福建省福州市福清市2025~2026学年高二下册期末适应性练习数学试卷【附解析】

数学满分：150分）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.3.设函数（为常数），则“”是“为偶函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列结论不成立的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，且，则5.某圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知，，若，，则（）A. B. C. D.7.在中，，，，是边上的中点，则（）A. B. C. D.8.设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.，，，，，，，的上四分位数是B.已知事件，相互独立，，，则C.若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为D.某班名男生的数学平均分为，名女生的数学平均分为，则全班名学生的数学成绩平均分为10.函数的图象为，则下列结论正确的是（）A.图象关于直线对称B.图象可由的图象向右平移个单位长度得到C.函数在上单调递增D.若，则的最小值为11.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则下列结论正确的是（）A.存在平面，截此正方体所得截面为正三角形B.存在平面，棱与平面夹角的正弦值为C.不存在平面，截此正方体所得截面为正六边形D.截此正方体所得截面面积的最大值为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，为正数，且，则的最大值为__________．13.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则__________．14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，是同一平面内的两个向量，其中，．（1）若，求在上的投影向量坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16.从某校高二年级学生的数学期末测试成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）估计此次数学测试分数的平均数（保留一位小数）；（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法，从分数在内的学生中抽出人，要怎么抽取？再从这人中选取个人查看其成绩，求至少一人分数在内的概率．17.在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，且的周长为，求的面积．18.一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数．（1）若，，求函数的零点；（2）判断的奇偶性，并给予证明；（3）若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由．19.已知正方体中，若为棱上的动点．（1）求证：；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积；（3）为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小．

数学满分：150分）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分别根据绝对值不等式和指数函数的单调性，求出集合和集合，再求出即可.解答过程：由，则，所以，由，根据指数函数单调递增，则，所以，所以.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据复数的除法，求得复数的代数形式，再根据共轭复数的概念及复数的模长公式，即可求解.解答过程：由题意，，则，所以，所以.3.设函数（为常数），则“”是“为偶函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：若，为偶函数，充分性，若为偶函数，则，必要性，得到答案.解答过程：若，则，函数为偶函数，充分性成立；若为偶函数，则，，必要性成立.“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选：C4.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列结论不成立的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，且，则答案：C解析：思路：由面面平行的性质定理可判断A；由面面平行及线面垂直的性质定理判断B；由线线垂直、线面垂直的性质定理判断C；由线面平行的性质定理判断D.解答过程：对于A，因为，，则与无交点，所以，故A正确；对于B，因为，，则，则B正确；对于C，因为，，则或，故C错误；对于D，因为，，且，由线面平行的性质定理可知，故D正确.5.某圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，母线为，因为侧面积为，所以，所以圆锥的高为，则该圆锥的体积为.6.已知，，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，因为，所以，，，，则，，因此.7.在中，，，，是边上的中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量中线定理，结合数量积的定义求解即可.解答过程：在中，，，，是边上的中点，所以，，因为，，，所以，所以，因此.8.设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：画出函数的图象，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可.解答过程：函数的图象如图所示：因为，，所以，所以所以，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以，所以的范围是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.，，，，，，，的上四分位数是B.已知事件，相互独立，，，则C.若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为D.