广东省2025-2026学年九年级上学期数学期中考试试卷（解析版）

广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025-2026学年九年级上学期数学期中考试

试卷

一、选择题（共8小题）

1.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱

【答案】B

【解析】【解答】解：A.该选项是三个矩形，符合正视图形状，不符合左视图形状，故本选项不符合题意;

B.此选项是两个矩形且有一条公共边，符合从左面看正六棱柱的视图形状，故本选项不符合题意；

C.这是一个矩形，不符合从左面看正六棱柱的视图形状，故木选项不符合题意；

D.该图形是正六边形，它是正六棱柱的俯视图（从上往下看的视图），并非左视图，故本选项不符合题意;

故选：B.

【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.（x4-1）2=2x2B.ax24-bx+c=0C.+x=1D.x3+3x=2

【答案】A

【解析】【解答】解：A：（x+1产=2x2是一元二次方程，符合题意；

B：ax2+bx+c=0,当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；

C：4+x=l不是一元二次方程，不符合题意；

D：x3+3x=2不是一元二次方程，不符合题意;

第1页

故答案为：A

【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.

3.下列图形中，是相似形的是()

A.所有平行四边形B.所有矩形

C.所有菱形D.所有正方形

【答案】D

【解析】【解答】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形,

故答案为：D.

【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.

【答案】C

【解析】【解答】解：当x>0时，y=40%=为反比例函数，图象在第一象限

当X<0时，y=4(3x=-&，为反比例函数，图象在第二象限

JX

故答案为：C

【分析】根据新运算分类讨论，结合反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.

5.在立面直角坐标系中，已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩

小，则点A的对应点A，的坐标是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(8,-4)

【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得:

第2页

点A的对应点A，的坐标是（；x（-4：,；x2）或（一;x（-4）,-1x2）

即（-2,1）或（2,-1）

故答案为：C

【分析】根据位似性质计算即可求出答案.

6.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1,先构造一个面积为.x2

的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为333+16=49,则

该方程的正数解为7-4=3.”小唐按此方法解关于x的方程.x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知

阴影部分的面枳为64,则该方程的正数解为（）

【答案】A

【解析】【解答】解：:阴影部分的面积为64,

/.x2+12x=64,

设4a=12,则a=3,

先构造一个面积为X?的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的

面积为64+32x4=64+36=100,

则该方程的正数解为10-6=4,

故答案为：A

【分析】根据题意构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，

得到大正方形的面积，即可求出答案.

7.如图，已知菱形力BCD的边长为6,点M是对角线4c上的一动点，且乙/1BC=120。，则%4+时8+加。的

AB

第3页

A.3V3B.3+3百C.6+y/3D.6V3

【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点。作DE1AB于点E,连接BQ,

AER

•・•菱形4BCD中,Z-ABC=120°,

•••乙DAB=60°,AD=AB=DC=BC,

.•・△408是等边三角形，

•••/.MAE=30°,

.•.AM=2ME,

MD=MB,

AM+MB+M。=2ME+2DM=2DE,

根据垂线段最短，此时DE最短，即M4+MB+MZ）最小，

•••菱形H8CD的边长为6,

DE=7AD?-AE2=V62-32=373，

2DE=6x/3.

“力+MS+M。的最小值是6百.

故选：D.

【分析】过点。作DE14B于点E,连接BD,根据菱形性质可得ZJX4B=60。，AD=AB=DC=BC,根据等

边三角形判定定理可得△4DB是等边三角形，则4M4E=30。，根据含30。角的直角三角形性质可得AM=

2ME,根据边之间的关系可得MA+M8+M。=2ME+20M=20E,根据垂线段最短，此时。E最短，即

M4+例8+MO最小，再根据勾股定理即可求出答案.

