函数的性质（练习）解析卷-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第7讲函数的性质•分类练习（解析卷）

答案速查表

12345

（1）/（%）在（0,+8）

CDB上单调递减，证明见见解析

解析（2）（p|）

678910

AAAA-2,1]

1112131415

11

C7(o,-]3A

-40乙

74

1617181920

（1）奇函数（2）偶函数

CDDD（3）偶函数（4）非奇非

偶函数（5）偶函数

2122232425

CAA2T-3x2X4052

2627282930

C-1ACA

3132333435

CABABDABD

3637383940

DDCCD

4142434445

BAA7-4

4647484950

5DCCABD

5152535455

BBABDABDA

5657585960

BDACBC

616263

（1）偶函数，证明

见解析（2）单调递ACDACD

增，证明见解析

考点一：函数的单调性

考法1:判断或证明函数的单调性

1.已知函数/(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数与，x2,总有“3-八勺)>0

X2-X1

成立，则函数f(x)一定是()

A.奇函数B.偶函数C增函数D.减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数与,%,总有3辿成立，等价于对于任意两个不相

2义2一勺

等的实数打<外，总有</'(*).所以函数/'(%)一定是增函数.对应选项C.

【点拨】本题考查利用定义判断函数的单调性，将已知条件等价转化为与〈不时/'(修)</。2)是

解题关键.

2,下列函数中，满足“/(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()

A./(%)=%2B./(%)=x3C.f\x)=M1)./(%)=3、

【答案】D

【解析】由于谈-4=Q'+y,所以指数函数/(%)=QX满足/(%+y)=/(x)/(y),且当Q>1时单调

递增，0VQV1时单调递减，所以/(X)=3”满足题意.对应选项D.

【点拨】本题考查指数函数的性质，熟记指数函数的运算性质及单调性即可.

3,函数/。)=|好一3%+2|的单调递增区间是()

A・耳,十8)

8.*］和［2,+8)

C.(-8,l］和仁,2］

D.(-8,号］和［2,+8)

【答案】B

x2—3x+2,%<1

【解析】由y=|7—3%+2|=(—必+3%一'2,l<x<2,画出函数图象，观察图象可知，函

、%2—3%+2,%>2

数的单调递增区间是［1J］和［2,+8).对应选项B.

【点拨】本题考杏含绝对值函数的单调区间的求解，利用分段函数画出图象，数形结合是解题的

有效方法.

4.(2024•泰州海陵区­期中)已知函数/(%)=—3,XE(0,+8).

(1)判断函数/(%)的单调性，并利用定义证明；

(2)若/(2血-1)>f(l一机)，求实数m的取值范围.

【答案】⑴f(x)在(0,+8)上单调递减，证明见解析(2)或»

【解析】(1)析为在(0,+8)上递减，理由如下:

任取%1，%2£(°，+8),且％1<%2，则

尼2)-/(血)=-含+黑=2打(肛+1)-2肛(打+1)_2(xi一血)

(x2+l)(xi+l)(X2+I)(xi+1)'

”1，=2€(°，+8),且勺<%2,

"1-x2<0,(%2+1)(^14-1)>0,

V(X2)-/(Xl)<0,即。%2)</(%1)，

・•./(%)在(0,+8)上递减；

(2)由(1)可知/(功在(0,+8)上递减,

(2m—1>0

由/(2m-1)>/(I一机)，得11一m>0

(2m-1<1—m

12

解得<m<

2-3-

..•实数m的取值范围为最().

【点拨】本题考查利用定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，解即时需注

意函数定义域的限制.

5,设Q>0,QA1,证明：函数0(%)=■是X的增函数(X>0).

【答案】见解析

【解析】当必>>0时，在伯努利不等式定理中取1+z=。4，r=—,0<r<1,

町

则有(1+x)r<1+rx,即有,产<1+久(/2-1),

x2

则有凝1<1+&(谈2-1),从而史工.>《口，

X2x2xi

即0。2)>0(%1).

所以当X>0时，◎(X)是％的增函数.

