象棋残局中的数学文化

象棋残局中数学文化1第1页第一章概述第四节数学语言及数学应用2第2页一、数学语言

语言是表示思想，是人类相互交流工具。数学语言则是人们进行数学表示和数学交流工具。3第3页1．自然语言与数学语言

1）自然语言是详细语言，数学语言是形式化语言中国人说汉语，美国人说英语，这些是自然语言；上海人说上海话，四川人说四川话，广东人说广东话，这些也是自然语言。如同生物界有“濒危物种”一样，自然语言中也有“濒危语言”。下面一个自然段，摘自新华社一则报道。

国际自然及自然资源保护联盟为衡量濒危物种灭绝危险程度，制订了一套国际通用评判标准。英国东英吉利亚大学威廉·萨沙兰德教授别出心裁地用这套标准，对世界上共约6800种语言进行了分类，发觉其中1676种有灭绝危险。4第4页这些让我们形象地了解到，自然语言是详细语言，随民族、地域而有所不一样。数学语言即使要以自然语言作为载体，但它是形式化语言，在形式化方面，不随民族、地域不一样而不一样。数学语言是一个由数学符号、数学术语和经过改造自然语言组成科学语言。语言都是用来描述事物。自然语言能够用来描述事物各个方面，数学语言则主要用来描述事物数量关系、空间形式，以及事物结构、逻辑关系等等。5第5页比如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。假如采取自然语言，需要详细说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但假如采取数学语言，只要写出一个4行6列矩阵，每行表示一个产品，每列表示一个城市，交叉点填上对应发货数量（比如以吨为单位）。所以说，自然语言是详细语言，数学语言是形式化语言。6第6页2）数学语言使科学准确化

以下三段名言，是关于这个小标题很好注释：“数学进入一门科学程度，反应了这门科学成熟程度。”“世界这本大书，是用数学语言写成。”“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述！”7第7页实际上，牛顿用数学语言展示了他三大定律；爱因斯坦用黎曼几何语言阐述了他广义相对论；数学家用群论语言处理了晶体分类问题；经济学家用数学语言表述了经济运行规律。物理中布朗运动成为概率论中语言，生物中遗传基因DNA，原来是数学中双螺旋线，医学上已经出现“数字化人体”概念。

现在，任何一个科学工作者要使自己工作准确化，都必须借助于数学语言。8第8页2.数学语言是人类文明、

宇宙文明共同语言1）数学语言是人类文明共同语言因为数学语言往往需要依靠符号来表示，而世界各国又采取相同数学符号，这就使得数学语言成为人类文明共同语言。比如，对于数学语言（a+b）2=a2+b2+2ab和Sinx2+Cosx2=1表示意思，任何一个民族、任何一个地域人都能明白。

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2）数学语言是宇宙文明共同语言地球上不一样地域人类文明发展到某一阶段时，都各自独立地发觉了“圆周长与直径比是一个常数”，各自独立地发觉了“直角三角形斜边平方等于两条直角边平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，数学语言能够成为宇宙文明共同语言。10第10页上个世纪70年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目标是与可能存在“外星人”取得联络。为了让星外文明了解地球文明，这艘宇宙飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋照片，地球上各种动物、植物、微生物照片，以及各种年纪、性别、民族人类照片；还带去了地球上许多声音，如狂风暴雨声音、森林中鸟鸣声、大海浪涛声，以及不一样民族人类叫“妈妈”声音；同时还带去了刻有下面图形黄金制作（以防锈蚀损毁）图板。

11第11页3．数学语言特点

1）明晰

这含有两个方面意思，一是数学语言是明确，一是数学语言是有条理。

数学语言是准确，是从不含糊，“大于”与“大于等于”涵义，是明确不一样；“都属于集合A”与“有属于集合A”也是明确不一样；“存在左极限”与“存在极限”也是明确不一样。12第12页数学语言又是有条理。一段话叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是有考究；一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有考究。数学语言中必须有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”说成“果”，也不能把此“因”说成彼“因”。13第13页

2）严谨

严谨，是指逻辑推理严格和慎重。它是数学特点之一，也是数学语言特点之一。

首先是定理叙述是严谨。比如算术基本定理叙述为：任一个大于1自然数，都能够被表示为有限个素数（能够重复）乘积，而且假如不计次序话，表法是唯一。这里，“大于1”条件不可少，少了就欠严谨；“有限个”三字不可少，少了就欠严谨；“（能够重复）”注解也不可少，少了就欠严谨；“假如不计次序”假设也不可少，少了就欠严谨。14第14页