某班名男生的数学平均分为，名女生的数学平均分为，则全班名学生的数学成绩平均分为答案：BD解析：思路：根据百分位数、平均数的计算规则及独立事件的概率乘法公式、方差的性质逐项求解判断即可.解答过程：对于A，数据共有8个，，则上四分位数是第6项和第7项数据的平均值，即，A错误.对于B，事件，相互独立，则，B正确.对于C，若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为，C错误.对于D，全班平均分为，D正确.10.函数的图象为，则下列结论正确的是（）A.图象关于直线对称B.图象可由的图象向右平移个单位长度得到C.函数在上单调递增D.若，则的最小值为答案：ACD解析：解答过程：选项A，正弦函数对称轴处函数取得最值，代入，，取得最大值，故是对称轴，A正确；选项B，向右平移个单位，得，B错误；选项C，令，解得：，Z,，增区间为，区间是的子集，C正确;选项D，函数最小正周期，相邻两个零点之间的距离为半个周期，故最小值为，D正确.11.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则下列结论正确的是（）A.存在平面，截此正方体所得截面为正三角形B.存在平面，棱与平面夹角的正弦值为C.不存在平面，截此正方体所得截面为正六边形D.截此正方体所得截面面积的最大值为答案：ABD解析：思路：A.当平面是平面满足；B.当平面是平面满足；C.举反例，取棱的中点，连接得到正六边形截面；D.正六边形截面面积取得最大值.解答过程：选项A,当平面是平面，因为的三边都是面对角线长，为正三角形,所以存在平面，截此正方体所得截面为正三角形，A正确;选项B,建立如图所示空间直角坐标系，则,,,,所以，,，设平面的法向量是，则,所以，取设与平面的夹角为，则，当平面是平面时满足题意，所以存在平面，棱与平面夹角的正弦值为，B正确；选项C，取棱的中点，连接得到正六边形截面，因此存在这样的平面，C错误；选项D，每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截面之间互相平行，由正方体的对称性，要求截面的面积最大，则当截面的位置是过棱的中点的正六边形（过正方体的中心）时，面积最大，此时正六边形的边长是，此时截面面积，所以截面面积最大值为，D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，为正数，且，则的最大值为__________．答案：##0.25解析：解答过程：（当且仅当时，取等号），所以的最大值为13.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则__________．答案：解析：思路：利用，结合面积关系运算求解即可.解答过程：设，,，平分，；所以，因为，所以，所以即，得，即.14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为__________．答案：解析：思路：根据题意，将图形补形为长方体，进而求该长方体外接球的表面积即可.解答过程：该鳖臑如图所示：因为，，，所以，所以，所以，又平面，平面，所以，将该鳖臑补形为长方体，该鳖臑的外接球即该长方体的外接球，又是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外接球半径为，则，所以所以此鳖臑的外接球表面积为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，是同一平面内的两个向量，其中，．（1）若，求在上的投影向量坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据投影向量的计算公式求解即可.（2）根据向量夹角的求解公式及向量共线求解即可.（1）因为，所以，，在上的投影向量为，故在上的投影向量坐标为．（2），由，得．当时，则存在唯一的实数使得，解得．所以当时，与共线，且方向相同，此时夹角为0，不符题意．故与的夹角为锐角时，实数的取值范围是．16.从某校高二年级学生的数学期末测试成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）估计此次数学测试分数的平均数（保留一位小数）；（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法，从分数在内的学生中抽出人，要怎么抽取？再从这人中选取个人查看其成绩，求至少一人分数在内的概率．答案：（1）分（2）从中抽取人，从中抽取人，解析：思路：（1）利用频率分布直方图中平均数的定义求解即可；（2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率.（1）由频率分布直方图，得，所以，该次测试分数的平均数的估计值为：分；（2）分数在的人数为（人），分数在的人数为（人），由于，所以采用比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取人，从中抽取人．解法一：记分数在的人编号分别为，，分数在的人编号为，，，用数组表示抽取的人为和．样本空间，则，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．记事件“至少一人分数在”，则，．则，所以这人中至少有一人分数在内的概率为．解法二：从人中任意选取人共有种情况，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．抽取的人分数都在有种情况，则至少有一人分数在内有种情况．故至少有一人分数在的概率为．17.在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，且的周长为，求的面积．答案：（1）（2）解析：（1）由，得，即，解得或，因为，所以，解得.（2）因为周长，，所以，即，因为，所以根据余弦定理可得，将代入可得，化简得，解得，所以．18.一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数．（1）若，，求函数的零点；（2）判断的奇偶性，并给予证明；（3）若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由．答案：（1）和（2）为奇函数．因为且，又因为，所以是奇函数．（3）不存在.假设存在实数，，使得在上的值域是，易知，因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同．当时，由得在单调递增，于是，即，故有，得，这与矛盾，故无解；同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增．于是，得，解得，这与矛盾，故无解；综上所述，不存在符合要求的实数，．解析：思路：（1）将函数的零点问题转化为方程的根的问题求解即可.（2）根据函数奇偶性的定义即