD的法向量为(0,1,1)，cosθ=|1×0+1×1+0×1|/√2×√2=1/2，选项C正确。9.第1章习题8涉及的组合问题：从6名男生、4名女生中选出3人参加比赛，至少包含1名女生的选法有（）A.80种B.100种C.120种D.160种解析：分类计算：1女2男C(4,1)×C(6,2)=4×15=60；2女1男C(4,2)×C(6,1)=6×6=36；3女C(4,3)=4。总数60+36+4=100，选项B正确。10.根据教材第1章定义5，若函数f(x)在区间[1,3]上单调递增且f(1)=2，f(3)=6，则f(2)的取值范围是（）A.[2,6]B.(2,6)C.[3,5]D.(3,5)解析：单调递增函数值域连续覆盖定义域，f(2)∈[2,6]，选项A正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_________解析：f'(-2)=-11，f'(-1)=1，f'(0)=-3，f'(1)=-1，f'(2)=5，最大值f(2)=5，最小值f(-2)=-11，差16。参考答案：162.不等式组{x|1≤x≤3}∩{x|2<x≤4}的解集为_________解析：交集为[2,3]。参考答案：[2,3]3.向量a=(3,4)与向量b=(1,k)共线，则k的值为_________解析：3k=4×1得k=4/3。参考答案：4/34.从10件产品中随机抽取3件，其中恰有1件次品的抽法有_________种解析：C(9,2)×C(1,1)=36。参考答案：365.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________解析：分段函数在x=-2或x=1处取最小值3。参考答案：36.若等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则公比q的值为_________解析：2q^3=16得q=2。参考答案：27.平面α与平面β所成二面角的平面角为60°，若平面α的法向量为(1,0,0)，则平面β的法向量与(1,0,0)的点积为_________解析：cos60°=|cosθ|=1/2，点积为1×1×1/2=1/2。参考答案：1/28.某校高二期中考试中，数学成绩服从正态分布N(120,16)，则成绩在100分以上的概率约为_________（参考值0.1587）解析：P(X>100)=1-P(X≤100)=1-0.5-0.1587=0.3413。参考答案：0.34139.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则b的值为_________解析：a+b+c=a-b+c得b=0。参考答案：010.从甲地到乙地有3条直达路，从乙地到丙地有2条直达路，则从甲地经乙地到丙地不同的走法有_________种解析：C(3,1)×C(2,1)=6。参考答案：6三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2正确。（×）解析：反例a=1，b=-2时1^2<(-2)^2。2.函数f(x)=1/x在定义域内单调递减。（√）解析：导数f'(-1/x^2)<0恒成立。3.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则|a+b|=|a|+|b|成立。（×）解析：|a+b|=√10≠5=|a|+|b|。4.从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n个元素中取出k个元素的排列数。（×）解析：C(n,k)=P(n,k)/k!。5.若函数f(x)在区间I上可导且f'(x)≠0，则f(x)在I上单调。（×）解析：反例f(x)=x^3在(-∞,∞)上单调但f'(0)=0。6.若A⊆B，则∁_U(A)⊆∁_U(B)成立。（√）解析：补集运算性质。7.等差数列的前n项和S_n与项a_n成正比。（×）解析：S_n与a_n+1/2d成正比。8.若四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则EF平行于平面ABC。（√）解析：EF为平行四边形BFDH的对角线。9.正态分布N(μ,σ^2)的图像关于直线x=μ对称。（√）解析：密度函数f(x)的对称性。10.若a_n→A，b_n→B，则a_n+b_n→A+B。（√）解析：收敛数列和的极限性质。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明：若函数f(x)在区间I上单调递增，且对任意x_1,x_2∈I，x_1<x_2，有f(x_1)≤f(x_2)，则f(x)在I上连续。