项目四：函数的单调性与极值

函数的单调性与极值高等数学核心概念及其应用授课对象职业本科学生授课教师[教师姓名]授课日期2026年6月教学目标知识目标深刻理解函数单调性与极值的核心概念，熟练掌握利用一阶导数判断单调性、求解单调区间的方法，以及运用导数步骤精准求解函数极值。能力目标运用单调性证明简单不等式，结合极值理论分析解决实际优化问题，初步建立数学建模思想，切实提升逻辑推理与数形结合的综合思维能力。素养目标在解决实际问题中涵养精益求精的工匠精神，感悟“量变引起质变”的辩证思想，逐步形成严谨求实、一丝不苟的科学态度与治学精神。核心宗旨：以知识学习为基础，以能力培养为核心，以素养提升为导向，实现数学知识、应用能力与科学精神的有机统一。课程目录01.温故知新回顾导数的几何意义，为理解函数性质与导数的关系打下坚实基础。02.情境引入从生活中的优化实例出发，感受导数在解决实际问题中的工具价值。06.学以致用通过典型应用场景分析与随堂练习，巩固新知，提升解题能力。03.探索新知一：单调性深入探究函数单调性与导数符号的内在联系，掌握单调区间的求法，并学会利用导数证明简单的不等式，构建严谨的逻辑体系。04.探索新知二：极值剖析函数极值的概念与判定定理，归纳求函数极值的核心步骤，体会导数在研究函数局部性质中的关键作用。05.归纳总结系统梳理本节课的核心知识点，对比单调性与极值的研究方法，引导反思导数工具在函数研究中的系统性与普适性。07.课后巩固通过分层作业布置，强化对导数应用的理解，拓展思维深度，为后续学习函数的最值与实际应用做好铺垫。温故知新-导数的几何意义

“上坡”的切线当切线呈现上升趋势时，斜率为正数(+)，此时函数在该点附近单调递增。“下坡”的切线当切线呈现下降趋势时，斜率为负数(-)，此时函数在该点附近单调递减。水平的切线当切线水平时，斜率为零(0)，此时函数在该点可能取得极值（极大或极小值）。核心结论：导数的符号直接反映了函数图像在某点附近的“走势”。导数的正负性是我们判断函数单调性、进而研究函数极值与最值的核心数学工具。情境引入-身边的优化问题如何做到“最好”？——生活中无处不在的极值思考工业制造工厂生产产品时，如何确定生产数量，才能平衡投入与产出，实现成本最低？这是典型的产量与成本函数分析，寻找函数最低点的过程。包装设计设计圆柱形易拉罐时，怎样选择底面半径和高度，才能在容积固定时用料最省？转化为数学语言，即求表面积函数在体积约束下的最小值点。商业策略无论是电商定价还是火箭发射，都需要找到效率与消耗的平衡点，实现效益最优。通过建立利润或能耗的函数模型，分析其变化趋势，锁定关键的极值点。核心洞察：这些生活中的“最优化”问题，在数学上都可归结为求函数的最大值或最小值问题。而解决这类问题的关键，就在于深入研究函数的极值，即函数在某一点附近的局部最值特征。探索新知一-单调性与导数的关系直观来看，函数图像的“上坡”与“下坡”趋势，与曲线上各点切线的斜率（即导数）符号一一对应。导数的正负直接反映了函数值随自变量变化的增减方向。函数增减与导数符号的直观联系

定理4-5：单调性判定定理

特别注意：个别点导数为零不影响整体单调性

探索新知一-单调区间的求法

核心问题：寻找“转折点”

一个复杂的函数往往兼具增区间与减区间，那么这些增减变化的分界点究竟出现在哪里？这是我们划分单调区间的关键。1.驻点

2.不可导点

关键结论：函数的单调区间，本质上是由其驻点和不可导点共同划分的。找到这两类点，是求解单调区间的第一步。探索新知一-求单调区间的步骤01确定定义域明确函数的研究范围，这是进行后续所有分析的基础，确保在定义域内讨论导数的符号与函数单调性。02求导找点

03划分区间，判断符号

04写出结论

01.确定函数定义域函数表达式为多项式函数，多项式函数的定义域为全体实数，即定义域为(-∞,+∞)。02.求导函数，找临界点

03.划分区间，判断导数符号

04.总结单调性结论单调递增区间：(-∞,1)和(3,+∞)。单调递减区间：(1,3)。例题讲解-例2（应用拓展）

01.构造辅助函数并分析初始值

02.利用单调性推导结论

数学之美与科学精神：通过严谨的逻辑推导，将抽象的不等式问题转化为直观的函数单调性问题，不仅高效解决了证明难题，更让我们直观感受数学逻辑的严密性与工具的强大威力，在推导中培养严谨求实、理性思考的科学素养。探索新知二-极值的概念函数图像中，“山峰”的顶端对应极大值点，“山谷”的底部对应极小值点。通过图像我们可以直观地看到，极值反映的是函数在局部范围内的最高或最低点。01.直观认知：山峰与山谷

