项目五：分部积分法

分部积分法化繁为简的积分利器职业本科高等数学教学课件·核心方法专题解析教学目标01理解思想深刻理解分部积分法的推导过程，厘清其与乘积求导法则的内在联系，透彻掌握核心数学思想——“转化与化归”，学会将复杂积分问题转化为更易求解的形式。02掌握公式

03熟练应用根据被积函数的结构特点，灵活运用“LIATE”等选择原则正确拆分u和dv，能够独立且熟练地运用分部积分法求解各类典型的不定积分问题，提升解题的准确性与效率。核心宗旨：以“转化与化归”为统领，夯实公式基础，强化实际应用，建立系统的积分运算思维体系。教学目标01能力目标分析能力：能够剖析被积函数的结构特征，准确判断分部积分法的适用时机与拆分策略，建立清晰的解题思路框架。运算能力：熟练掌握不定积分的计算技巧，高效处理幂函数、指数函数、三角函数等不同类型函数乘积形式的积分运算。迁移能力：厘清分部积分法与换元积分法的联系和差异，能根据问题的具体特点，灵活选择并综合运用最优的解题方法。02素养目标科学精神：回溯分部积分法的创立背景与发展历程，感悟数学家们勇于探索未知、敢于质疑、严谨求证的科学精神与理性光辉。数学思想：在解题过程中体会“转化与化归”将复杂问题简单化，以及“对立统一”等辩证思维在数学问题解决中的核心作用。工匠精神：在选取u和dv的关键步骤中，培养严谨细致、反复推敲、精益求精的治学态度，涵养扎实专注的科学素养。课程目录01.温故知新回顾已学的积分知识，建立新旧知识的联系，实现承前启后的自然过渡，为新知识的学习奠定基础。02.情境引入通过具体的实际问题或数学难题提出疑问，创设学习情境，激发学生的好奇心与主动探索的思考欲望。03.探索新知引导学生自主推导分部积分公式，剖析公式的结构特征与适用条件，在推导过程中深刻掌握核心知识。04.思政引领挖掘数学知识中蕴含的哲学思想与科学精神，将思政元素融入教学，提升学生的学科素养与综合品格。05.实战演练精选典型例题进行详细讲解，归纳解题步骤与技巧，让学生在实际应用中巩固分部积分法的使用规则。06.随堂练习通过即时的课堂练习，检验学生对知识点的掌握程度，及时发现问题并纠正，强化对解题方法的理解。07.归纳总结系统梳理本节课的核心知识点、公式与解题方法，帮助学生构建完整的知识体系，形成清晰的认知框架。08.反思升华引导学生反思解题过程中的思路与误区，拓展思维深度，体会数学方法的灵活性与严谨性，提升思维能力。09.课后作业布置分层作业与拓展题目，让学生在课后进一步巩固知识，延伸学习内容，培养自主学习与探究能力。温故知新：回顾旧知，承前启后01.回顾：复合函数求导法则

02.回顾：不定积分的换元法

思考：我们已经熟练掌握了换元法来求解不定积分，但在实际应用中，是否所有的积分问题都能通过换元法顺利解决？是否存在换元法难以处理的积分形式？情境引入：一个“棘手”的积分

思路探索：换元法的局限

问题本质：不同函数类型的乘积当被积函数是两种不同类型基本初等函数的乘积（如幂函数×三角函数、幂函数×指数函数等）时，换元积分法往往难以奏效。这就需要我们引入一种针对此类乘积形式的新方法。解决方案：为解决这类问题，我们需要学习新的积分方法——分部积分法探索新知：启发式推导01.从已知出发：乘积微分法则我们已经熟知两个可导函数乘积的微分运算法则，这是微积分中最基础的公式之一，也是分部积分法的源头。

02.移项变形：调整等式结构

03.两边积分：揭示分部积分公式对变形后的等式两边同时求不定积分，利用积分的线性性质，我们就推导出了重要的分部积分公式。

核心逻辑：分部积分法并非孤立的新知识，而是乘积微分法则的逆运算与变形。通过“微分-移项-积分”的三步推导，我们将复杂的积分问题转化为了另一种可能更易求解的形式。探索新知：分部积分公式诞生！

