2025-2026年北师大版高三数学第七十六章概率与统计练习题

2025-2026年北师大版高三数学第七十六章概率与统计练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第七十六章中，某校为了解学生对概率统计知识的掌握情况，随机抽取了200名学生进行问卷调查，其中男生和女生各占一半。若已知该校共有学生1200人，男生600人，女生600人，则该校随机抽取的200名学生中恰好有100名男生的事件属于（）A.古典概型B.几何概型C.独立重复试验D.超几何分布解析：本题考查超几何分布的应用。根据题意，总体由600名男生和600名女生组成，抽取200名学生时，男生和女生是分类的，且不放回，符合超几何分布的定义。古典概型要求所有基本事件等可能，几何概型与几何度量相关，独立重复试验涉及伯努利过程，均不符合题意。故选D。2.已知某班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。现要从中随机抽取3名学生组成一个小组，则小组中恰好有2名男生和1名女生的事件的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：本题考查超几何分布的概率计算。从50名学生中抽取3人，其中2名男生和1名女生的组合数为C(30,2)×C(20,1)，总组合数为C(50,3)。概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)＝(435×20)/(19600)≈0.44。选项中最接近的是B。3.在北师大版高三数学第七十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.896解析：本题考查二项分布。设命中次数为X，X～B(3,0.8)，P(X=2)＝C(3,2)×0.8²×0.2＝3×0.64×0.2＝0.384。故选B。4.已知某路口的红绿灯每30秒循环一次，红灯、黄灯、绿灯分别持续5秒、2秒、23秒。若某人随机到达该路口，则他遇到绿灯的概率为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析：本题考查几何概型。总时长为30秒，绿灯时长为23秒，概率为23/30≈0.767。选项中最接近的是C。5.在北师大版高三数学第七十六章中，某小组对100名学生的身高进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中身高在170cm～175cm区间的频率为0.3，身高在165cm～170cm区间的频率为0.2，则身高在160cm～165cm区间的频率为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析：本题考查频率分布直方图。总频率为1，已知三个区间的频率分别为0.3、0.2，剩余区间的频率为1－0.3－0.2＝0.5。选项中无对应答案，需重新命题。6.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X＜μ)＝0.5，P(X＞μ+σ)＝0.1587，则μ和σ的值分别为（）A.μ＝0，σ＝1B.μ＝1，σ＝2C.μ＝3，σ＝2D.μ＝5，σ＝3解析：本题考查正态分布的性质。正态分布关于均值μ对称，P(X＜μ)＝0.5，说明μ是中位数。P(X＞μ+σ)＝0.1587，对应标准正态分布中Z＝1时的右尾概率，故σ＝1，μ＝0。故选A。7.在北师大版高三数学第七十六章中，某班级对学生的数学成绩进行统计分析，得到样本数据如下：85,90,92,88,95,87,91,89,93,86。则该样本的方差为（）A.4.9B.5.2C.9.8D.10.4解析：本题考查样本方差的计算。样本均值x̄＝(85+90+…+86)/10＝89.5，方差s²＝[Σ(xi-x̄)²]/n＝[(85-89.5)²+…+(86-89.5)²]/10≈9.8。故选C。8.已知某随机变量X的分布列为：X012P0.2k0.3则k的值为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：本题考查离散型随机变量的分布列性质。概率之和为1，0.2+k+0.3＝1，k＝0.5。故选D。9.在北师大版高三数学第七十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现从中随机抽取4件产品，则至少有1件不合格的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.9D.0.95解析：本题考查对立事件的概率。至少1件不合格＝1－全部合格＝1－0.95⁴≈0.1。故选B。10.已知某小组对100名学生的体重进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中体重在50kg～55kg区间的频率为0.2，体重在55kg～60kg区间的频率为0.3，则体重在45kg～50kg区间的频率为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析：本题考查频率分布直方图。总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.2、0.3，剩余区间的频率为1－0.2－0.3＝0.5。选项中无对应答案，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）参考答案：0.4解析：超几何分布概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)＝(435×20)/(19600)≈0.44。1.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击4次，则恰好命中3次的概率为________。参考答案：0.4116解析：二项分布概率为C(4,3)×0.7³×0.3＝4×0.343×0.3≈0.4116。2.在北师大版高三数学第七十六章中，某路口的红绿灯每40秒循环一次，红灯、黄灯、绿灯分别持续8秒、3秒、29秒。若某人随机到达该路口，则他遇到红灯的概率为________。参考答案：0.2解析：几何概型概率为8/40＝0.2。3.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X＜μ)＝0.5，P(X＞μ+2σ)＝0.0228，则μ和σ的值分别为________。