8.如图，正方形ABCD中，AB=2通,点N为AD边上一点，连接BN,过点P作AP_LBN于点P,点M

为AB边上一点，且/PMA=NPCB,连接CM.下列结论：（1）△PAM^APBC；②PMJ_PC；③若点N为

AD中点，则SAPCN=2；④AN=AM.正确的个数有（）

D、________________,C

第4页

A.1个B.4个C.3个D.2个

【答案】D

【解析】【解答】解：・.・AP_LBN

•••NPAM+NPBA=90°

VZPBA+ZPBC=90°

.\ZPAM=ZPBC

VZPMA=ZPCB

/.△PAM^APBC,(1)正确

AZAPM=ZBPC

.\ZCPM=ZAPB=90°,即PM_LPC,(2)正确

过点P作EF_LBC,分别交AD,BC于点E,F

•・・N为AD中点，AB=2遥

，AN=DN=烟,BC=EF=275

:.BN=y/AB2+AN2=5

易证△ANP^ANBA

.PN_AN刖jPN75

,•丽-丽'U|5=T

解得:PN=1

,\PB=5-1=4

VPD#BC

?.△PEN^APFB

.PE_PN_1

,,PF=PS=4

^PF=5EF=-

:,S&PCN=S&NBC-SWBC=2,(3)正确

易证△PAN^APAB

,AN_PA

••丽一而

VAPAM^APBC

第5页

.AM_AP

.AN_AM

，9AB='BC

VAB=BC

，AM=AN,（4）正确

故答案为：B

【分析】根据交之间的关系可得NPAM=NPBC,根据相似三角形判定定理可判断（I）,根据相似三角形性

质可得NAPM=NBPC,则NCPM=/APB=90。，即PM_LPC,可判断（2）,过点P作EF_LBC,分别交

AD,BC于点E,F,根据线段中点可得AN=ON=踽，BC=EF=25根据勾股定理可得BN,根据相

似三角形判定定理可得△ANPs/XNBA,则黑=筋，代值计算可得PN,根据边之间的关系可得PB,再根

据相似三角形判定定理可得△PENS/\PFB,则黑=黑=£即p/7=?EF=誓，再根据三角形的面积可

rrrn455

判断（3）,再根据相似三角形判定定理及性质可判断（4）.

二、填空题（共5小题）

9.若Q,匕是一元二次方程*2一5%-2=0的两个实数根，则4±膏的值为

5a+2--------------

【答案】5

【解析】【解答】解：由题意可得：a+b=5

解方程的：勺=学至，

当°=殳守时，原式=空挈=鲤广5

25a+25a+2

当a=5湃时,原式式空）二死二5

25a+25a+2

故答案为5

【分析】根据球根公式得出方程的根，带入式子即可求出答案。

10.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,若AC=6a〃，BD=8。%则菱形A8C。的面积为—

【答案】24

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形

/.菱形ABCD的面积为34c•80=）x6x8=24

乙乙

故答案为：24

【分析】根据菱形面积即可求出答案.

第6页

11.有四位侦察兵分别站在东南西北四个方位，他们要前往东南西北四个方向执行任务，现依靠抽签决定侦

察兵的侦查方向，则四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的概率为.

【答案】芸

【解析】【解答】解：第一位侦察兵有4种选择

第二位侦察兵有3种选择

第三位侦察兵有2种选择

第四位侦察兵有1种选择

・•・总的等可能的结果数有：4x3x2x1=24种

四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的结果有1种

・•・四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的概率为表

乙1

故答案为：克

【分析】求出所有等可能的结果，寻求出四位侦察兵恰好抽中本身所在方向的结果，再根据概率公式即可求

出答案.

12.如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，且0A=4,y=((k，O,x>

0)的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、反比例函数N两点，且△OMN的面积为3.5,若

动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是.

【解析】【解答】解：由题意可得，点M的横坐标及点N的纵坐标都是4

•・•点M,N在反比例函数y=上的图象上

k

4-Nrfuc4

4

k

DN4

-D---

4

•「S正方形（MBC=S4BCN+S^OAM+SAOMN+S^MBN

2

即以+基+3.5+乂4-初=4x4

解得：k=12(负值舍去)

第7页

・・・M(4.3),N(3,4)

作点M关于x轴的对称地点MT连接MN交x轴于点P,连接PM,此时PM+PN最小

-3)

•,•PM+PN=M'N=Vl24-7Z=5V2

故答案为：5V2

【分析】由题意可得，点M的横坐标及点N的纵坐标都是4,根据反比例函数图象上点的坐标特征可得

zaL\

()N//"<

\4一/,4),根据两点间距离可得BM=BN=4-*再根据割补法，结合正方形，三角形面积建立

方程，解方程可得M(4,3),N(3,4),作点M关于x轴的对称地点M，，连接M，N交x轴于点P,连接

PM,此时PM+PN最小，根据两点间距离即可求出答案.

13.如图，ZkABC中AB=AC,D是其内部一点，4BAD=NACD,BD1DC,AD=1,BD=卓，则

CD=.

【解析】【解答】解：在CD上截取CF=AD=1,连接AF,延长BD交AF于点E

在^ABD^IlACAF中

第8页

(AB=AC

\/-BAD=乙4co

ICF=AD

/.△ABD且△CAF(SAS)

••Z.AFC=Z.ADB,AF=BD=§

AZAED=ZADE

.*.△AFD0°AADE

.AD_AF_DF

a，AE=AD=DE

­•I2=AE^解得：小=等

•*,EF=AF—AE=需

.DE__AE__2_

,,DF_7D_7s

设DE=2a,DF=V5a

则(2Q)2+(遍Q)2=信『

解“甯

，DF=\/5a=i

o

7

=DF+CF=7

6

故答案为：z

o

【分析】在CD上截取CF=AD=1,连接AF,延KBD交AF于点E,根据全等三角形判定定理可得

△ABD^ACAF(SAS),则=LADB,AF=BD=卓，再根据相似三角形判定定理可得

△AFD-AADE,则券=需=器，代值计算可得力后=等，根据边之间的关系可得EF,则卷=奈=

奈，DE=2a,OF=遥。，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据边之间的关系即可求出答

案.

