福建省泉州市2025~2026学年高二下册期末参考数学试卷【附解析】

数学本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（）A. B. C. D.2.下列求导的运算正确的是（）A. B.C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.抛掷一枚质地均匀的骰子次，设为向上一面出现点或点的次数，则（）A. B. C. D.5.函数的最大值为（）A. B. C. D.6.如图，网格由边长为一个单位长度的小正方形组成，质点从点向点移动，规定每次只能向上或向右移动一个单位长度，则从出发，不经过点到达的最短路径的条数为（）A. B. C. D.7.已知函数，．当时，，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.编号为，，的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子中任取一个小球，设“取到的小球为红球”，“小球取自号箱”．若，则（）A. B. C.或 D.或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示：若关于的经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.由数据可判断与负相关B.经验回归方程相应的直线经过点C.当售价为元/件时，样本点的残差为D.当售价为元/件时，预测月销售量为千件10.在泉州“宋潮”非遗市集活动中，甲、乙两名游客准备在南音、提线木偶、泉州花灯和蟳埔簪花四大非遗体验区体验，每人至少从中选择一个主题体验，且每个主题恰被其中1人体验．设“甲体验南音”，“甲体验提线木偶”，“乙体验泉州花灯”，则（）A. B.C. D.与相互独立11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若在定义域上恒成立，则C.若恰有两个零点，则 D.若，是的两个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字作答）13.已知随机变量，则_________.（随机变量，，）14.年闽超联赛的常规赛共有十支参赛队伍，各队伍在赛前热身阶段进行射门训练．若运动员甲的射门命中率为，设“在次射门中，命中次数为奇数”，记，则与之间的递推关系式为_________，若满足，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解某地区市民体质情况是否与经常运动（周运动时长不少于个小时）有关，从该地区体质情况达到合格及以上的人群中随机抽取了1000人进行问卷调查，得到如下列联表：组别体质情况合格体质情况良好及以上合计经常运动不经常运动

合计

（1）记体质情况良好及以上的人中不经常运动的概率为，请直接写出的值并求出的估计值；（2）依据小概率值的独立性检验，分析该地区市民体质情况达到合格及以上是否与经常运动有关.附：16.已知函数.（1）若在处有极小值，求的值；（2）讨论的单调性，并求的极值.17.已知函数，设曲线在点处的切线为．（1）求的方程；（2）若函数的图象为，证明：．18.某商场推出返现抽奖活动，活动含三种方案，顾客消费满一定金额后可任选其中一种参与，活动方案如下：方案一：直接返现元；方案二：袋中装有个除颜色外完全相同的小球，其中红球个，黄球个．每次从袋中一次性随机取出个小球，若取出的红球数量不少于个，则单次返现元，否则不返现．该次抽取完成后将小球放回袋内，每名参与者均有次抽奖机会；方案三：箱中装有张除颜色外完全相同的卡片，其中红色卡片张，黄色卡片张．每次从箱中有放回地随机抽取张卡片，若抽中红色卡片，停止抽奖并返现元；若未中奖则继续抽取，抽满次为止．（1）对于方案二，用随机变量表示一次抽取的红球个数，求的分布列与数学期望；（2）从上述三种方案中，选择返现金额的数学期望最大的方案．19.为提升一种新型绿化植株的成活率，某科研部门对棵样本植株进行成活情况测试．已知这批植株中不能成活的棵数为，现从中一次性随机抽取棵，记恰有棵植株不能成活的概率为．（1）写出的表达式（用表示，保留组合数）；（2）记这批植株的不成活率为．（i）当取得最大值时，求此时对应的的值；（ii）现有，两个专家团队针对与某参数的相关性开展研究，团队得到的拟合函数模型为，团队得到的模型为．在统计学中，若存在，使得为（i）中的，则称是的极大似然估计．根据上述原理和两个函数模型，选择可以求出的极大似然估计的模型．（参考数据）

