高考数学总复习 计数原理 排列与组合

专题九计数原理

9.1计数原理、排列与组合

高考新风向•创新考法思维引导回归本质

（2024新课标H,14,5分，也）在下图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有

一个力格被选中,则共有种选法.在所有符合上述要求的选法中，选中力格中的4

个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

创新点本题以4x4方格为背景进行命制，考查科学分步的逻辑思维能力，以及对实斥问

题进行表征分析和提炼数量关系的数学建模素养，需要用分步乘法计数原理将一个复杂

问题的解决过程分解为若干“步骤”，先分析每个步骤，再组合为一个完整的过程，常用的排

列组合的方法对本题不适用，学习过程中要注意掌握原理的本质.

答案24；112

五年高考

考点1两个计数原理

1.（2023新课标〃,3,5分，易）某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随

机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和

高中部分别有400名和200名学牛，则不同的抽样结果共有（）

A.C/0,C至0种B.C400,C羽o种

C.C温,•08。种。以80・馥80种

答案D

2.（2023全国乙理,7,5分，中）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选

读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

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A.30种B.60种

C.120种D.240种

答案C

3.（2023新课标//3,5分，易）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学

生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案

共有种（用数字作答）.

答案64

考点2排列与组合

1.（2022新高考H55分，易）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种R.24种C.36种D.48种

答案B

2.（2020新高考1,3,5分，易）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去I个

场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

答案C

3.（2023全国甲理,9,5分，中）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星

期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安

排方式共有（）

A.120种B.60种C.30种D.20种

答案B

4.（2021全国乙理,6,5分，中）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球

和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者,

则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

答案C

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5.（2020课标II理,14,5分，易）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1

个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

答案36

6.（2024上海,10,5分，中）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意

两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为.

答案329

三年模拟

基础强化练

1.（2025届江苏南京六校琰合调研,3）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自

由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（）

A.6B.12C.18D.24

答案A

2.（2025届浙江名校联考,5）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3

棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）

A.20种B.40种C.80种D.160种

答案C

3.（2025届广东深圳中学调研,2）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修

第三语言和第四语言，其中第三语言可从4类语言:日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选■

个,第四语言可从E类语言:法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语中任选一个,则学生可选取

的语言组合数为（）

A.20B.25C.30D.35

答案A

4.（2025届四川成都名校琰考,7）某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选

取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（）

A.420种B.840种C.476种D.896种

答案D

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5.（2025届山西大同调研,5）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计

划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟,古城华严寺、北岳恒山三个景

区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数为

（）

A.360B.640C.1350D.1440

答案C

6.（2025届四川眉山仁寿一中月考,5）下列命题不正确的是（）

A.正十二边形的对角线的条数是54

B.身高各不相同的六位同学，其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种

站法

C.有5个元素的集合的子集共有32个

D.6名同学被邀请参加晚会（至少一人参加），其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去，

共有32种情况

答案D

7.（多选）（2025届广东六校第二次联考⑼现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志

愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则

下列说法正确的是（）

A.不同安排方案的种数为5」

B.若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为C弘々

C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加，见不同安排方案的种数为（髭G+

CjC|）Al

D.若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为以以Ag+

C那

答案BD

8.（2025届江苏无锡玉祁高中月考,14）随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”“莲莲"宸宸”

火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站成一排拍照留念，则这

3个吉祥物互不相邻的排队方法数为.（用数字作答）

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答案144

能力拔高练

1.（2024安徽池州期中,5）我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾

股定理的示意图如图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种

颜色,相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）

A.120B.26C.340D.420

答案D

2.（2025届广东深圳中学开学考,5）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自

己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）

A.6种B.10种C.11种D.12种

答案B

3.（2025届江西上饶检测,7）将123,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第，项为

0（i=12…,7）,若。|<〃2<俏同3>〃4>。5M5<〃6<S,则这样的数列共有（）

A.70个B.71个C.80个D.81个

答案B

4.（2025届河南南阳二中月考,7）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求

相邻两个圆所涂颜色不能相同，旦红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（）

OCXDOC

A.25B.630C.605D.580

答案B

5.（2025届浙江杭州十四中月考,7）现有三对双胞胎共6人排成一排,则有且只有一对双胞

胎相邻的排法种数是（）

A.180B.240C.288D.300

答案C

6.（2025届广东九校9月模拟,4）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等

六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些

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因素影响，甲、乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法

有（）

A.144种B.260种C.320种D.540种

答案B

创新风向练

1.（创新考法）（2025届重庆开学考，14）有一个4行4列的表格,在每一个格中分别填入数字

0或1,使得4行中所填数字之和恰好是1,234各一个,4列中所填数字之和恰好也是

1,234各一个（如图为其中一种填法）,则符合要求的不同填法共有种.

0001

0011

011i

1111

答案576

2.（创新情境）（2025届湖南雅礼中学月考,14）小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒

子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球,规定每次取球可以从某一盒

子中取出任意多颗（至少取I颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少