三、解答题(共7小题)

14.用配方法解一元二次方程：2/+1=3%

【答案】解：2/-3%=-1,

.231

2-江+02=一"()；

2一当/

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解得：Xi=1»%2—

【解析】【分析】配方法解一元二次方程，核心是通过配方这一操作，把方程转化成完全平方式，再利用平方

根的意义来求解.

15.学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山''的科学观，让环保理

念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果

分为三类：A：好，B：中，C：差.请根据图中信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图：

（2）在扇形统计图中，a=,b=,C类的圆心角为度；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽

取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率.

【答案】（1）解：全班学生总人数为：10・25%=40（人）；

C类人数有：40-10-24=6（人），

补充统计图如下：

（3）解：列表如下:

ABBC

A/BABACA

BAB/BBCB

BABBB/CB

CACBCBC/

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由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果,

:'P（全是B类学生）=12=6

【解析】【解答］解：（2）由题意可得：

6

a%=x100%=15%

a=15

b%=l-25%-15%=60%

.\b=60

c=15%x360°=54°

故答案为：15；60；54

【分析】（1）根据A类的人数与占比可求出总人数，再求出C类人数，补全图形即可.

（2）根据B,C类的人数除以占比即可求出a,b值，再乘以360。可得圆心角.

（3）列表求出所有等可能的结果，再求出其中全是B类学生的结果，再根据概率公式即可求出答案.

16.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正

方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图.

从正而蓍从左面看

【答案】解：如图所示:

从正面看从左面看

【解析】【分析】根据从上面看组合体得到的形状图及相应几何体个数可以猜测该组合体的空间立体结构，结

合从正面看与从左面看的意义即可求解.

17.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知BC=12cm,高AD=8cm,矩形EFGH的边

EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm.

第11页

A

（1）写出y与x的函数关系式：

（2）当x取多少时，EFGH是正方形.

【答案】（1）解：・.・BC=12cm,高AD=8cm,HE的长为ycm、EF的长为xcm,四边形EFGH是矩形,

.\AK=AD-y=8-y,HG=EF=x

VHG//BC,

・•・△AHG^AABC,

•AK_HGnri8—y_x

,•而二篦即百=讨

.。2

..y=8--X

o

（2）解：由（1）可知，y与x的函数关系式为y=8—为

•・•四边形EFGH是正方形，

.\HE=EF,即产丫，

解得x=.

答：当乂=空时，四边形EFGH是E方形.

【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得AK=AD-y=8-y,HG=EF=x,再根据相似三角形判定定理可得

△AHGsaABC,则箫=器，代值化简即可求出答案.

（2）根据正方形性质可得HE=EF,即x=y,建立方程，解方程即可求出答案.

18.数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数丫=舟的图象与性质进行了探究下面是他们的探究过程,

请补充完整，并解决相关问题：

第12页

13443

X-3-2-10245・・・

•••24532

325

y・・・m0134432・・・

~4-34

（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数y=』的图象，并写出这个函数的

IX11

一条性质：▲;

（4）画出函数y=|x|的图象，结合函数图象，直接写出|x|之岛时，x的取值范围.

【答案】⑴X*

⑵-i

x<l时，y随x的增大而增大，当.x>l时，y随x的增大而减小.

（4）解：观察图象，闻工板会时，x的取值范围.xWO或X”

【解析】【解答】解：（1）由题意可得:

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x-1^0,解得：x/1

故答案为：x/1

_11

(2)将x=-l代入解析式可得：丫二尸占=一左

故答案为：—4

【分析】(1)根据分式有意义的条件即可求出答案.

(2)将x=-l代入函数解析式即可求出答案.

(3)根据描点法作出函数图象即可.

(4)当函数y=|x|的图象在函数丫=舟的图象上方时，有国之舟，结合函数图象即可求出答案.

19.在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对隹线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD

的“友好函数”.例如：如图矩形经过点和点(3,3)的一次函数丫=聂+,是矩形

1,ABCD,A(-1,1)C乙乙

ABCD的“友好函数”.

DC

AB

—>

0x

图2

(1)如图2,矩形ABCD的顶点坐标分别为A(2,i),B(6,1),C(6,3),D(2,3),反比例函数

y=-(x>0)经过点B,求反比例函数y=K(x>0)的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友

XX

好函数”；

(2)矩形ABCD在第一象限，AB〃x轴，AD〃y轴，且点A的坐标为(1,2),正比例函数丫1=ax经过

点A,且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数丫2=](x>0)经过点B,且是矩形ABCD的“友好函数”.

