福建省福州市福清市2025~2026学年高一下册期末适应性练习数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据，，，，的平均数为（）A. B. C. D.2.在中，，，，则（）A. B. C. D.3.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.4.在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（）A. B. C. D.5.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. B. C. D.6.某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（）A. B. C. D.7.如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.一个多面体至少有个面 B.一个棱柱至少有个面C.直四棱柱都是长方体 D.平行六面体都是长方体10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是（）A.最大内角为 B.C.的外接圆半径为 D.是钝角三角形11.若，，，则（）A.事件与不互斥 B.事件与对立C.事件与互相独立 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则___________．13.若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________．14.数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数的虚部为，模为，且在复平面内对应的点位于第一象限．（1）求复数．（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．16.已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，三点．（1）证明：平行四边形为矩形；（2）求与夹角的余弦值．17.记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的大小；（2）若，，求的周长．18.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.（1）求图中的值；（2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团.（ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数；（ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率.19.如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设．（1）若．（i）证明：平面．（ii）求二面角的正切值．（2）求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据，，，，的平均数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题，2.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，，由余弦定理得,所以.3.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为复数是纯虚数，所以，解得.4.在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形为等边三角形，故与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为.解答过程：正方体中，，异面直线AC与的所成角即为与所成的角，而三角形为等边三角形，故与的夹角为，所以异面直线AC与的所成角为.故选：C方法提示：熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决,注意几何图形的特点.5.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，，，，因为向量的模长为非负数，所以．6.某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率.解答过程：由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种，甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为.7.如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，所以.8.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合直角三角形面积公式推理求解.解答过程：取中点，连接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，而平面，于是，由平面，平面，得，又平面，因此平面，而平面，则，又，则，所以三棱锥的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.一个多面体至少有个面 B.一个棱柱至少有个面C.直四棱柱都是长方体 D.平行六面体都是长方体答案：AB解析：解答过程：对于A：一个多面体至少有个面，为四面体，故A正确；对于B：一个棱柱至少有个面，为三棱柱，故B正确；对于C：直四棱柱，上下底面为四边形，不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故C错误；对于D：平行六面体可以是斜棱柱，故D错误．10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是（）A.最大内角为 B.C.的外接圆半径为 D.是钝角三角形答案：BCD解析：思路：由大边对大角即可判断A；由正弦定理即可判断B；先利用余弦定理求，进而得到，再利用正弦定理求外接圆半径即可判断C；解三角形可得即可判断D．解答过程：，，，最大边为，则最大内角为，故A错误；由正弦定理，故B正确；，，，解得，则的外接圆半径为，故C正确；，，则，即是钝角三角形，故D正确．11.若，，，则（）A.事件与不互斥 B.事件与对立C.事件与互相独立 D.答案：ACD解析：解答过程：对于A：因为，即事件与同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，故A正确；对于B：因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误；对于C：因为，所以，又，所以，所以事件与互相独立，故C正确；对于D：可得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则___________．答案：解析：解答过程：因为，，，所以，所以.13.若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________．答案：3解析：解答过程：由题意得，又，解得.14.数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________．答案：解析：思路：利用百分位数的定义进行求解.解答过程：数据共有10个数，，故从小到大排列为，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数的虚部为，模为，且在复平面内对应的点位于第一象限．（1）求复数．（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．答案：（1）（2）解析：（1）由题意可设，则，解得．故．（2）由题意得，，整理得，，故，解得．16.已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，三点．（1）证明：平行四边形为矩形；（2）求与夹角的余弦值．答案：（1）如图所示，由题意可得，，，故，所以，即，所以平行四边形为矩形．（2）解析：（1）略.（2）如图所示，因为为平行四边形，所以，即，解得，，则，，，故，，，，所以向量与夹角的余弦值为.17.记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的大小；（2）若，，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角B的大小．（2）先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后求出三角形的周长．（1）由正弦定理及可得，．因为，所以，故，又因为，所以．（2）解法一：因为，，所以，即．由及余弦定理可得，，解得．所以的周长为．解法二：因为，，所以，即．由，解得或，当，时，由余弦定理可得，，故．当，时，同理可得．所以的周长为．18.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.（1）求图中的值；（2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团.（ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数；（ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率.答案：（1）（2）（ⅰ）5人，2人；（ⅱ）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值；（2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；（ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.（1）由频率分布直方图可得，解得；（2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为，故应从学生中抽取的学生人数为（人），应从学生中抽取的学生人数为（人）；,（ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，则这个试验的样本空间为，共有21个基本事件；事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个，即，故.19.如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设．（1）若．（i）证明：平面．（ii）求二面角的正切值．（2）求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值．答案：（1）（i）在正方体中，连接交于，连接，由四边