数学本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：偶数的个位数字只能为或，则三位偶数总个数为.2.下列求导的运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：选项A：，故A错误；选项B：，故B错误；选项C：，故C正确；选项D：，故D错误.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，可得，令，，所以.4.抛掷一枚质地均匀的骰子次，设为向上一面出现点或点的次数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：依题意可知，抛掷一枚质地均匀的骰子1次，向上一面出现1点或2点的概率为，且，则.5.函数的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过求导，确定函数单调性，即可求解.解答过程：求导得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时函数取得最大值为.6.如图，网格由边长为一个单位长度的小正方形组成，质点从点向点移动，规定每次只能向上或向右移动一个单位长度，则从出发，不经过点到达的最短路径的条数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：从点出发到达点的最短路径共有条，从点出发，经过点到达点的最短路径共有条，所以从点出发，不经过点到达点的过程中，最短路径的条数为条.7.已知函数，．当时，，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：法一：通过分离参数，构造函数，通过二次求导，确定单调性，求最值即可求解；法二：将不等式转换成，构造函数，求导，通过讨论和的大小关系，确定函数单调性，进而可求解.解答过程：解法一：不等式可化为，令，可得令，则由得，则在上单调递增，所以令得；令得所以在上单调递减，在上单调递增，则所以.解法二：不等式可化为，令，令，得，当即时，在上单调递增，在上单调递减又，则对于，，不合题意，舍去当即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减则只需，得当即时，，在上单调递减则，符合题意当即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则只需，即，由法一可知，该式恒成立，则符合题意，综上所述：.8.编号为，，的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子中任取一个小球，设“取到的小球为红球”，“小球取自号箱”．若，则（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：思路：首先根据等比数列公式，设出每个箱中的小球数和红球占比率，再结合全概率和贝叶斯公式求解.解答过程：因为号箱、号箱、号箱的球数依次成等比数列，公比为且依此顺序的三个箱子里的红球占比率也依次成等比数列，公比为设号箱中有个球，红球占比率为，则号箱中有个球，红球占比率为，号箱中有个球，红球占比率为，由全概率公式可得：所以得：或.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示：若关于的经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.由数据可判断与负相关B.经验回归方程相应的直线经过点C.当售价为元/件时，样本点的残差为D.当售价为元/件时，预测月销售量为千件答案：ABC解析：思路：根据相关性的概念、样本中心点的定义、残差的计算、及根据样本中心点求参数，利用回归方程进行数据估计，逐项判断即可.解答过程：观察图表可判断与负相关，故A正确；由表格数据可得：，根据线性回归方程必过样本中心点，即，故B正确；，故可判断与负相关，A正确；当时，，，故C正确；当时，，故D错误.10.在泉州“宋潮”非遗市集活动中，甲、乙两名游客准备在南音、提线木偶、泉州花灯和蟳埔簪花四大非遗体验区体验，每人至少从中选择一个主题体验，且每个主题恰被其中1人体验．设“甲体验南音”，“甲体验提线木偶”，“乙体验泉州花灯”，则（）A. B.C. D.与相互独立答案：AC解析：思路：利用条件概率，相互独立，概率公式依次计算选项即可判断.解答过程：A选项：若每个主题都有两种选择则有种，每个主题都是甲体验或者都是乙体验有种，所以基本事件总数为：，事件包含的样本点数为，，故A正确；B选项：同上可得，事件包含的样本点数为，，所以，B不正确；C选项：事件包含的样本点数为，，事件包含的样本点数为，，事件包含的样本点数为，，所以，则，所以C正确；D选项：同B选项可得，，所以D选项不正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若在定义域上恒成立，则C.若恰有两个零点，则 D.若，是的两个零点，则答案：BCD解析：思路：对于A，通过对函数求导，确定单调性，求得最值，即可判断，对于B，通过分离参数，构造函数，求导，确定单调性，求得最值，即可判断，对于C，问题转换成有两个不等的正实根，研究的单调性，进而可求解，对于D，将问题转换成等价于有两个零点，进而得到，再将要证，转换成，再通过，转换成，构造函数，求导研究单调性即可判断.解答过程：函数定义域为，对于A，当时，，令，则，令，得；令，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即不成立，故A错误；对于B，令，得，令，则，令得所以当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以，即，即恒成立，故B正确；对于C，恰有个零点，所以，即有两个不等的正实根，令，由B可知：当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当时，；当时，，所以，即，即有两个不等的正实根，即恰有个零点，故C正确；对于D，是函数的2个零点，所以有即所以原问题等价于有两个零点，证明，设，则由得到，要证，只需证，即证只需证，即证，令，则只需证，令，求导得：，即在上单调递增，由，所以，即恒成立，所以原不等式成立，即成立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字作答）答案：解析：思路：利用二项式定理的通项公式求解即可.解答过程：的展开式的通项，令，解得，故常数项为.13.已知随机变量，则_________.（随机变量，，）答案：解析：思路：通过正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性，即可求解.解答过程：由，又，可得，根据正态分布的对称性可得所以.14.年闽超联赛的常规赛共有十支参赛队伍，各队伍在赛前热身阶段进行射门训练．若运动员甲的射门命中率为，设“在次射门中，命中次数为奇数”，记，则与之间的递推关系式为_________，若满足，则_________.答案：①.②.解析：思路：通过全概率公式及数列通项公式求法求解.解答过程：由全概率公式可知：，，，，又，是以为首项，为公比的等比数列，即，得.，.，，整理得，解得，，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解某地区市民体质情况是否与经常运动（周运动时长不少于个小时）有关，从该地区体质情况达到合格及以上的人群中随机抽取了1000人进行问卷调查，得到如下列联表：组别体质情况合格体质情况良好及以上合计经常运动不经常运动