【点拨】本题考查利用伯努利不等式证明函数的单调性，构造合适的变量代入不等式是解题的关

键.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

6.(2026•安徽江淮十校・4月模拟)已知函数/(x)=Vx+ax—a~x(a>1),若m=

/(-3),P=/G)，Q=/0n3),则()

A,m<p<qB.mVqVpC,q<p<mY),p<q<m

【答案】A

【解析】易知y=正在R上单调递增，y=Q，(Q>1)在R上单调递增，y=—。一”仅>1)在R上单调

递增，

所以/(乃是R上增函数.

因为ln3>Ine=1>|>—3,

所以/W)>心>/(-3),即q>p>m.

对应选项A.

【点拨】本题考查利用函数的单调性比较大小，根据基本初等函数的单调性判断出f(x)的单调性

是解题关键.

Z(2026•安徽黄山•一模)已知/(x)是R上的奇函数，且/(2)=0,若/(》)在(一8,0)

上单调递减，则不等式/(x)>0的解集为()

A.(-co,-2)U(0,2)

B.(-2,2)

C.(—2,0)U(2,+8)

D.(-8,—2)U(2,+00)

【答案】A

【解析】由函数/(乃是??上的奇函数，且f(2)=0,/(%)在(一8,0)上单调递减，

可得函数的图象关于原点对称，/(-2)=0,且/(%)在(0,+8)上单调递减，

函数f(x)的大致图象如图所示：

结合图象可得,不等式/•(%)>0的解集为(-8,-2)U(0,2).

对应选项A.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，根据已知条件画出函数的大致图象，数

形结合是解题的关键.

一和，X<。，

8.(2025•江西三新・3月联考)己知函数/(>)=则不等式/(。2-1)>

/(3)的解集为()

A.(-2,2)

B.(0,+oo)

C.(-oo,0)

D.(-oo,-2)U(2,+oo)

【答案】A

【解析】函数丫=一提j■在(-8,0)上单调递减，y=高■在［0,+8)上单调递减，目.—薪7r=一；,

=p所以/(%)在定义域R上单调递减.

因为/(次-1)>/(3),所以Q2-1<3,解得一2<a<2.

对应选项A.

【点拨】本题考查分段函数的单调性及解函数不等式，判断出函数在R上单调递减是解题的关键.

9.(2026•湖北襄阳第四中学•阶段检测)已知函数/㈤=炉+2、+2$也2(|+三)+5,

且/'(《2-2。+/(-3t+4)<12,则实数t的取值范围是()

A.(1,4)

B.(—co,1)U(4,+oo)

C.(-4,1)

D.(-oo,-4)U(1,+oo)

【答案】A

［解析］/(x)=炉+2无+1—cos(x+^)4-5=x3+2x+sinx+6.

令9(%)=/(x)-6=%34-Zx+sinx,则g(%)=3x2+2+cosx>0,-x)=-g(x),

故g(吗在R上单调递增，且。《为奇函数.

不等式/(产-20+/(-3t+4)<12,即/(产-2t)-6+/(-3t+4)-6<0,

因。(产-2£)+g(-3£+4)V0,则g(〃-2t)<-g(-3£+4)=g(3t-4),

故£2—2亡<3亡一4,即£2一5亡+4<0,所以1<£V4.

对应选项A.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数g(x)并判断其单调性是

解题的关键.

10.(2026•山东枣庄•一模)己知函数/(%)=2乂一2一%,若/(2四2-2+/伍%)〈0恒成

O

立，则a的取值范围是.

【答案】［-2,1］

【解析】由/(%)=2”—2T得/•(一%)=2一-2"=一/(%),则/(%)为奇函数,

又y=2”在R上单调递增，y=-2r在R上单调递增，

所以/(%)在R上单调递增.

由/(2Q/-()+/(ax)<0得”2也2-，)<-/(ax)=/(-ax),

oo

所以2ax2<-ax,即16a/+8ax-3<0对任意x6R恒成立.

8

当Q=0时，一3<0恒成立，符合题意；

曲/°时，则｛；=i_4x16ax(-3)<。,解得一3<。

综上，Q的取值范围是［-3,0］.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，先判断函数的奇偶性与单调性，将不等

式转化为恒成立问题，再分类讨论求解.

考法3：利用单调性求最值或值域

11.(2026•湖南天壹名校•4月检测)已知函数/(x)=-logax(a>0,且QH1)在

口,+8)上的值域为［2,+8),则。=()

A.4B.2CiD.7

24

【答案】C

【解析】函数y=(~)x,y=-logx=log［%在［1,+8)上具有相同的单调性，所以/'(%)在［1,+8)上

aaa

单调，

要满足题意，则/'(%)在［1,+8)上单调递增，所以/>(1)=--logfll=2,解得Q=［.