∫udv=uv-∫vdu

uv：已明确的“已知”部分这是公式中已经求出的确定部分，是将微分还原为原函数乘积形式后得到的直观结果，无需再进行积分运算。

思政引领：挖掘内涵，提升素养01.数学思想的智慧：转化与化归分部积分法的核心本质，是数学中极具智慧的“化繁为简，化未知为已知”。面对复杂的积分问题，它教会我们不被表象的繁复所困，而是主动寻找问题与已知简单模型之间的内在联系。这种“转化与化归”的思想，不仅是解题的技巧，更是一种面对困难时的思维方式：通过合理的拆解与重组，将陌生的难题转化为熟悉的情境，从而在探索中找到解决之道，培养我们辩证的思维素养。02.科学精神的传承：巨匠的探索微积分的创立是科学史上的里程碑，凝聚了牛顿与莱布尼茨超越时代的洞察力与不懈探索精神。分部积分法作为微积分的重要工具，见证了他们对真理的执着追求。我们在学习中，不仅要掌握公式，更要传承这种勇于突破、严谨求证、敢于创新的科学精神。03.工匠精神的体现：严谨与抉择分部积分法的成败，往往取决于对u和dv的精准选择——一次草率的决定可能让问题陷入更深的复杂。这正如工匠打磨精密仪器，要求我们具备“严谨细致、精益求精”的工匠精神，在每一步分析中审慎思考、反复推敲，在细微的抉择中践行认真负责的态度。

实战演练：【例1】续第二步：分步计算与结果整理

原则一：v的可解性优先

原则二：积分复杂度递减

经验总结：常见类型的u选择类型一：幂函数×三角函数/指数函数

类型二：幂函数×对数函数/反三角函数

实战演练：分部积分法典型例题

分析：被积函数为幂函数与指数函数的乘积，根据“反对幂指三”的优先级，选择幂函数为u，即设u=x。

💡核心思路：遇“单一”函数积分可补1凑成乘积形式；严格遵循“反对幂指三”的u选取优先级，简化计算过程。

01.题型核心分析被积函数为指数函数与三角函数的乘积，无法直接凑微分，需连续两次应用分部积分法构建方程求解。

02.第一次分部积分展开合理设元，分离出已积项，得到包含新积分的表达式，为后续循环做铺垫。

03.循环构建与方程求解对余项再次分部积分后，原积分I重现，将其视为未知数解一元一次方程即可。

随堂练习：即时巩固

练习01

练习02

练习03

随堂练习：挑战升级工程与物理领域的计算中，积分运算是分析复杂模型的基础工具。分部积分法与换元法的综合运用，是解决非初等函数积分问题的关键策略。题目04：幂函数与指数函数的乘积积分

题目05：换元法与分部积分的综合应用

归纳总结：知识梳理

01拆·拆分函数

02选·确定u(x)遵循“反、对、幂、三、指”的优先级顺序选择u。排在前面的函数优先选作u，可使后续积分更易求解。03凑·凑出v(x)

04判·检验简化

场景一：两类函数乘积被积函数是反、对、幂、三、指中两种不同类型基本初等函数的乘积形式。场景二：单一特殊函数被积函数为单一的对数函数（如lnx）或反三角函数（如arcsinx），需将dx视为dv。场景三：循环解出积分被积函数是指数函数与三角函数的乘积，需通过两次分部积分后“循环”解出原积分。反思升华：深化理解方法之辩：异同与联系▍核心共性：转化思想二者均为求解不定积分的基本方法，核心思路都是通过某种数学变换，将未知的、复杂的积分问题转化为已知的、简单的积分形式。▍路径分野：形式与分部换元法侧重变量替换以简化函数结构；分部积分法则聚焦乘积项的“分部”操作，通过求导与积分的配合实现化简。关键抉择：u与dv的选取▍成败的核心：策略导向恰当的选取能让积分“化繁为简”，顺利求解；而不当的选取则会“化简为繁”，甚至陷入循环。这一过程充分体现了数学中“策略选择”与“路径优化”的重要性。“LIATE”法则虽为经验总结，但本质是对“求导简化”与“积分可行”的平衡考量，是数学优化思想的具体实践。思想内核：数学的哲学观▍对立统一：相互转化u与dv的地位并非绝对，在求导与积分的运算中，二者的角色可以相互转化，体现了矛盾双方在一定条件下相互依存、相互转化的辩证关系。▍量变质变：积微成著通过多次分部积分逐步降低幂次，使复杂问题在连续的量变积累中，最终实现从“难”到“易”的质的飞跃。课后作业：拓展延伸01基础巩固题目1：计算不定积分∫x·cos(2x)dx，熟练掌握三角函数与幂函数乘积的分部积分技巧。题目2&3：依次求解∫(x-1)eˣdx与∫x·arctan(x)dx，体会指数函数、反三角函数的分部积分处理逻辑。02进阶提升题目4：计算∫x³·ln(x)dx。对于幂函数与对数函数的乘积，优先选择对数函数作为u(x)进行分部积分。题目5（提示）：尝试求解∫sin(lnx)dx。建议先通过换元法简化被积函