①如图3,当OC>OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E,若点E落在y轴上，求k的

值；

②设矩形ABCD的周长为y,求y关于k的函数表达式；

③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y=4时，设矩形ABCD的面积为Si：当矩形ABCD的周长y=8

时，设矩形ABCD的面积为S人请直接写出Sz-Si的值.

【答案】(1)解：将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=lx6=6,

第14页

则反比例函数的表达式为：y=9

当x=2时，y=3,即点D在反比例函数表达式上，

故该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”

(2)解：将点A的坐标代入正比例函数表达式得：2=k,

则正比例函数表达式为：y=2x,

•・•正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，

即点C在直线y=2x上，故设点C(m,2m),

①当OC>OA时，

当点B、D的坐标分别为：(m,2)、(1,2m),

则AB=m-1,BC=2m-2：

•・•将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E,若点E落在y轴上,

贝JI/EAC=/BAC二NCAE,

即OE=EC,

故OE=EC=BC,设点E(0,y),

则y=yjn\2+(y—2m)2=2m—2,

解得：m=*y=学，

即点EI：0,竽)，

则k=2m=学；

②当OOOA时，

将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得：k=2m,

VAB=m-l,BC=2m-2；

则y=2(AB+BC)=6m-6=3k-6；

当OC<OA时，

第15页

此时，点A、B、C、D的坐标分别为：(1,2)、(1,2m)、(m,2m)、(m,2),

将点B(1,2m)的坐标代入反比例函数表达式得：k=2m,

VAB=2-2m,BC=1-m;

贝!Jy=2(AB+BC)=6-6m=6-3k,

综上，y=|6-3kI

③当OC>OA时，

当y=4时，即3k-6=4,

则k=学，则m=I，

则Si=ABxBC=(m-l)(2m-2)=2(m-l)2=1

当y=8时，即3k-6=8,

则k=竽，则m=:，

则S2=ABxBC=(m-l)(2m-2)=2(m-l)2=等;

则S2-S1=*

当OC<OA时，

当y=4时，即6-3k=4,

则k=I，则m=g,

则Si=ABxBC=(2—2m)(l—m)=2(m—l)2=§

当y=8时，即6-3k=8,

则k=J不合题意，舍去；

综上，S2—Sj=

【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的表达式为：y=

会再根据反比例函数图象上点的坐标特征，结合“友好函数''的定义进行判断即可求出答案.

(2)根据待定系数法将点A坐标代入正比例函数解析式可得正比例函数表达式为：y=2x,根据“友好函数”

定义可得点C在直线y=2x上，故设点C(m,2m),①根据两点间距离可得AB二m-1,BC=2m-2,根据折叠

性质可得NEAC二NBAC=NCAE,即OE=EC,故OE=EOBC,设点E(0,y),建立方程，解方程可得

E(0,学)，则k=2m=竽，即可求出答案.

②分情况讨论：当OOOA时，将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得：k=2m,根据周长即可求

出答案；当OC<OA时，此时，点A、B、C、D的坐标分别为：(1,2)、(1,2m)、(m,2m)、(m,2),将

点B(I,2m)的坐标代入反比例函数表达式得：k=2m,根据周长即可求出答案.

第16页

③分情况讨论：当OC>OA时，当OC<OA时，根据矩形面积计算即可求出答案.

20.根据以下素材，探索完成任务.

图3图4

如何设计四边形挂件方案？

EQ

素r17P

图1是矩形纸板EFPQ,EF=2cm,FP=IOcm；图2是矩形纸板MNRT,图1

材M7

MN=3cm,NR=10cm.

1

N八

图2

图3中的三个四边形挂件形状大小均一样，全部由图1,2矩形纸板重叠

素部分粘贴组成(如图4),现在将这三个挂件竖放，并依次挂在水平横杠

材WZ±,已知WZ=17cm,安装完成后，三个四边形挂件均可绕中心自由

0旋转，相邻两挂件之间的最小距离为a(cm),两侧挂件到相邻竖杠

(WS,ZX)的最小距离均为2.5a(cm).a不小于0.2cm,KZBAD>90°.

问题解决

⑴

任

确定四边形挂件边的关系.求AB：AD的值.

务

1

(2)

任求四边形挂件的对角线

探究对角线BD取值范围.

务BD长的取值范围.

2

(3)若BD的长为正整数厘

任米，请给出一种符合要

拟定设计方案

务求的四边形挂件ABCD

3的周长.并说明理由.

【答案】解：(1)・・・AB〃CD,AD//BC,

第17页

・・・四边形ABCD为平行四边形,

ABX2ADX3

AB3

・--

•A-D

2J