对应选项C.

【点拨】本题考查根据函数的值域求参数，判断出函数在绐定区间上的单调性是解题的关键.

12.(2024•河南•模拟预测)已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，日/(/(%)-2X-

2%)=10,则/(%)在［-2,2］上的值域为.

【答案】

【解析】因为/'(乃为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的使得/'©=10,

则/■(%)-2x-2x=t,f(t)-2f-2t=t,即/■«)=2t+3t=10,

因为函数y=2，+3t为增函数，且22+3x2=10,所以t=2,

/(x)=2、+2%+2.

易知/Xx)在［-2,2］上为增函数，且/(-2)二-3f(2)=10,

则/•(%)在［-2,2］上的值域为［一10］.

【点拨】本题考查利用函数的单调性求值域，根据复合函数的特征，利用单调性求出/(功的解析

式是解题关键.

•上海静安•二模)已知函数/(%)=《为偶函数，则函数的值域

13.(20247s>0)f(x)

为.

【答案】(04］

【解析】•・♦函数/(%)=岛(。>0)是偶函数，

.•/(一％)=/(乃=品=照=岛=：=°=°=71

•••〃%)=易得f(x)>0,

设£=(或尸«>0),

则y抬=尚与

当且仅当£=押£=1时，等号成立,

所以0<1"，

所以函数/(%)的值域为(。［］.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，再利用基本不等式求函数的值域.

14.(2024•乌鲁木齐八中•月考)若函数f(x)=誓在区间［0刀上的最大值为3,则实数

m=.

【答案】3

【解析】・・•函数/(乃=誓=2+等，

由复合函数的单调性知,

当m>2时，/(x)=誓在[0,1]上单调递减，最大值为/(0)=m=3；

当mV2时，f(x)=答在上单调递增，最大值为/(1)=等=3,

因m=4,显然m=4不合题意，

故实数m=3.

【点拨】本题考查利用函数的单调性求参数，将函数化为反比例型函数，分类讨论单调性是解题

关键.

考法4：根据单调性求参数范围

15.(2025•河南创新-一模)已知/Q)=?是增函数，则实数m的取值

范围是()

A.[1,2]B.[2,5]C.[2,+8)D.[5,+oo)

【答案】A

【解析】因为/'(x)是定义在R上的增函数，

所以2A,c,解得或m>5,

又因为当m>5时，/(x)=%2-4x+5在(m,+8)上单调递增，

但在(2,m)上单调递减，不符合题意，

所以1Wm42.

对应选项A.

【点拨】本题考查分段函数的单调性，根据分段函数在各段卜单调递增日分界点处的函数值满足

不等关系列出不等式组是解题的关键.

16.(2024•天津复兴中学•期末)已知函数/(x)=d+2入-5在[-2,4]上具有单调性,

则实数k的取值范围为()

A./c<-4

B./c>2

C・k4一4或k22

D.k<-4或Z>2

【答案】C

【解析】函数/'(X)=x2+2kx-5的对称轴为x=-k,

因为函数/'(乃二d+2此-5在[-2,4]上具有单调性，

所以-k之4或一k4一2,即上三一4或女22.

对应选项C.

【点拨】本题考查二次函数在给定区间上的单调性，利用对称轴与区间的关系建立不等式是解题

关键.

17.(2026•广东东莞•一模)已知函数/(%)=++00在R上单调递减，

Uog2(%+1)-2x,x>0

则a的取值范围是()

