基于根轨迹法的离散控制系统设计

基于根轨迹法的离散控制系统设计核心思路：离散系统根轨迹在z平面绘制，利用z=e一、基础理论回顾1.s平面→z平面映射z=esT

s左半平面⇔z平面单位圆内（离散系统稳定条件：所有闭环极点在单位圆内）s平面等阻尼线σ=−ζωs平面等自然频率线ω=ω2.离散系统开环脉冲传递函数设零阶保持器+连续对象：

G(z)=Z1−e−TssGp(s)=(1−z根轨迹定义：开环增益K从0→∞3.性能指标和z平面极点位置关系二阶离散系统，闭环极点：z=r阻尼比：ζ=自然振荡角频率：ω超调量：σ（和连续二阶公式一样，由ζ决定）调节时间：t设计步骤：性能指标→求ζ→求z平面期望极点(r,θ)→根轨迹补偿二、离散根轨迹绘制规则（z平面，和连续根轨迹一致）开环脉冲传递函数：

G(z)=Ki=1m(z−zi起点(K=0)：开环极点；终点(K→∞)：开环零点，剩余n−m分支数=极点数n实轴上根轨迹：右侧零极点总数为奇数的区间渐近线：角度φa=分离点/会合点：ddzG(z)K出射角/入射角：极点出射角θ稳定临界增益：根轨迹与单位圆交点对应的K，就是系统临界稳定增益重点区别：连续系统稳定边界是虚轴；离散是单位圆。三、离散控制器设计（根轨迹法，两类常用）类型1：比例控制D(z)=K仅调节增益K。

适用：原开环根轨迹可以穿过期望极点位置。

局限：不能同时满足稳态精度+动态性能；增大K容易让极点跑到单位圆外，系统失稳。类型2：超前校正D(z)=Kcz−z零点比极点更靠近单位圆，提供相位超前。

作用：把根轨迹推向期望极点位置，提高阻尼，改善动态响应，抑制超调。超前校正设计步骤根据性能指标，计算期望闭环极点z计算原对象G(z)在zd处的相角校正装置需要补偿的相角：ϕ=(2k+1)π−配置D(z)的零极点，使∠幅值条件求增益Kc：类型3：滞后校正D(z)=Kcz−z极点比零点靠近原点。

作用：几乎不改变主导极点位置，提高低频增益，减小稳态误差；代价是引入慢极点，略微增加调节时间。工程常用组合：滞后-超前校正，同时改善稳态误差和动态特性。四、完整设计实例被控对象：Gp(s)=1s(s+1)，采样周期T=1s，零阶保持器。

步骤1：求带零阶保持器的开环脉冲传递函数代入T=1，e−1≈0.3679：

G(z)=0.3679(z+0.7181)(z−1)(z−0.3679)

步骤2：绘制z平面根轨迹，确定期望极点ζ=0.5，ζ=−ln⁡r(ln步骤3：校验原系统稳态误差I型系统，阶跃误差ess=0；速度误差常数Kv步骤4：校验稳定性校正后，闭环极点全部落在单位圆内，验算阶跃响应。五、MATLAB实现（离散根轨迹）matlab

%离散系统根轨迹

T=1;

num=[0.36790.2642];

den=conv([1-1],[1-0.3679]);

G=tf(num,den,T);

rlocus(G);%z平面根轨迹

zgrid;%绘制等阻尼、等自然频率线zgrid：z平面专用网格，等阻尼螺旋线、等频率圆弧，设计必备。六、常见注意事项采样周期T影响巨大：T增大，z平面极点向外移动，系统更容易不稳定；T很小，离散根轨迹近似连续s平面根轨迹。零阶保持器会引入相位滞后，降低稳定裕度，不能忽略。根轨迹法只保证主导极点性能；闭环零点、次要极点会带来额外影响，最后必须仿真验证阶跃响应。稳态误差用终值定理：ess七、设计流程总结确定被控对象Gp(s)、采样周期求开环脉冲传递函数G(z)根据性能指标（σ），计算z平面期望主导极点绘制z平面根轨迹（rlocu