其次是推理过程是严谨。

推理步骤怎样，应该表示清楚；每一步理由是什么，也应该表示充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充分”八个字，是击中要害。比如，一个推理原来应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；某一步原来应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。假如某位学生有语言上这种不严谨，其实是反应了他思维上不严谨。15第15页

3）简练

数学语言要求简单洁净。数学语言和自然语言不一样。自然语言允许同义重复，为了描述某一事物美，往往用一大串意义相近词汇或并列语句；为了形容一个人聪明智慧，也常惯用一大串意义相近词汇或并列语句。但数学语言则要求用词最少、不允许同义重复。在数学表示中，当一个语句被另一些语句蕴含着时候，它就是多出，一定要去掉这个语句。假如能够用三句话把意思表示清楚，就最好不要用四句话。假如能够有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少那种方式。16第16页4）规范自然语言当然也有约定俗成规范性；而数学语言则愈加鲜明地表现出“规范”特点。一句话说出来，不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要伴随这个词落实一直，不能再有任何改变。17第17页一些数学语言中惯用词语，都有其特定涵义，长久以来形成了规范。比如“任一个”，“有一个”，“没有”表示是三种不一样意思；“最多”、“最少”、“全都”表示也是三种不一样意思；“必定”，“可能”、“不可能”表示也是三种不一样意思；“开区间”、“闭区间”、“左开右闭区间”表示也是三种不一样意思。再比如，“包含”是用来说明两个集合之间关系，“属于”是用来说明元素与集合之间关系，“包含”与“属于”不能混用。18第18页4．“ε—δ”语言、集合论语言、公理化语言“ε—δ”语言、集合论语言、公理化语言都是在不一样历史时期产生数学语言，他们在数学发展史上都发挥了很大作用。这三种数学语言，我们在“数学发展简史”那一节中已经提及；在以后章节中还会详细介绍。尤其是集合论语言、公理化语言，现在已经成为数学语言关键部分和公用形式，尤其值得重视。19第19页5．重视数学语言训练语言是思维反应。数学语言发展反应了人类理性思维发展，它也是数学对人类文明重大贡献之一。作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法、数学思想学习，同时也应该重视数学语言学习和训练。现在大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立”、“问题得证”等词语大有些人在；其实，对应规范数学语言应该是“等式成立”和“命题得证”。20第20页语言功夫，依赖仔细推敲及重复训练。数学语言训练，包含口头表示和书面表示两种形式，希望大家自觉地加强训练数学语言意识。口头表示训练，能够经过同学间讨论问题、课堂讲话、课堂汇报来进行；书面表示训练，主要经过认真完成数学作业来进行，也能够经过撰写读书汇报和撰写小论文来进行。善于熟练地用明晰、严谨、简练、规范数学语言进行正确口头表示和书面表示，是数学能力主要方面，也是数学素养主要方面。21第21页二、数学应用我们在第一节中谈到“数学特点”时，曾经说到数学“应用广泛性”。现在，将以更多篇幅来谈“数学应用”。关于这个话题，现有过正面经验，也有过反面教训。22第22页1.功利主义和实用主义教训关于数学“用处”讨论，曾经有过许多波折和重复。有些人讨论数学到底有多大“用处”，有些人讨论哪些数学“真正”有“用处”，有些人讨论哪些数学没有“用处”，有些人曾因说“我们当前研究这个数学分支可能200年内没有实际应用”而受到严厉批判，有些人以“理论起源于实际”为武器对研究纯粹数学数学家横加指责。23第23页数学确实是处理许多实际问题工具，不过，数学之作为工具，与斧子能够用来砍柴之作为工具是不一样。在制造斧子时候，就是以砍柴功用为目标，所以，生产斧子能够赢利。可是，在研究数学时候，未必知道这种数学实际作用何在。在不重视基础数学时代，有些曾经被列为“没有实际用处”数学，当突然被发觉能够处理重大问题时，才被从“冷宫”中解放出来。“早知如此，何须当初”，那时有些人总在吃后悔药。24第24页其实，假如完全从实用主义角度对待数学，那么根本不需要研究无理数；因为有理数在生活实践中就已经够用了。你可能会去买二斤饼干或者半斤饼干；你恐怕不会要求售货员给你称斤饼干。体检中给你测量身高时，统计也总是一个有理数。不过现在我们知道，无理数发觉，造成了数学史上重大进步。关于“哪些数学有用”及数学怎样“理论联络实际”讨论，最近这些年即使不那么激烈了，不过，历史经验值得注意，难保历史不会有类似重演。25第25页2．介绍一些说法近些年，人们越来越深刻地认识到数学“有用”。下面摘录，是相关“数学有用”一些说法。这些说法，都不是某一个人说法，而是许多学者讨论结果。26第26页上个世纪90年代初，中国科学院数学物理学部有一个“今日数学及其应用”课题汇报，其中说：

