安徽省马鞍山市2025~2026学年高二下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知，则（）A.15 B.5 C. D.4.某市高二学生中男生的身高（单位：）近似服从正态分布.随机选择一名本市高二年级的男生，若，则（）A. B. C. D.5.已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（）A.3 B.2 C. D.6.一间大型展厅有5盏主灯和4盏氛围灯.展厅的智能中控系统灯光的开启遵循以下规则：主灯中至少要选出3盏开启，氛围灯中选出偶数盏（0盏、2盏或4盏）开启，则不同的开灯方式有（）A.128种 B.120种 C.96种 D.90种7.已知三个正数，，分别满足，，，则（）A. B. C. D.8.对于体积为的圆锥，当其外接球最小时，外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A. B.函数是偶函数C.是函数的周期 D.的图象关于直线对称10.下列说法正确的是（）A.经验回归方程一般都有时效性B.线性回归模型的决定系数越大，模型的拟合效果越好C.线性回归模型的残差平方和越小，模型的拟合效果越好D.经验回归直线至少经过，，…，中的一个点11.已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（）A.直线过定点 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最大值为4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.13.已知随机变量服从二项分布，则的数学期望为__________.14.已知数列满足：，.若对任意，都有，则的取值范围为__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，根据400个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：药物A疾病B合计未患病患病未服用10080180服用15070220合计250150400（1）若从该试验的所有动物中随机抽取1只，记事件为“抽取的动物服用药物A”，事件为“抽取的动物未患病”，求和的估计值；（2）请依据列联表根据小概率值的独立性检验，分析服用药物A是否对预防疾病B有效果.附：，其中.独立性检验常用小概率值和相应临界值对应表0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.如图，四棱锥底面为梯形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.17.已知数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.已知曲线，.点，分别在曲线，上，且垂直于轴.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：存在唯一的点使.19.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆与，两点，且，不在轴上.（i）若，求直线的方程；（ii）为椭圆右顶点，直线，与直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，.证明为定值，并求出该值.

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，所以.由，所以.所以.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先化简复数，再由复数的几何意义即可得出结果.解答过程：因为，所以其对应点为，位于第四象限.故选D方法提示：本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.3.已知，则（）A.15 B.5 C. D.答案：C解析：解答过程：的展开式的通项公式，令，则，所以，所以.4.某市高二学生中男生的身高（单位：）近似服从正态分布.随机选择一名本市高二年级的男生，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据正态分布的对称性求概率可得.解答过程：因为身高服从正态分布，所以，正态分布的概率密度曲线关于直线对称，所以，，因此.5.已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（）A.3 B.2 C. D.答案：D解析：思路：利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可.解答过程：由题可知：，渐近线方程为，即，设在双曲线上，则，即，根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，，因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以，又，所以，解得，又，所以.6.一间大型展厅有5盏主灯和4盏氛围灯.展厅的智能中控系统灯光的开启遵循以下规则：主灯中至少要选出3盏开启，氛围灯中选出偶数盏（0盏、2盏或4盏）开启，则不同的开灯方式有（）A.128种 B.120种 C.96种 D.90种答案：A解析：解答过程：主灯的开灯方式有种，氛围灯的开灯方式有种，所以共有种.7.已知三个正数，，分别满足，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件先判断，，设函数，求导判断函数的单调性，进而判断的大小，得到答案.解答过程：因为，所以，所以，由题可知，，所以，所以，因为，所以，同理，设函数，所以，因为，所以当时，，所以在上单调递增，又，，所以，所以.8.对于体积为的圆锥，当其外接球最小时，外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆锥体积得到底面半径和高的关系，并得到外接球半径与高的关系，求导得到函数单调性，求出最小值，得到表面积解答过程：设圆锥底面半径为，高为，外接球半径为，故，所以，如图，，设，由勾股定理得，即，解得，故，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，最小值为，表面积为.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A. B.函数是偶函数C.是函数的周期 D.的图象关于直线对称答案：AB解析：解答过程：由导数的除法运算可知，A正确；因为且定义域为，所以函数是偶函数，故B正确；，故不是函数的周期，故C错误；，故的图象不关于直线对称，故D错误.10.