A.(-oo,0］B.［0,+oo)C.［-1,1］D.［-1,0］

【答案】D

【解析】由于y=log2(x+1)在［0,+8)上单调递增，y=-2*在［0,十8)上单调递减，

所以y=log2(x+1)-2,在［0,+8)上不一定单调递减，

设9(%)=log2(x+1)—23贝！g'(x)=(；期,一2"n2,

由于y=:在［0,+8)上单调递减，y=-2xln2在［0,+8)上单调递减，

IIAIlli

所以g(工)在［o,+8)上单调递减，

且/(0)=-^--ln2>0,g(1)=-^--21n2<0,

in4乙in4

所以存在劭W(0,1),使得—))=0，

当x6(0,与)时，g\x)>0,g(x)单调递增，

当+8)时，g(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)在［0,+8)上不单调递减，

所以不存在实数a,使得/(%)在R上单调递减，

fx24-2ax4-a,x<0

题目有误，若将/(》)改为/(乃=10gl(x+1)-2\%>0，

I2

则y=logi(x4-1)在［0,+8)上单调递减,y=-2*在［0,+8)上单调递减,

2

所以y=logi(x+1)-2"在［0,+8)上单调递减，

2

要使/•(%)在R上单调递减，

/一QN0

则aNlog1(0+l)—2°，解得一lWaWO.

、2

对■应选项D.

【点拨】本题考查分段函数的单调性，注意原题中第二段函数在［0,+8)上不单调递减，需对题目

进行修正后求解.

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

18.(2026•沏南永州-一模)下列函数中既是奇函数又是增函数的为()

A./(x)—x3B.f(x)—2因C./(x)=—gD./(x)=y[x

【答案】D

【解析】对于A：函数/(X)=-无3为奇函数，在(-8,+8)上单调递减，不符合；

对于B：函数/(%)=2因为偶函数，不符合；

对于C：函数/•(%)=--为奇函数，在(—8,0)和(0,+8)分别单调递增，但在整个定义域上不具有

单调性，不符合：

对于D：函数f(%)二依为奇函数,在(一8,+8)卜单调递增.符合题意.

对应选项D.

【点拨】本题考查基本初等函数的奇偶性与单调性的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题的关

键.

19.(2026•广东佛山•二模)函数/(x)=ln(x+3)+ln(3—x),贝U()

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是周期函数

C./(x)的最大值为2

D./(-2)</(1)

【答案】D

【解析】函数/(x)=ln(x+3)+ln(3—x),定义域卮+3设得不(一工3).

化简得f(%)=ln(9-%2).

选项A：/(-x)=ln(9-(-r)2)=ln(9-x2)=/(x),故“均是偶函数，不是奇函数，A错误.

选项B：假设/(%)是周期函数，则存在非零常数丁，对任意工£(一3,3),都有/(x+T)=/(x).

取x=0,则/(T)=/(0)=In9,即ln(9—『)=]n9,得7=0,与T工0矛盾.

故假设不成立，人乃不是周期函数，B错误.

选项C：取％=0,则/(0)=ln9=21n3>21ne=2,C错误.

选项D：/(-2)=ln(9-(-2)2)=ln5,f(1)=ln(9-l2)=ln8>ln5,所以/(-2)V

f(1),D正确.

对应选项D.

【点拨】本题考查对数函数的性质，包括定义域、奇偶性、周期性、最值及函数值大小比较，熟

练掌握对数函数的性质是解题关键.

20.利用图象判断下列函数的奇偶性：

⑵曲YW

(4)y=|log2(x+1)|；

(5)y=x2-2|x|-1.

【答案】(I)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)非奇非偶函数(5)偶函数

【解析】⑴函数/(%)的定义域为(一8,0)u(0,+8),

2

对“于工函▼数将f「(/x、)叱(-2%++22x+l,x>0

当%>0,/•(%)=-/+2%+1,为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为

当％VO,/(X)=X2+2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为％=-1

画出函数/(乃=：2"：1">。的图象，如图所示，

+2x-1.x<0

函数图象关于原点对称，所以函数f@)为奇函数;

(2)函数/(%)的定义域为(-8,0)U(0,+8),

对于函数/(')=1+：其；，

VX—X,X>{)

当xvo,/-(X)=%2+x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为％=~4,

当文>0,f(x)=x2-x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为“最

画出函数/(⑼=1::“/^的图象，如图所示,

XAL~ATjX>U

函数图象关于'轴对称，故;•(%)为偶函数；

(3)先作出y=({f的图象，保留y=图象中xNO的部分,

再作出y=(£)'的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，

艮］得y=(；)㈤的图象，如图实线部分.

由图知y=6)因的图象关于了轴对称，所以该函数为偶函数.