02.数学定义：邻域中的最值

03.关键辨析：局部与相对

探索新知二-极值的判定

关键解读可导函数的极值点一定是驻点（导数为0的点）。这为我们寻找极值点划定了初步范围。特别注意

重要补充

结论：函数的极值点只可能在驻点或不可导点中产生。我们只需要从这两类候选点中进一步筛选验证即可。探索新知二-极值判定第一充分条件

01.左增右减，得极大值

02.左减右增，得极小值

03.左右同号，非极值

核心总结：判定极值的关键是“变号”，导数由正变负为极大，由负变正为极小，不变号则非极值。探索新知二-求函数极值的步骤01.确定定义域，求导数

02.求函数的候选点

03.列表判别极值类型

04.计算并求出极值

例题讲解-例3

01.确定定义域函数为多项式函数，定义域为全体实数，即D=(-∞,+∞)。

01.确定函数定义域函数表达式为多项式函数，多项式函数的定义域为全体实数，即定义域为(-∞,+∞)。02.求导函数，找临界点

03.划分区间，判断导数符号

04.总结单调性结论

探索新知三-极值判定第二充分条件

核心总结：判定极值的关键是“变号”，导数由正变负为极大，由负变正为极小，不变号则非极值。学以致用-应用场景01.机械设计：凸轮轮廓优化问题核心是设计曲线让从动杆速度变化平稳。通过研究位移函数的一阶导数（速度）和二阶导数（加速度），精确控制加速度极值，从而消除机械冲击，提升设备运行的稳定性与寿命。02.市场营销：利润最大化定价构建利润函数L(p)=p·Q(p)-C(Q(p))，其中p为价格，Q为销量，C为成本。利用极值求解方法，找到利润函数的临界点，从而确定能实现总利润最大化的最优商品定价策略。03.土木工程：蓄水池造价控制在蓄水池容积固定的约束条件下，设定长、宽、高为变量，建立总造价的目标函数。通过求函数的极小值，确定各尺寸的最优比例，从而在满足使用需求的前提下实现工程成本的最低化。随堂练习-小试牛刀01.求函数的单调区间与极值

02.寻找函数的极值点

动笔计算提示：先求导找临界点（驻点+不可导点），再判断临界点左右导数符号，确定单调与极值。归纳总结-知识梳理01函数的单调性判定方法：利用一阶导数的符号判断，若f'(x)>0，则函数单调递增；若f'(x)<0，则函数单调递减。单调区间：函数的单调区间通常由其驻点（导数为0的点）和不可导点作为分界点来划分。02函数的极值基本定义：极值是函数的局部性质，包含局部的最大值（极大值）和局部的最小值（极小值）。求解步骤：先找出驻点和不可导点作为候选点，再利用第一充分条件，通过判断候选点两侧导数的符号变化来确定是否为极值点。03核心思想：数形结合以形助数，以数解形。导数的符号不仅是抽象的代数概念，更直观反映了函数图像的升降变化趋势；函数图像的形态也能帮助我们更深刻地理解导数的几何意义与应用。本课小结：单调性与极值是导数应用的基石。掌握导数符号与函数图像的对应关系，能让我们更高效地分析和解决复杂的函数问题，是高等数学中分析函数性态的关键工具。教学反思-思考与延伸01.全局最值的探寻我们所学的极值是函数的“局部”性质。那么在闭区间[a,b]上，如何确定函数的“全局”最大值与最小值呢？提示：不仅要考察区间内部的所有极值点，还必须比较区间两个端点的函数值f(a)和f(b)，再从中筛选出最大与最小值。02.导数与极值的辩证思考两个逻辑问题：导数为零的点一定是极值点吗？反过来，导数不为零的点一定不是极值点吗？辨析：导数为零只是极值点的必要不充分条件（如y=x³在x=0处）；而若某点导数存在且不为零，则该点一定不是极值点。03.单调性的转折本质函数的单调性与极值之间存在着紧密的内在联系。极值点，其实就是函数单调性发生改变的临界点。理解：当函数在某点左侧递增、右侧递减时，该点为极大值点；反之则为极小值点。单调性的变化是判断极值的核心依据。核心启示：数学学习不仅是掌握解题方法，更要深入理解概念的本质，建立知识间的逻辑关联，学会用辩证的思维分析问题。课后巩固-作业布置基础巩固习题4.3：第1、2