广东省中山市小榄中学2026届高三上册9月开学考数学试卷【附解析】

数学一、单选题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（）A. B.C. D.4.已知点在幂函数的图象上，则（）A.4 B.5 C.6 D.75.已知函数在区间上的最大值为5，则（）A.2 B.3 C.15 D.3或156.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足且，则B.样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C.若事件、相互独立，则D.若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C.6 D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.函数与是相同的函数B.函数的最小值为6C.若函数在定义域上为奇函数，则D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为10.若，，则（）A. B.C. D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的极小值点B.C.当时，D.函数有5个零点三、填空题12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．13.函数的定义域为______．14.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．四、解答题15.设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为且过点的抛物线的一部分．（1）求函数在上的解析式；（2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象；（3）写出函数的值域和单调区间．16.已知关于x的不等式的解集为或.（1）求a，b的值；（2）当，，且满足，求的最小值.17.疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为优秀．（1）求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数；（2）从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数．求X的分布列和数学期望．18.已知函数，且.（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；（2）证明：函数是奇函数；（3）若，求实数的取值范围.19.已知函数，.（1）若的极大值为1，求实数a的值；（2）若，求证：.

数学一、单选题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出集合，即可根据交集定义求出.解答过程：可知或，.故选：A.方法提示：本题考查一元二次不等式的求解和交集的运算，属于基础题.2.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：由，，可得，而得不出，，可得结论.解答过程：因为，，若“，，则，所以“，”是“”的充分条件；当，满足，但不满足，所以“，”不是“”的必要条件.故选：A.3.已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据不等式的性质判断.解答过程：∵且，∴，由，得，A正确；又，则，B正确；，而，则，D正确；当时，，C错误．故选：C．4.已知点在幂函数的图象上，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：思路：直接由幂函数的定义列方程组即可求解.解答过程：由题意.故选：C.5.已知函数在区间上的最大值为5，则（）A.2 B.3 C.15 D.3或15答案：B解析：思路：先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值.解答过程：．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得．故选：B.6.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足且，则B.样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C.若事件、相互独立，则D.若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强答案：D解析：思路：根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.解答过程：对于A：因为且，所以，故A正确；对于B：因为，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B正确；对于C：若事件、相互独立，则，所以，故C正确；对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.故选：D7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论.解答过程：因为函数在上单调递增，当，即时，需满足，解得，所以；当，即时，需满足，即，解得，又，所以,综上，实数的取值范围为.故选：B8.定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C.6 D.答案：B解析：思路：利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得答案.解答过程：因是上的奇函数，则，又由可得，则，故，即4为函数的一个周期.因当时，，则，，又，，，，，，则，，则.故选：B.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.函数与是相同的函数B.函数的最小值为6C.若函数在定义域上为奇函数，则D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为答案：AD解析：思路：根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D.解答过程：对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．由得，所以的定义域为,．又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．对于C,若在定义域上为奇函数，当时，x需要满足，则由奇函数定义域关于原点对称，可得，此时，，为奇函数，所以满足题意；若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意，所以，故C错误，对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，故选：AD．10.若，，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.解答过程：对选项A，，令，得，令，得，所以，故A错误.对选B，因为，所以表示的各项系数之和，令，则，故B正确.对选项C，，所以，故C错误.对选项D，因为，，令，则，则，故D正确.故选：BD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的极小值点B.C.当时，D.函数有5个零点答案：ABD解析：思路：利用导数计算函数的导函数，计算极值即可判定A；利用函数解析式展开化简可判定B；利用函数的单调性及整体思想计算可判定C；利用A、B结论结合函数的单调性、对称性作出函数大致图象，并通过换元法化方程为，确定其根的个数，再利用函数图象令，得出根的情况即可判定D.解答过程：对于A，由，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，故A正确；对于B，易知，故B正确；对于C，当时，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以，所以C错误：对于D中，令，则的根有三个，如图所示，所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，故有5个零点，故D正确．故选:ABD．方法提示：思路点睛：对于三次函数的对称性可利用结论计算；函数的迭代问题可利用换元法处理.三、填空题12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．答案：##0.3解析：思路：根据古典概型计算即可解答过程：解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：13.函数的定义域为______．答案：或．解析：思路：根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解.解答过程：由题知，，即，解得，故函数的定义域为或．故答案为：或．14.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．答案：解析：思路：设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.解答过程：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：四、解答题15.设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为且过点的抛物线的一部分．（1）求函数在上的解析式；（2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象；（3）写出函数的值域和单调区间．答案：(1)(2)见解析（3）见解析解析：解答过程：试题分析：（1）先设抛物线顶点式方程，代入求出开口大小，再根据偶函数性质求在上的解析式；（2）根据描点法画出函数图像，或根据对称性画函数图像（3）根据图像确定最值得函数值域，根据函数图像增减得单调区间试题解析：点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.16.已知关于x的不等式的解集为或.（1）求a，b的值；（2）当，，且满足，求的最小值.答案：（1）（2）8解析：思路：（1）分析可知1和是方程的两个实数根且，方法一：利用韦达定理运算求解；方法二：由1是的根可得，代入求解即可；（2）根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.（1）因为不等式的解集为或，可知1和是方程的两个实数根且，方法一：可得，解得；方法二：由1是的根，则，解得，将代入得，解得或，所以.（2）由（1）知，可得，且，，可得，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为8.17.疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为优秀．（1）求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数；（2）从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数．求X的分布列和数学期望．答案：（1）30（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据直方图可得相应的频率，从而可求相应的人数.（2）根据（1）的频率可求10人数学成绩优秀的人数，再根据超几何分布可求的分布列，最后根据公式可求期望.（1）由直方图可得数学成绩大于120的频率为，故数学成绩大于120的人数为人.（2）利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，其中共有6人数学成绩达到优秀，而可取，，，，，故的分布列如下：0123.18.已知函数，且.（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；（2）证明：函数是奇函数；（3）若，求实数的取值范围.答案：（1）2，在上为增函数；（2）由（1）知定义域为.对任意，都有.所以函数是奇函数；（3）（，1）.解析：思路：（1）由，代入解析式，解方程求出的值，利用指数函数的单调性即可求解.（2）利用函数的奇偶性定义即可判断.（3）利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数为增函数可得，解不等式即可求解.解答过程：（1）因为，所以，即，因为，所以.函数在上为增函数.（2）略（3）不等式等价于，因为函数是奇函数，所以，又因为函数在上为增函数，所以，即.解得.所以实数的取值范围为（，1）.方法提示：本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.已知函数，.（1）若的极大