(4)将函数y=k)g2》的图象向左平移一个单位长度，再将T轴下方的部分沿%轴翻折上去,

艮J可得到函数y=|log2(x+1)1的图象，如图，

由图知y=|log2(%+1)1的图象既不关于y轴对称，也不关于%轴对称，

所以该函数为非奇非偶函数；

⑸函数y=/(x)=x2-2|x|-l=g~厂产；，

lx,+2%—l,xV0

当xNO,/(X)=X2-2X-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为％=1,

当x<0,/(X)=X2+2.Y-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为工=一1,

画出函数/㈤=傕;;二二制的图象，如图，

由图知y=x2-2|x|-l的图象关于y轴对■称，所以该函数为偶函数.

【点拨】木题考查利用函数图象判断函数的奇偶性，画出分段函数或含绝对值函数的图象是解题

关键.

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式

21.(2026•八省T8・4月测评)己知/(')是定义在R上的奇函数，且当文之。时，/(%)=

-%24-2%+3-m,贝iJ/(-1)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】因为/'(乃是定义在R上的奇函数，

所以当％N0时，f(0)=3-m=0,解得m=3,

所以当％NO时，/(%)=-x24-2x,

所以/'(-1)=-/■(1)=-(-l2+2xl)=-l.

对应选项C.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数和函数值，利用奇函数在原点有定义时r(0)=o求

出参数是解题的关键.

22.(2026•河北NT20・5月检测)已知/(%)是奇函数，当％之0时，/(%)=X24-2%,则

八-1)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】已知/(乃是奇函数，眼据奇函数定义有(1).

当％NO时，/(x)=X24-2%,则/'(1)=3,

所以(1)=-3.

对应选项A.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，熟练运用奇函数的定义/'(-%)二-〃均是解题的

关键.

23.(2025♦安徽淮北淮南•二模)已知函数/(%)和g(x)的定义域均为R,f(%+2)为偶函

数，g(x+2)为奇函数，若/(x)+g(x)=3x+k)g6(x2+2)-40,则/(0)=()

A.4B.2C.0D.-2

【答案】A

【解析】因为/Q+2)为偶函数，故/(一％+2)=/(%+2),

所以人M的图象关于x=2对称，因此/■(0)=/(4).

因为9(%+2)为奇函数，故g(-%+2)=-g(x+2),

令无=2得g(0)=-g(4),

42

当％=4时，f(4)+g(4)=34-log6(44-2)-40=414-log618,

当％=0时，/(0)+g(0)=3°+log62-40=log62-39,

由/(0)=/(4)得，f(4)+g(0)=lOg62-39,

所以/'(4)-g(4)=log62-39,即/'(4)-g(4)=log62-35,(注：原解析此处有误，

应为/(4)-g(4)=log62-39.重新推导：f(4)+g(4)=41+log618,f(4)-

g(4)=10^2-39,两式相加得2/(4)=2+log618+log62=2+log636=4,所以

f(4)=2.原题答案给的A,即4.检查原解析：f(0)+9(0)=l+log62-40=iog62-39,

f(4)+g(4)=81+log618-40=41+log618./'(0)=f(4),g(0)=-g(4).所以

f(4)-g(4)=log62-39.2/(4)=41+log618+log62-39=24-log636=4,/(4)=

2.所以答案应为B.原解析中最后一步解得f(4)=4是错误的.现修正答案为B)

对应选项B.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，通过赋值法构造方程组求解是解题的关键.

24.(2025•江西上进•3月联考)已知函数f(x)=g(x)+a•2L若a=2,/(x)的图象关

于原点对称，若a=4,f(x)的图象关于y轴对称，则g(x)=.

【答案】2--3x2”

【解析】由题意得g(x)+2计1+g(-x)+2-x=0,+-2X+2-22~x=0,两式相

加并整理得9(%)=2-x-3x2X.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数解析式，根据对称性列出方程组是解题关键.

25.(2026•河北衡水名校-学情调研)已知奇函数/(无)满足：当x>0时，/(x)=%+

^^+lnx,则/(9)-/(-1)=.

【答案】4052

【解析】显然/'(-J)=—/(4),注趋到x>。nJ/(X)+/(-)=x--4-Inx4-2026+--x—Inx+

“yxxx

2026=4052,

于是f(9)-rt-1)=/(9)+/(1)=4052.

【点拨】本题考资利用函数的奇偶性求函数值，发现/•(%)+/(：)为常数是解题的突破口.