“数学贡献在于对整个科学技术（尤其是高新技术）水平推进与提升，对科技人才培养和滋润，对经济建设繁荣，对全体人民科学思维与文化素质培育。这四方面作用是极为巨大，也是其它学科所不能比拟。”27第27页

本世纪初年，教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”在“数学学科专业发展战略研究汇报”中写道：恩格斯曾说过：“数学应用：在刚体力学中是绝正确，在气体力学中是近似，在液体力学中就已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性和相正确；在化学中是最简单一次方程式；在生物学中等于零”。不过，在当今高科技时代，自然科学和社会科学各领域研究进入到了更深层次和更广范围；在这些研究中数学利用是十分普遍，而且往往是实质性，数学与自然科学和社会科学关系从来没有像今天这么亲密。许多一度被认为没有应用价值抽象数学概念和理论，出人意料地找到了它们应用。恩格斯当年描述情况早已成为历史。我们略举若干事实，说明数学在多方面渗透和应用。28第28页——数学许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到自然科学各个领域中去。美国自然科学基金会最近指出：当代自然科学研究正在日益展现出数学化趋势。——不论是电子计算机创造还是它广泛使用，都是以数学为基础。在电子计算机创造史上，里程碑式人物图灵（A．Turing，1912—1954）和冯·诺依曼（Johu．vonNeumann，1903—1957）都是数学家；而在当今计算机重大应用中也无不包含着数学。因而，美国国家研究委员会在一份汇报中把数学与能源、材料等并列为必须优先发展基础研究领域。29第29页——高科技往往在本质上是一个数学技术。实际上，从医学上CT技术到印刷排版自动化，从飞行器模拟设计到指纹识别，从石油地震勘探数据处理到信息安全技术等等，在形形色色技术背后，数学都饰演着十分主要角色，经常成为处理问题关键。——数学已经广泛地深入到社会科学各个领域。比如，用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学伎俩进行社会和市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资，等等，在许多国家已被广泛采取，在我国也开始受到重视。在经济与金融理论研究上，数学地位愈加特殊。在诺贝尔经济学奖取得者当中，数学家或有研究数学经历经济学家占了二分之一以上。30第30页总之，数学在当代科技、文化、社会、经济和国防等很多领域中特殊地位是不可忽略。发展数学科学，是推进我国科学研究和技术发展，保障我国在各个主要领域中可连续发展战略需要。31第31页所以，不应实用主义地了解数学“用处”。

数学有广泛用途，但那不一样于普通工具“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。

32第32页数学对人类文明贡献（例一）万有引力定律。基于开普勒行星运动三大定律，牛顿发觉了万有引力定律。他把其最主要著作命名为《自然哲学数学原理》，是因为他发觉新宇宙思维方式是数学思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”知识和非常复杂几何知识与技巧。有兴趣同学能够阅读这本书。33第33页数学对人类文明贡献（例二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学重大变革，其关键内容是时空观改变。爱因斯坦时空观认为时间和空间是相互联络。四维空间洛仑兹变换是这种数学模型表现形式。34第34页数学对人类文明贡献（例三）电磁波发觉。英国物理学家麦克斯韦概括了由试验建立起来电磁现象规律，把这些规律表述为“方程形式”，用纯粹数学方法推导出可能存在着电磁波而且这些电磁波应该以光速传输者。据此，他提出了光电磁理论。另外，他结论还推进了人们去寻找纯电起源电磁波。35第35页数学对人类文明贡献（例四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时数学规律。该研究结果将对工程学泡沫材料设计、生物学组织结构研究以及物理学晶体颗粒排列探测产生深远影响，相关论文发表在年4月26日《自然》杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后驱动力都是表面张力，气泡改变，取决于表面总曲率

）

36第36页数学对人类文明贡献（例五）神州六号升空，宣告了我国含有制造和发射航天飞机能力。在神舟六号研制过程中，数学起了不可替换了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。37第37页数学对人类文明贡献（例六）1973年，美国芝加哥大学学者f·布莱克与m·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型（black-scholesoptionpricingmodel），对股票期权定价作了详细讨论。今后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推进了期权定价理论研究。该模型中用到很多数学知识。他们也所以取得了1997年Nobel经济学奖。（上图为Merton，哈佛大学；下列图为Scholes，芝加哥大学。）38第38页39第39页