证明：设x_0∈I，任取ε>0，取δ=ε，当|x-x_0|<δ时，若x<x_0，f(x)≤f(x_0)≤f(x)，即f(x_0)-ε<f(x)<f(x_0)+ε，即|f(x)-f(x_0)|<ε。若x>x_0，f(x_0)≤f(x)≤f(x_0)+ε，即|f(x)-f(x_0)|<ε。综上f(x)在x_0处连续，由x_0任意性得f(x)在I上连续。2.已知向量a=(1,2,3)，b=(1,-1,1)，求向量a与b的夹角θ的余弦值。解：|a|=√14，|b|=√3，a•b=1-2+3=2，cosθ=2/(√14×√3)=√42/21。3.写出等比数列{a_n}的通项公式a_n=a_1q^(n-1)的推导过程。解：由a_m/a_n=q^(m-n)，令m=n+1得a_(n+1)/a_n=q，累乘a_n=a_1q^(n-1)。4.解释为什么函数f(x)=x^3在R上单调递增。解：f'(x)=3x^2≥0恒成立，且仅在x=0处为0，故f(x)在R上严格单调递增。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润10元，每件B产品利润8元，生产每件A产品需消耗原料3kg，生产每件B产品需消耗原料2kg，工厂每日最多消耗原料60kg，且至少生产B产品4件。求工厂每日的最大利润。解：设生产A产品x件，B产品y件，利润z=10x+8y，约束条件3x+2y≤60，y≥4，x≥0。可行域顶点(0,10)、(10,4)、(20,0)，计算z值最大为152元。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值与最小值。解：f'(-2)=-11，f'(-1)=1，f'(0)=-3，f'(1)=-1，f'(2)=1，f'(3)=3，最大值f(2)=-1，最小值f(-2)=-11。3.从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，若甲必须参加，则不同的选法有多少种？解：甲必须参加，只需从乙、丙中选1人，C(2,1)=2种。4.某班级有男生20人，女生15人，现要随机选出5人组成学习小组，求小组中恰好有3名女生的概率。解：C(15,3)×C(20,2)/(C(35,5))=455×190/324632=0.263。六、案例分析（总共3题，每题6分，共18分）1.某商场促销活动：购物满200元打8折，满300元打7折。小明购买了一件200元的商品，若再购买一件价值x元的商品，则总花费最少时x的取值范围是多少？解：分情况：①x≤100时，总花费200+0.8x；②100<x≤100时，总花费200+0.8x；③x>100时，总花费200+0.7x。当x=100时切换，最小花费为240元，x∈[100,200]。2.已知四面体ABCD的体积为V，E、F、G、H分别是各边中点，求四面体EFGH的体积。解：中位面将原四面体分成8个等体积小四面体，EFGH为其中之一，体积为V/8。3.某校高二期中考试中，数学成绩服从正态分布N(120,16)，若成绩在90-130分之间的学生占68%，求成绩在150分以上的学生比例。解：μ=120，σ=4，P(90<x<130)=68%即μ±σ，成绩在150分以上即μ+3σ以上，P(X>150)=1-P(120<x<132)=1-0.9974=0.0026。七、论述题（总共2题，每题11分，共22分）1.论述等差数列与等比数列的主要区别与联系。答：区别：①通项公式线性（a_n=a_1+(n-1)d）与指数（a_n=a_1q^(n-1)）；②前n项和公式不同（S_n=n(a_1+a_n)/2与a_1(1-q^n)/(1-q)）；③单调性不同（等差数列单调由d决定，等比数列单调由q>1或0<q<1决定）。联系：①均满足a_(n+1)-a_n=常数（等比数列视为公比为1的等差数列）；②极限性质相似（无穷项和趋于定值）；③均可推广为递推数列。2.结合教材第1章内容，论述函数单调性的判定方法及其应用价值。答：判定方法：①导数法（f'(x)≥0单调增，f'(x)≤0单调减）；②定义法（任意x_1<x_2，f(x_1)≤f(x_2)）；③几何法（切线斜率）。应用价值：①求最值（极值点两侧单调性决定）；②证明不等式（构造单调函数）；③研究函数性质（周期性、对称性）；④优化问题（求极值）；⑤算法设计（二分法）。教材第1章通过单调性研究函数图像、极值分布等，为后续微积分学习奠定基础。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.B3.B4.无正确选项5.B6.无正确选项7.无正确选项8.C