考法7：根据奇偶性求参数

26.(2025♦江西上进♦5月练兵)已知函数/(X)=(m—cosx为奇函数，则？n=

()

A.5B.4C.7D.1

2

【答案】C

【解析】易知/(幻的定义域为R,且/■(%)是奇函数，则f(一X)+/(%)=(m-铲台)cos(-翼)+

cosx=0,解得m=.

对应选项C.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用奇函数的定义/•(-》)+f(x)=0列方程是解题

关键.

27.(2026•山东九五协作体•一模)若/(%)=%(?—起一》)为偶函数，则实数Q的值为_

【答案】-1

【解析】由/(乃=^^一。e-')为偶函数，则/'(-%)=/(劝,

S3—z(e-x—aex)=X(QX—ac~x),化简得(1+a)x(Qx+e-x)=0,

因为％6R,所以1+Q=0,即a=—1.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义/'(-乃=/(乃恒成立求解即可.

考法8：奇函数平移模型(f(x):奇函数+M)求值或最值

28.(2024•广东名校・5月押题)已知f(%)=x3+TTX-+c,若/'(a)+f(b)<2c,

则()

A.a+b<0B.a4-/?>0C,a-b<0D.a-b>e

【答案】A

【解析】设以盼=炉+产-则g(x)是R上的单调递增奇函数，

••73=g(Q)+e,f(b)=g(b)+e,

/(a)十/(b)=g(a)+g(匕)+2e<2e,g(a)<-g(b)=g(—匕)，a<-b,.'.a+b<Q.

另解，当Q=0,8=一1时，满足题意，A正确.

对应选项A.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数g(x)并判断其单调性是

解题的关键.

29.已知函数f(x)=ax'+Am%+c,若f(—1)+f(1)=2,则,=()

A.-1B.OC.1D.1

【答案】C

【解析】因为/(一1)+/(1)=2,

所以-Q-bsinl+c+a+bsinl+c=2,

所以c=1.

对应选项C.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，观察到函数解析式中含有奇函数部分是解题关键.

30.己知f(x)+l在R上单调递增，且为奇函数.若正实数。/满足/(。-4)+/(6)=-2,则

：的最小值为()

ab

A.-+^B.-+V2C.3+2&D.1+V2

4242

【答案】A

【解析】由于f(%)+1为奇函数，所以f(x)+1+/(-x)+l=0=/(x)+/(-x)=-2,

由/(Q-4)+f(b)=—2得Q—4=-b=Q+b=4,

由于a>0,b>0,所以>"：(>>以+切=：(3+：+的二；(3+2鱼)=；+冬

当且仅当b=或。时取等号，故*留勺最小值为j+4，

ab42

对应选项A.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及利用基本不等式求最值，“1”的代换

是解题关键.

31.已知函数/(x)=+cosx-ln(x+71+/)在区间［一5,5］的最大值是M,最小值是小，

则/(M+m)的值等于()

A.OB.10C.7D.g

42

【答案】C

【解析】令g(x)=cosx-ln(x+J1+反),则/(%)=：+gQ),

可(盼和g(W在［-5,5］上单调性相同,

・••设g(x)在［-5,5］上有最大值以为„^，有最小值g(x)min.

2

,：g(—x)=cos(—x)-ln(—x4-^/l+(—x))=cosx-ln(Jl+工2-x),

•,.g(x)+g(-%)=cosx-+必+X)+ln(71+-x)]=cosx-ln[(V1+x2)2—x2]=

cosx-Ini=0,

.•3。)在[-5,5]上为奇函数，・・・gQ)max+g(x)min=0,

••,M=g(%)max+：，m=g(%)min+5JM+M=%

对应选项c.

【点拨】本题考查函数的最值与奇偶性的关系，构造奇函数9。)是解题的关键.

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

32.(2026•江苏南师附中•模拟)设函数/(%)的定义域为R,且/(2x+l)为奇函数，/(%)

为偶函数，则下列式子中一定成立的是()

A./(-1)=0B./(0)=0C.f(2)=0D./(4)=0

【答案】A

【解析】由函数/(乃的定义域为R,由f(2x+l)为奇函数，得/(一2%+1)=-八2%+1),

财(-无+1)=--％+1),由/(%)为偶函数，得=-/(%+1),因此/(-1)=一

f(1)=0,A正确；

取R上的函数f(x)=cos^x,/(工)是偶函数，且/'(2、4-1)=cos|(2x+1)=—sin/rx,

则/'(2x+1)为奇函数，此时/(0)=1^0,/(2)=-1^0,f(4)=1^0,因此BCD不

一定成立.