合计

（1）记体质情况良好及以上的人中不经常运动的概率为，请直接写出的值并求出的估计值；（2）依据小概率值的独立性检验，分析该地区市民体质情况达到合格及以上是否与经常运动有关.附：答案：（1），（2）该地区市民体质情况与经常爱运动有关解析：思路：（1）由表格数据即可求，由频率可求的估计值；（2）求得，通过对比表格数据，即可判断.（1）根据表格可知，，因为体质情况良好及以上的人中有人不经常运动，所以的估计值为（2）零假设为：该地区市民体质情况与经常运动无关，由（1）知，列联表完善表格如下：组别合格良好及以上合计经常运动不经常运动250合计600400根据表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，认为该地区市民体质情况与经常运动有关，该推断犯错误的概率不超过.16.已知函数.（1）若在处有极小值，求的值；（2）讨论的单调性，并求的极值.答案：（1）（2）当时，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为；当时，在上单调递增，无极大值，也无极小值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为解析：思路：（1）通过，求得值，再验证即可；（2）求导，通过讨论的大小关系，确定函数单调性，即可求解.（1），依题意可得，即，得，检验：当时，，令，得或；令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，则当时，有极小值，符合题意．所以.（2），令，得，，当，即时，令，得或；令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，极小值为；当即时，，所以在上单调递增，则无极大值，也无极小值；当，即时，令，得或；令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，极小值为.17.已知函数，设曲线在点处的切线为．（1）求的方程；（2）若函数的图象为，证明：．答案：（1）（2）法一：由（1）可知，即证，即证设，则令，得；令，得所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，得证；解法二：由（1）可知，即证，即证，设，则，令，则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，，则当，，所以，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，得证.解析：思路：（1）通过求导，确定切线斜率，进而可求解；（2）法一：由（1）构造函数，通过求导确定单调性，求得最值即可证明；法二，由（1）构造函数，通过二次求导确定单调性，求得最值，即可证明.（1）依题意可得：，则，，所以直线的方程为（2）略18.某商场推出返现抽奖活动，活动含三种方案，顾客消费满一定金额后可任选其中一种参与，活动方案如下：方案一：直接返现元；方案二：袋中装有个除颜色外完全相同的小球，其中红球个，黄球个．每次从袋中一次性随机取出个小球，若取出的红球数量不少于个，则单次返现元，否则不返现．该次抽取完成后将小球放回袋内，每名参与者均有次抽奖机会；方案三：箱中装有张除颜色外完全相同的卡片，其中红色卡片张，黄色卡片张．每次从箱中有放回地随机抽取张卡片，若抽中红色卡片，停止抽奖并返现元；若未中奖则继续抽取，抽满次为止．（1）对于方案二，用随机变量表示一次抽取的红球个数，求的分布列与数学期望；（2）从上述三种方案中，选择返现金额的数学期望最大的方案．答案：（1）（2）方案二解析：思路：（1）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解；（2）通过二项分布确定方案二的期望，确定的所有可能取值为，结合独立事件概率乘法公式确定对应概率，即可求得期望，即可解题.（1）的所有可能取值为：，，，，，，，，所以的分布列为；（2）记方案一、二、三的返现金额分别为，，对于方案一：依题意得，对于方案二：由（1）可得，记次抽奖中得到元返现的次数为，则所以，又