项目二两个重要极限

两个重要极限职业本科数学教学课件授课教师：XXX|日期：2026年3月目录教学目标与重难点思政融入专业应用场景第一个重要极限第二个重要极限知识方法梳理例题精讲课堂小结课后作业教学目标与重难点教学目的掌握利用两个重要极限求极限的方法，建立极限求解的核心思维框架。教学重点熟练运用两个重要极限公式进行极限求解，准确识别适用场景。教学难点掌握第二重要极限的应用，重点突破“1∞”型未定式的识别与变形技巧。思政融入：极限思想的哲学内涵对立统一揭示了变量与常量、无限与有限、近似与精确的对立统一关系，是唯物辩证法在数学中的生动体现。量变与质变从“割圆术”到“瞬时速度”，极限过程展示了量变积累到一定程度会引发质变的哲学规律。追求真理的精神极限的“无限逼近”过程，体现了人类对客观世界精确认知的不懈追求和严谨的科学态度。创新思维极限思想教会我们从有限认识无限，从“不变”认识“变”，培养突破常规的创新思维。核心启示：学习数学不仅是掌握计算工具，更是培养一种辩证的思维方式和严谨的科学精神。专业应用场景物理领域•分析简谐振动、单摆运动的周期和频率•计算机图形学中优化三角函数计算，提升渲染效率金融领域•连续复利计算的数学基础•支撑期权、期货等金融衍生品的定价模型（如Black-Scholes模型）工程与AI•自动控制与机器人轨迹跟踪的核心，确保误差收敛•AI模型训练中损失函数迭代至极限最小值，实现优化总结：极限思想不仅是数学概念，更是连接理论与实践、推动科技进步的关键思维工具。一、第一个重要极限从三角函数出发，探索极限的核心奥秘第一个重要极限的定义与几何意义

当x趋近于0时，sinx除以x的极限等于1几何意义解析

图：单位圆中的三角函数线与角度关系第一个重要极限的推广形式与结构特点推广形式当Δ趋近于0时，sinΔ除以Δ的极限等于1无论括号内的Δ代表什么函数，只要Δ整体趋近于0，极限值恒为1。结构特点1.0/0型未定式当自变量趋近于某值时，分子分母都必须趋近于0。2.对应关系一致性正弦符号后面的函数必须与分母上的函数完全相同。典型示例(Examples)

需变形：(需凑出分母为2x)第一个重要极限的例题讲解（一）例题1：求解：例题2：求解：

第一个重要极限的例题讲解（二）例题③：利用三角恒等式

例题④：利用变量替换

核心思路：将待求极限转化为重要极限的标准形式，注意变量替换的等价性。第一个重要极限的例题讲解（三）

二、第二个重要极限核心公式与自然常数e

应用场景：增长与衰减该极限模型广泛应用于复利计算、人口增长模型以及放射性物质的衰变过程分析。指数增长模型从离散到连续

揭示自然规律的数学之美第二个重要极限的定义与数值验证

数值验证：函数值随x增大逼近ex(自变量)1010010002.59372.70482.716910000...∞2.7181...e结论：随着x取值的不断增大，函数值越来越接近自然常数e，验证了极限公式的正确性。重要极限的推广形式与结构特点推广形式公式当Δ趋近于0时，(1+Δ)的1/Δ次方的极限等于e

底数：1+无穷小(Δ)指数：无穷大(1/Δ)，且与底数中的无穷小互为倒数记忆与计算技巧(1+无穷小)的无穷大次方=e的(无穷小×无穷大)次方核心思想：将极限转化为以e为底的指数函数，利用等价无穷小替换简化计算第二个重要极限是连续复利计算模型的核心，而该模型广泛应用于Black-Scholes（布莱克-斯科尔斯）期权定价模型（读者可查有关资料了解这方面的内容）第二个重要极限的例题讲解（一）

例题②：求极限

第二个重要极限的例题讲解（二）例题③求极限：解：例题④求极限：当n趋近于无穷大时，()的(n+3)次方解：

第二个重要极限的例题讲解（三）

解：

另外，可用此极限求得知识方法梳理例1：求下列函数极限

例2：利用第二类重要极限求极限

课堂小结与课后作业课堂小结掌握了两个重要极限的公式、几何意义（第一个）和推广形式。理解了两个重要极限的结构特点（0/0型和1^∞型）。学会了运用两个重要极限求解各类函数极限的方法和技