2．数学应用经常是难以预料1）素数在密码学中应用2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中应用3）黎曼几何在广义相对论中应用4）陈省身纤维丛理论在杨振宁规范场理论中应用5）正电子、黑洞与电磁场发觉诺贝尔物理学奖取得者温伯格(S•Weinberg)曾无可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发觉在他之前数学家已经得到了。”40第40页3．数学应用经常是难以预料数学起源于人类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相正确独立性和稳定性。尤其是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量主要问题，在相当大程度上吸引了数学家兴趣。比如，对欧几里得平行线公设讨论，完全来自理论数学内部动力。这一讨论时冷时热连续了两千年，即使许多数学家在试图证实这一公设努力中失败了，但它最终造成了意义重大非欧几何诞生。41第41页所以，推进数学发展动力，除了有实践及其它学科需要和工程技术需要这种来自数学外部动力外，还有来自数学内部巨大动力。数学工作者经常对数学理论中某一部分产生极大兴趣，并经过对数学内部提出问题研究，发展和完善数学理论。这么产生数学理论，往往离现实需要和实际应用相当遥远；有几十年，有几百年，有几千年才发觉它们应用。42第42页理论数学应用往往是当初难以预料。

下面举几个这方面例子。1）古希腊素数理论在密码学中应用上节中曾经介绍过古希腊对素数研究，那是早在公元前三、四百年事情了。从那时以来两千多年，它已经发展成“数论”这么一个主要数学分支；但长久以来都没有发觉数论在生产、生活实践中应用；不过，这并没有减低数学家研究素数兴趣。数论看起来是那么远离实际，以至于著名英国数学家哈代（GodfreyHaroldHardy，1877－1947）在20世纪前期甚至说过，“数论不会在实践中有用”。但就在今后很快，人们开发了素数理论在密码学中应用。这一应用初步原理及重大意义，上节中已经叙述。43第43页

2）阿波罗尼奥斯圆锥曲线论在开普勒三定律中应用“数学发展简史”一节中提到，在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已经相关于圆锥曲线大量研究。不过，圆锥曲线真正有价值应用，是17世纪发觉开普勒三定律，用椭圆来描述行星运动规律。这开创了人类研究太阳系行星运动规律新纪元。44第44页

3）黎曼几何在广义相对论中应用非欧几何在19世纪出现以后，即使一些有远见数学家预言它们会有用，但长久以来人们应用欧氏几何传统习惯，使大多数人对非欧几何敬而远之、束之高阁。直到爱因斯坦创建广义相对论，这种局面才有了根本改观。爱因斯坦1905年创建狭义相对论后很快，就有了广义相对论思想萌芽。不过他缺乏适当语言去描述和发展这种思想。他一位数学家朋友听说后，劝他学习黎曼几何，说黎曼几何中思想与他想法有许多共同点。爱因斯坦花了四年时间，认真地学习黎曼几何，以后果然用黎曼几何语言创建和表述了广义相对论。

45第45页广义相对论不像当初非欧几何那样难以捉摸，它是对大范围客观世界描述，能够用试验和观察去检验。水星“进动”和光线在大质量物体附近“弯曲”两个事实，证实了广义相对论是正确，同时也就表明黎曼几何有用，非欧几何有用。在此之前，世界上没有几个人真正知道黎曼几何；在此之后，数学界和物理学界纷纷办起了黎曼几何“学习班”；现在，黎曼几何已经成为硕士一门课程。46第46页

4）陈省身纤维丛理论在杨振宁规范场理论中应用诺贝尔物理学奖得主杨振宁在与数学家陈省身先生交谈时，发觉他自己创建规范场理论，就是陈省身纤维丛理论在物理上应用，他非常吃惊：数学家在完全不了解物理背景情况下，竟然从数学理论内部发展出一整套抽象纤维丛理论，而这套理论一个应用就是他自己规范场理论。这与另一位诺贝尔物理学奖得主温伯格(S•Weinberg)感叹如出一辙：“当一个物理学家得到一个思想时，然后却发觉在他之前数学家已经发觉了。”47第47页

5）伽罗瓦群论在守恒定律和晶体结构中应用19世纪早期，伽罗瓦从理论研究兴趣出发，在研究“五次方程根式解”问题过程中创造群论，深刻揭示了现实世界对称性。过了一百年，群论成为物理学家统一能量守恒定律、动量守恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律基本工具，成为认识晶体结构基本方法，以至成为研究量子论基本工具。现在