对应选项A.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的推导，利用赋值法或构造具体函数是解题的常用方法.

33.(2026•江西宜春•一模)已知函数f(x)=2sin®x+g)®>0)的图象关于直线％=g

对称，旦在区间探,江)上单调递减，则3的值为()

A.：B.1c.yD.4

26

【答案】B

【解析】因为函数/(%)=2sin&x+£)(3>0)的图象关于直线x=次寸称，

所以cog+g=k7r+g,kWZ,

36L

解得=3k+1,kWZ,

又因为函数在区间《,7T)上单调递减，

所以函数在X=/处取得最大侑,

所以[Q]U[3+%

所以2+5之7T,

解得丁=->^

33

解得3<|.

又因为3=3k+l,k£Z.

所以3=1.

对应选项B.

【点拨】本题考杏三角函数的对称性与单调性，根据对称羯求出3的表达式，再结合单调区间求出

3的范围是解题关键.

34.(2026•河北唐山-一模)(多选)若函数y=gQ)与函数/(x)=e'的图象关于y轴对

称，则()

A.八X)与g(%)有相同的零点

B./(x)+g(x)为偶函数

C./(%)与g(x)有相同的极值点

D.对任意的％GR,都有f(%)+g(%)N0

【答案】ABD

【解析】由函数y=g(%)与函数/(%)=H的图象关于y轴对称,得g(%)=/(-％)=

对于A,由f(久)=0,得％=0,山g(%)=0,得郊=0,则/(k)与g(X)有相同的零点，A正确；

对于B,/(x)+g(x)=ex+e-x,则/(—%)+g(—x)=e~x+ex=/(x)+g(x),

/(乃+4乃为偶函数,B正确:

对于C,由/(%)=ex,求导得f(x)=ex>0,函数/'(x)在R上单调递增，无极值点，

由9(x)=er,求导得g'(x)=-efV0,函数g(x)在R上单调递减，无极值点，C错误；

对于D,令九(%)=f(x)4-g(x}=ex4-e-x,

因为e，>0,e-x>0,所以/i(x)=e*+e-x>2Vex-e-x=2>0,

因此VxER,都有/(%)+g(x)之0,D正确.

对应选项ABD.

【点拨】本题考查函数图象的对称变换及函数性质的综合判断，求出仇工)的解析式是解题的基础.

35.(2024•山东烟台•二模)(多选)定义在区上的函数/(为满足/(%)+/(4+%)=0,

/(2+2%)是偶函数，f(1)=1,则()

A./(x)是奇函数

B.f(2023)=-1

C./(x)的图象关于直线％=1对称

D.2£4(2k—1)=-100

【答案】ABD

【解析】对于选项A,・・・f(2+2%)是偶函数，・・・/(2-2%)=/(2+2乃,

・•・函数/'CO关于直线x=2对称，・•"(-x)=/(4+x),

•・•/(%)+f(4+©=0,・・・/(-%)=一/(》)，・・・f(%)是奇函数,则A正确：

对于选项B,V/(4+x)=-/(x),・"(8+%)=-f(4+x),/.f(8+x)=/(x),

•・•/(%)的周期为8,・"(2023)=/(253x8-1)=/(-1)=-/(1)=-1,则B正确；

对于选项C,若/(%)的图象关于直线％=1对称，则/(3)

但是/(-1)=一/(1)=-1,f(3)=f(1)=1,即/(3)//(一1),这与假设条件矛盾：

则选项C错误；

对于选项D,将％=，弋入/(2-2%)=/(2+2%),得/(3)=f(1)=1,

将x=l,代入/(%)+/(4+%)=0,得/'(5)=-f(1)=-1,

同理可知/(7)=-/(3)=-1,

又・・丁(无)的周期为8,・・・/(x)正奇数项的周期为4,

。£仁/(24-1)=/(1)+2/(3)+3f(5)+-4-100/(199)

=[/(1)4-2/(3)+3/(5)4-4/(7)]+[5/(9)+6/(11)+7/(13)+8/(15)]•••

+[97/(193)+98/(195)+99/(197)+100/(199)]=25x(-4)=-100,则D正确.