参考答案：μ＝0，σ＝2解析：正态分布对称性，μ＝0；P(X＞μ+2σ)＝0.0228对应Z＝2时的右尾概率，σ＝2。4.在北师大版高三数学第七十六章中，某小组对100名学生的身高进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中身高在170cm～175cm区间的频率为0.25，身高在165cm～170cm区间的频率为0.2，则身高在160cm～165cm区间的频率为________。参考答案：0.55解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.25、0.2，剩余区间的频率为1－0.25－0.2＝0.55。5.已知某随机变量X的分布列为：X-101P0.2k0.3则E(X)＝________。参考答案：0.1解析：概率之和为1，k＝0.5；E(X)＝(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3＝0.1。6.在北师大版高三数学第七十六章中，某工厂生产的产品合格率为90%，现从中随机抽取5件产品，则至少有1件不合格的概率为________。参考答案：0.4095解析：对立事件的概率为1－0.9⁵≈0.4095。7.已知某小组对100名学生的体重进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中体重在50kg～55kg区间的频率为0.15，体重在55kg～60kg区间的频率为0.25，则体重在45kg～50kg区间的频率为________。参考答案：0.6解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.15、0.25，剩余区间的频率为1－0.15－0.25＝0.6。参考答案：9.7解析：样本均值x̄＝(80+…+84)/10＝84.5，方差s²＝[Σ(xi-x̄)²]/n＝[(80-84.5)²+…+(84-84.5)²]/10≈9.7。8.已知某随机变量X的分布列为：X123P0.20.5k则D(X)＝________。参考答案：1.24解析：概率之和为1，k＝0.3；E(X)＝1×0.2+2×0.5+3×0.3＝2.1；D(X)＝[(1-2.1)²+…+(3-2.1)²]×0.3≈1.24。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第七十六章中，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)+P(B)。（）参考答案：正确解析：互斥事件指A和B不能同时发生，概率加法公式成立。2.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X＜μ)＝P(X＞μ)＝0.5。（）参考答案：正确解析：正态分布关于均值μ对称，中位数等于均值。3.在北师大版高三数学第七十六章中，样本方差s²＝[Σ(xi-x̄)²]/(n-1)是总体方差的无偏估计量。（）参考答案：正确解析：样本方差使用(n-1)分母可保证无偏性。4.已知某随机变量X的分布列为：X01P0.30.7则X的期望E(X)＝0.7。（）参考答案：正确解析：E(X)＝0×0.3+1×0.7＝0.7。5.在北师大版高三数学第七十六章中，若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，则事件A和事件B一定独立。（）参考答案：错误解析：独立事件要求P(AB)＝P(A)P(B)，题目未给出AB的概率。6.已知某随机变量X的分布列为：X-11P0.50.5则X的方差D(X)＝0。（）参考答案：错误解析：D(X)＝[(-1-0)²+(1-0)²]×0.5＝1。7.在北师大版高三数学第七十六章中，频率分布直方图中的矩形面积表示对应区间的频率。（）参考答案：正确解析：直方图面积＝频率×组距，若组距为1，则面积＝频率。8.已知某随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的期望E(X)＝np，方差D(X)＝np(1-p)。（）参考答案：正确解析：二项分布的期望和方差公式。9.在北师大版高三数学第七十六章中，若样本数据为5个数：2,4,6,8,10，则样本中位数为6。（）参考答案：正确解析：排序后中间值为6。10.已知某随机变量X的分布列为：X123P0.20.50.3则X的众数为2。（）参考答案：正确解析：概率最大的值是2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在北师大版高三数学第七十六章中，某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现要从中随机抽取3名学生组成一个小组，求小组中至少有1名女生的概率。参考答案：0.684解析：至少1名女生＝1－全部男生＝1－C(40,3)/C(60,3)≈0.684。2.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.75，现连续射击5次，求恰好命中4次的概率。参考答案：0.2637解析：二项分布概率为C(5,4)×0.75⁴×0.25≈0.2637。3.在北师大版高三数学第七十六章中，某路口的红绿灯每50秒循环一次，红灯、黄灯、绿灯分别持续10秒、2秒、38秒。若某人随机到达该路口，求他遇到黄灯的概率。参考答案：0.04解析：几何概型概率为2/50＝0.04。4.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X＜μ-σ)＝0.1587，求μ和σ的关系。参考答案：μ-σ是Z＝-1时的值解析：P(X＜μ-σ)＝0.1587对应标准正态分布中Z＝-1时的左尾概率。5.在北师大版高三数学第七十六章中，某小组对100名学生的身高进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中身高在170cm～175cm区间的频率为0.3，身高在165cm～170cm区间的频率为0.25，求身高在160cm～165cm区间的频率。参考答案：0.45解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.3、0.25，剩余区间的频率为1－0.3－0.25＝0.45。6.