福建省福州市福九联盟2025~2026学年高二下册期末联考数学试卷【附解析】

数学满分：150分第I卷一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.3.的展开式中的常数项为（）A.15 B.20 C.40 D.604.已知随机变量的概率分布如下表，则（）1230.30.3A.0.6 B.2 C.2.4 D.55.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（）A. B. C. D.7.设是数列的前n项和，若，则＝（

）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.为奇函数C. D.的周期为3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（）感染情况接种情况感染支原体肺炎未感染支原体肺炎合计接种流感疫苗未接种流感疫苗合计46附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.B.C.认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1D.没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联10.已知，且，则（）A. B. C. D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.4是的极大值点B.当时，C.函数的图像是中心对称图形D.当且时，第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，，则______.13.将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写）14.已知集合，，现甲、乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为________．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求的定义域，并求，，，的值；（2）观察（1）中的函数值，写出的单调性和奇偶性，并选择其中一个性质加以证明.16.已知等差数列中，，前8项和为80.（1）求的通项公式；（2）从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和.17.某公司对近六年的人工智能产品研发的年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计如下表：样本号i123456年投入额xi579111315年销售量yi68mn1112已知，且的相关系数r=（1）求年投入额的方差；（2）求关于的回归直线方程；（3）若近六年的人工智能产品研发的年投入额为9百万元时的残差为a，求a的值.参考数据:，参考公式:，，18.数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为．（1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项．（i）若，求该题他得到6分的概率；（ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值；（2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案，方案一：选A和B，C，D中任意一个，方案二：选A和B，C，D中任意两个，从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案．19.已知函数.（1）判断的单调性.（2）设，其中.（i）证明：在上有唯一的极值点；（ii）若为在上的零点，为在上的极值点，比较与的大小，并说明理由.

数学满分：150分第I卷一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，故.2.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，则，故B正确，A错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D错误.3.的展开式中的常数项为（）A.15 B.20 C.40 D.60答案：D解析：思路：利用展开式通项求解.解答过程：展开式通项为．令，得．所以常数项为．4.已知随机变量的概率分布如下表，则（）1230.30.3A.0.6 B.2 C.2.4 D.5答案：C解析：思路：先求出数学期望及方差，再应用方差性质计算求解.解答过程：根据概率分布得，解得，计算得，，根据方差性质得.5.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将条件转化为函数在区间上单调，根据二次函数对称轴与区间的位置关系列不等式求解的取值范围．解答过程：二次函数图象的对称轴为直线，∵对于任意，且，都有，即在区间上是单调函数，∴或，∴或，即实数的取值范围为．故选：C．6.袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题可知，服从超几何分布，所以，，，，所以A，B，C均正确，D错误．7.设是数列的前n项和，若，则＝（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：递推条件后相减构造出，即可将问题转化为，利用幂指数运算与等差数列的前项和即可求解.解答过程：由题意得，则，两式相减得，其中，则有，则.8.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.为奇函数C. D.的周期为3答案：C解析：思路：令，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值.解答过程：令，得得或，当时，令得不合题意，故，所以A错误；令得，且的定义域为，故为偶函数，所以B错误；令，得，所以，所以，则，则，所以的周期为6，所以D错误；令，得，因为所以，所以，故C正确.故选：C.方法提示：关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（）感染情况接种情况感染支原体肺炎未感染支原体肺炎合计接种流感疫苗未接种流感疫苗合计46附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.B.C.认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1D.没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联答案：AD解析：思路：根据表格信息得出相应数值，通过计算和独立性检验判断各个选项；解答过程：由表中数据易得，对于A,．故A正确；对于B,，故B错误；对于C，D，依据的独立性检验，没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，故C错误，D正确．故选：AD．10.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：对于选项A，将代入不等式中化简可验证其正确性；对于选项B，将代入不等式中利用指数函数的单调性验证即可；对于选项C、D，化简不等式，利用基本不等式的性质验证即可.解答过程：对于A：，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B：，所以，故B错误；对于C：，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D：因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：AD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.4是的极大值点B.当时，C.函数的图像是中心对称图形D.当且时，答案：ACD解析：思路：对于A，结合定义域，解可得单调性，据此可判断选项正误；对于B，通过举特例可判断选项正误；对于C，注意到，据此可判断选项正误；对于D，由题设可得，然后由在上单调递增，可得，据此可判断选项正误.解答过程：对于A，定义域为：，.因时，，则，，从而在上单调递增，在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确；对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误；对于C，注意到，，则图像关于中心对称，故C正确.对于D，因，则，又，则，从而，又由A分析可得在上单调递增，则，从而,故D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，，则______.答案：##解析：解答过程：由题意得，13.将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写）答案：解析：解答过程：由题设，必有一个学校有两名大学生，故不同的分配方法有.14.已知集合，，现甲、乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为________．答案：##解析：思路：根据概率的乘法公式求出甲抽取的元素中有时和甲抽取的元素中没有时的概率，利用全概率公式即可求出答案.解答过程：可分两类，甲抽取的元素中有时和甲抽取的元素中没有时，记事件为“甲抽取的元素中有”，所以，，，所以，所以.所以的概率为.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求的定义域，并求，，，的值；（2）观察（1）中的函数值，写出的单调性和奇偶性，并选择其中一个性质加以证明.答案：（1）定义域为，，，，；（2）在上单调递减，为奇函数；奇偶性证明：定义域为，，故在定义域内为奇函数；单调性证明：，且，则，因为，所以，因为，所以，故，所以，即，故在上单调递减，同理可证在上单调递减，故在上单调递减.解析：思路：（1）解不等式，得到定义域，并求出各函数值；（2）写出的单调性和奇偶性，并用定义法证明函数单调性和奇偶性.（1）令，解得，故定义域为，，，，；（2）略16.已知等差数列中，，前8项和为80.（1）求的通项公式；（2）从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可；（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可.（1）设等差数列的公差为，由，前8项和为80，得；（2）因为，所以由题意可知，于是，所以.17.某公司对近六年的人工智能产品研发的年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计如下表：样本号i123456年投入额xi579111315年销售量yi68mn1112已知，且的相关系数r=（1）求年投入额的方差；（2）求关于的回归直线方程；（3）若近六年的人工智能产品研发的年投入额为9百万元时的残差为a，求a的值.参考数据:，参考公式:，，答案：（1）（2）（3）解析：（1）年投入额的平均数，年投入额的方差.（2），由（1）可知，已知，相关系数，所以，所以，，所以关于的回归直线方程：（3）由（2）可知即，代入数据，，即，又因为，所以当时，实际销量，回归直线预测值，残差定义为.18.数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为．（1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项．（i）若，求该题他得到6分的概率；（ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值；（2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案，方案一：选A和B，C，D中任意一个，方案二：选A和B，C，D中任意两个，从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案．答案：（1）（i）；（ii）（2）选方案一解析：思路：（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解；（2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论.（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项，记事件为该题他得到6分，则，那么该题他得到6分的概率为；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为，则，，，，令，解得；（2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6，，，，方案一的得分的分布列为046所以.执行方