对应选项ABD.

【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的指导及应用，利用已知条件推导出函数

的周期是解题的关键.

考法10:利用对称性与周期性求函数值或求和

36.(2026•湖北随州•三模)已知定义域为R的奇函数/(%)的周期为8,则下列结论一定

成立的是()

A./(9)=0B.f(10)=0C./(11)=0D./(12)=0

【答案】D

【解析】因为定义域为R的奇函数/'(X)的周期为8,贝疗(x+8)=r(x),

当％=-4时，则/(-4+8)=/(4)=/(-4),

艮Jf(4)=-f(4),故有f(4)=0,

则f(12)=/(4+8)=/(4)=0

对应选项D.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，利用奇函数在原点有定义时/(0)=0以

及周期性推导是解题关键.

37.(2026♦湖南九校•一模)已知定义在R上的函数/'(X)满足f(%+2)+f(%)=4,且

f(0)=0,则f(2026)=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为/'(%+2)+f(x)=4,

所以f(%+4)+/(%+2)=4,

两式相减得/'(%+4)=/(x),故/<x)的一个周期为4,

f(x+2)+/(x)=4中，令％=0得/(2)+/(0)=4,又/'(0)=0,故/'(2)=4,

所以J(2026)=/(506x4+2)=/(2)=4,

对应选项D.

【点拨】本题考查抽象函数的周期性推导及函数求值，由递推关系求出函数的周期是解题关键.

38.(2026•安徽淮北•二模)已知/(乃是定义在R上周期为4的奇函数，当4Vx<6时,

/(x)=log2(x+3),则/(-1)=()

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【解析】因为/(%)是定义在R上周期为4的奇函数，

所以/1)(1)=-/(1+4)=-f(5),

因为当4cx<6时，/(X)=log2(x+3),

所以f(5)=log2(5+3)=log28=3,

所以7•(-1)=-3.

对应选项C.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间

内是解题关键.

39.(2026•山东日照•二模)己知函数/(%)为R上的偶函数，且满足/(%+2)=/(—工)，

当04工工1时，/(%)=2,则/■([)=()

A.4B.1C.V2D.2

2

【答案】C

【解析】因为函数/(©为偶函数,所以f(一乃=f(翼),

又+2)=/•(-%),所以/'0+2)=/(x),即函数门町的周期为2,

所以/'6)="2+()=/(1)=21=>/2.

对应选项C.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，推导出函数的周期是解题的关键.

40.（2026•山东淄博・一模）已知函数/（X）=3sinx-4cosx-4,xe|0,川的两个零点为

向和外，则（）

.%l+x3

A.cos—2=--

B.sin^=i

25

7

C.COS（Xi+x2）=-77

24

D・sinQi+外）=-77

【答案】D

【解析】f（x）=3sinx-4cosx-4=5sin（x-@）-4,其中cos（p=-3,s\nq）=4

令f（Y）=。，得sin（r-°）=:,

J

因为X£[O,TT],所以x-9£[—w，H■—9],

又sin（—0）=­g,sin（7r—<p）=s\n（p=p

所以有两个解，设为a,0,且a+A=7T,

则％i-（p+x2-（P=n,即勺+工2=兀+20

所以sin（Xi+%2）=sin（7r4-2（p）=—sin2@=—2sin*cos@=-2x：x|=—餐.

对应选项D.

【点拨】本题考查三角函数的零点与对称性的关系，利用辅助角公式化简并结合对称性求出两零

点之和是解题关键.

41.（2026•广东东莞•一模）已知函数/（%）（x€R）满足/（一x）=1—/（%）,若函数y=

f（x）与y=沼上1图象的所有交点为（必/1）,（如丫2），…，（。，丫.），贝臣之1（项+其）=

（）

A.0C.mD.2m

【答案】B

【解析】由/(一%)=1—/(x),即/(%)+/•(-％)=1,

可知函数y=八%）的图象关于点（0，）对称,

人/、e^-e—*+1i

令。。)=-2—，则mig(f-％)=-2—，

-xx

所以9(%)+g(—％)=-