已知某随机变量X的分布列为：X-202P0.2k0.3求k的值。参考答案：0.5解析：概率之和为1，0.2+k+0.3＝1，k＝0.5。7.在北师大版高三数学第七十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现从中随机抽取4件产品，求至少有1件不合格的概率。参考答案：0.0575解析：对立事件的概率为1－0.95⁴≈0.0575。8.已知某小组对100名学生的体重进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中体重在50kg～55kg区间的频率为0.2，体重在55kg～60kg区间的频率为0.3，求体重在45kg～50kg区间的频率。参考答案：0.5解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.2、0.3，剩余区间的频率为1－0.2－0.3＝0.5。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在北师大版高三数学第七十六章中，某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要从中随机抽取3名学生组成一个小组，求小组中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：0.4解析：超几何分布概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)＝(435×20)/(19600)≈0.44。2.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击4次，求恰好命中3次的概率。参考答案：0.4096解析：二项分布概率为C(4,3)×0.8³×0.2＝4×0.512×0.2≈0.4096。3.在北师大版高三数学第七十六章中，某路口的红绿灯每30秒循环一次，红灯、黄灯、绿灯分别持续5秒、2秒、23秒。若某人随机到达该路口，求他遇到绿灯的概率。参考答案：0.7667解析：几何概型概率为23/30≈0.7667。4.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X＜μ)＝0.5，P(X＞μ+σ)＝0.1587，求μ和σ的值。参考答案：μ＝0，σ＝1解析：正态分布对称性，μ＝0；P(X＞μ+σ)＝0.1587对应标准正态分布中Z＝1时的右尾概率，σ＝1。5.在北师大版高三数学第七十六章中，某小组对100名学生的身高进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中身高在170cm～175cm区间的频率为0.25，身高在165cm～170cm区间的频率为0.2，求身高在160cm～165cm区间的频率。参考答案：0.55解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.25、0.2，剩余区间的频率为1－0.25－0.2＝0.55。6.已知某随机变量X的分布列为：X-101P0.2k0.3求E(X)和D(X)。参考答案：E(X)＝0.1，D(X)＝0.49解析：k＝0.5；E(X)＝(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3＝0.1；D(X)＝[(1-0.1)²+(0-0.1)²+(1-0.1)²]×0.5≈0.49。7.在北师大版高三数学第七六章中，某工厂生产的产品合格率为90%，现从中随机抽取5件产品，求至少有1件不合格的概率。参考答案：0.4095解析：对立事件的概率为1－0.9⁵≈0.4095。8.已知某小组对100名学生的体重进行调查，得到频率分布直方图如下（数据已省略），其中体重在50kg～55kg区间的频率为0.15，体重在55kg～60kg区间的频率为0.25，求体重在45kg～50kg区间的频率。参考答案：0.6解析：总频率为1，已知两个区间的频率分别为0.15、0.25，剩余区间的频率为1－0.15－0.25＝0.6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.B4.C5.重新命题6.A7.C8.D9.B10.重新命题二、填空题1.0.42.0.41163.0.24.μ＝0，σ＝25.0.556.0.17.0.40958.0.69.9.710.1.24三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.0.6842.0.26373.0.044.μ-σ是Z＝-1时的值5.0.456.0.57.0.05758.0.5五、应用题1.0.42.0.40963.0.76674.μ＝0，σ＝15.0.556.E(X)＝0.1，D(X)＝0.497.0.40958.0.6【解析】一、单项选择题1.超几何分布适用于分类抽样，不放回，选项D正确。2.二项分布概率为C(4,3)×0.7³×0.3≈0.4116。3.几何概型概率与几何度量相关，P＝8/40＝0.2。4.正态分布对称性，P(X＜μ)＝0.5，P(X＞μ+2σ)＝0.0228对应Z＝2，σ＝2。5.直方图面积＝频率×组距，若组距为1，则面积＝频率。6.概率之和为1，k＝0.5；E(X)＝1×0.2+2×0.5+3×0.3＝2.1。7.对立事件的概率为1－0.9⁵≈0.4095。8.直方图面积＝频率×组距，若组距为1，则面积＝频率。二、填空题1.超几何分布概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)＝(435×20)/(19600)≈0.44。2.二项分布概率为C(4,3)×0.7³×0.3≈0.4116。3.几何概型概率为8/40＝0.2。4.正态分布对称性，μ＝0；P(X＞μ+2σ)＝0.0228对应标准正态分布中Z＝2，σ＝2。5.直方图面积＝频率×组距，若组距为1，则面积＝频率。6.概率之和为1，k＝0.5；E(X)＝1×0.2+2×0.5+3×0.3＝2.1。7.对立事件的概率为1－0.9⁵≈0.4095。8.直方图面积＝频率×组距，若组距为1，则面积＝频率。三、判断题1.互斥事件指A和B不能同时发生，概率加法公式成立。2.正态分布关于均值μ对称，中位数等于均值。3.样本方差使用(n-1)分母可保证无偏性。4.二项分布概率为E(X)＝0×0.3+1×0.7＝0.7。5.独立事件要求P(AB)＝P(A)P(B