下列说法正确的是（）A.经验回归方程一般都有时效性B.线性回归模型的决定系数越大，模型的拟合效果越好C.线性回归模型的残差平方和越小，模型的拟合效果越好D.经验回归直线至少经过，，…，中的一个点答案：ABC解析：解答过程：对A，经验回归方程一般都有时效性，正确；对B，线性回归模型的决定系数越大，模型的拟合效果越好，正确；对C，线性回归模型的残差平方和越小，模型的拟合效果越好，正确；对D，经验回归直线必过样本中心点，不一定经过任何一个原始样本点，故D错误.11.已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（）A.直线过定点 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最大值为4答案：ACD解析：思路：对于A，由，，直线过；对于B，设，则；对于C，知点的轨迹为以为直径的圆，所以的最大值为：到圆心的距离加半径；对于D,设，求出其轨迹方程，.，令，即,当直线与圆相切时取最值，即可求解.解答过程：由题意得，，成等差数列，所以，所以直线过，故A正确；设，的最大值为，故B错误；由题意得点的轨迹为以为直径的圆，该圆的圆心为，半径为，如图，作出符合题意的图形，所以的最大值为，故C正确；设，因为的轨迹为以为直径的圆，其方程为，展开得，，得到.令，即，当直线与圆相切时取最值，得到，解得或，所以的最大值为4，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：解答过程：，则，，故在点处的切线方程为，即.13.已知随机变量服从二项分布，则的数学期望为__________.答案：7解析：解答过程：因为,所以，所以.14.已知数列满足：，.若对任意，都有，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：利用递推公式变形为，求出取值范围，再求得的取值范围.解答过程：利用递推公式变形为，那么设，则，那么函数单调递增，对任意，都有，又由题可得由，即，,当时，；当时，，综合上述，的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，根据400个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：药物A疾病B合计未患病患病未服用10080180服用15070220合计250150400（1）若从该试验的所有动物中随机抽取1只，记事件为“抽取的动物服用药物A”，事件为“抽取的动物未患病”，求和的估计值；（2）请依据列联表根据小概率值的独立性检验，分析服用药物A是否对预防疾病B有效果.附：，其中.独立性检验常用小概率值和相应临界值对应表0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1），.（2）服用药物A对预防疾病B有效解析：思路：（1）利用条件概率公式可得出和的估计值；（2）零假设药物对预防疾病无效，计算出的观测值，结合独立性检验的基本思想可得出结论.（1）（方法一）根据频率估计概率知，，，.，，.（方法二）根据频率估计概率知，，.（2）零假设：药物对预防疾病无效.由列联表得，，，，，代入公式：.根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为服用药物A对预防疾病B有效.认为此推断犯错误的概率不大于0.01.16.如图，四棱锥底面为梯形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.答案：（1）因为，所以，，，平面，所以平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为平面，因此平面平面.（2）解析：思路：（1）由条件可得平面，再结合条件可得平面，从而可得面面垂直.（2）解法一：取的中点为，则可证明二面角的平面角是，再解三角形可得；解法二：直接建立空间直角坐标系，用向量法求面面角，进而可得二面角的余弦值.（1）略（2）（解法一）因为在直角中，，，所以.同理可得，再由勾股定理得.作的中点，连接、，如图：因为、分别为等腰和等腰的中线也是高线，所以，所以二面角的平面角是.在等腰中，.在等腰中，，所以.在中，，，，所以，所以，.因此二面角的平面角的余弦值为.（解法二）由（1）知，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图：，，，.设平面的一个法向量，，，则，即，取，得，易知平面的一个法向量所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.因此二面角的平面角的余弦值为.17.已知数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据，结合累加法求出数列的通项公式；（2）利用等差乘等比数列的求和方法，乘公比错位相减，即可求出数列的前项和.（1）当时，.由，则，即，所以，，，，累加得，又，所以，检验，当时，符合，所以.（2）由（1）知，则，则①，②，①-②得，所以.18.已知曲线，.点，分别在曲线，上，且垂直于轴.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：存在唯一的点使.答案：（1）2（2）（方法一）由题意可设，.则.设，则，令，得或.①当，时，有0-0+0-单调递减有极小值单调递增有极大值单调递减所以在和单调递减，在上单调递增.在处有极小值，在处有极大值.又时，.根据零点存在性定理知，时，有唯一零点，即存在唯一的点使.②当，时，，在上单调递减.且时，，时，.所以当时，有唯一零点，即存在唯一的点使.③当，时，有0-0+0-单调递减有极小值单调递增有极大值单调递减所以在和单调递减，在上单调递增.在处有极小值，在处有极大值，又时，.当时，有唯一零点，即存在唯一的点使.综上所述，当时，存在唯一的点使.（方法二）由题意可设，.则.当时，，故只需证明方程在时只有唯一解，设，则，当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，且；当时，，单调递增，且.可画出函数的大致图象，当时，直线与曲线有且只有一个交点.综上所述，当时，存在唯一的点使.解析：思路：（1）设，，则，借助导数研究函数的单调性，即可求解.（2）由题意可设，.则，当时，，故只需证明方程在时只有唯一解，设，借助导数即可求解.（1）当时，设，，则.设，则.当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.当时，有最小值，所以有最小值2.（2）略.19.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆与，两点，且，不在轴上