高一信息技术用计算机计算圆周率-设计简单数值数据算法教学设计

高一信息技术用计算机计算圆周率——设计简单数值数据算法教学设计一、教学设计依据本课选自沪科版（2019）高中信息技术必修1《数据与计算》第三单元"算法和程序设计"中的项目7"用计算机计算圆周率——设计简单数值数据算法"，是该项目的第2课时。前一课时学生已经在问题情境中初步感知了圆周率可计算、可逼近的事实，本课时的任务是把"计算"落到"算法"与"程序"上，让学生完整经历"分析问题—设计算法—编写程序—调试运行—优化比较"的算法设计全过程。《普通高中信息技术课程标准（2017年版2020年修订）》在必修模块1中明确要求学生"掌握一种程序设计语言的基本知识，使用程序设计语言实现简单算法""通过解决实际问题，体验程序设计的基本流程，感受算法的效率"。本项目正是这一要求的直接载体：圆周率是一个学生既熟悉又陌生的对象，熟悉是因为初中数学中反复使用3.14，陌生是因为几乎没有学生真正"算过"它。以数值算法为切入点，能够让学生在真实的计算需求中理解循环结构、累加迭代、精度控制等核心概念，发展计算思维。二、教材内容分析本项目围绕"如何从勾股定理出发计算圆周率"展开，教材呈现了三条递进的思路：一是基于多边形周长逼近的割圆思想，二是基于公式展开的级数计算方法，三是基于随机投点的蒙特卡罗方法。本课时聚焦前两类方法中的迭代型数值算法，重点解决三个问题：如何用数学语言描述逼近过程，如何把递推关系转化为程序中的循环结构，如何用终止条件控制计算精度。从单元结构看，本课是"认识算法"之后的第一次综合性算法设计实践，向上衔接项目5、6中的算法描述与三种基本结构，向下为后续枚举法、解析法等算法思想的学习奠定数值计算的基本经验。从学科育人的角度看，圆周率的计算史上集中了刘徽、祖冲之等中国古代数学家的杰出贡献，祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位的纪录保持了近千年，这为课堂提供了自然的文化自信与人文教育素材。三、学情分析授课对象为高一年级学生。从知识储备看，学生已经学习了Python基本语法、变量、赋值语句和for循环、while循环的基本写法，能够编写五十行以内的顺序与循环程序；数学上具备圆的周长与面积公式、级数求和的初步概念、不等式与误差的基本认识。从能力特征看，高一学生处在从具体运算向形式运算过渡的巩固期，能够进行多步逻辑推理，但在"把连续的数学思想离散化为程序步骤"这一环节普遍存在困难。具体表现有三：其一，知道递推公式却写不清循环体中变量的更新次序；其二，对程序中变量的初值设置缺乏自觉意识，常出现漏赋初值或初值错误；其三，对"精度"与"循环次数"的关系缺乏定量感受，容易把循环次数当作随意设定的参数。从教学习惯看，该班学生经过前两个单元的训练，已形成两人结对编程的基本默契，小组讨论纪律较好，部分学生有明显的超前学习倾向，可作为课堂上的"算法讲解员"资源加以利用。四、教学目标1.信息意识：从"圆周率是一个可以不断逼近的数"这一事实出发，感知数值计算方法在科学与工程中的普遍价值，形成用程序解决数学问题的主动意愿。2.计算思维：理解刘徽割圆术的迭代逼近思想，能说出多边形边数、周长与圆周率之间的递推关系；能将数学递推公式改写为程序中的累加或迭代循环，正确设置初值、循环体与终止条件；能比较不同算法的收敛速度，初步建立"精度—代价"权衡的观念。3.数字化学习与创新：能在Python环境中独立或协作完成割圆法与级数法的程序实现，会通过打印中间结果、改变精度参数等方式调试与验证程序；鼓励学有余力的学生尝试time模块计时，比较算法效率。4.信息社会责任：通过了解刘徽、祖冲之的成就，增强对中华优秀科技文化的认同；在小组协作中养成倾听、分工、如实报告结果的习惯，培养严谨的实证态度，认识到程序输出结果的可靠性必须由算法正确性来保证。五、教学重点与难点教学重点：割圆术迭代算法与级数法求和算法的程序实现，循环结构中初值、迭代更新与终止条件的设计。教学难点：递推关系中变量更新次序的理解，精度控制条件的设计，两类算法收敛速度的直观比较与原因分析。六、教学准备1.硬件与环境：机房一人一机，安装Python3.x解释器及Thonny或IDLE编辑环境；教师机安装广播教学软件；每台学生机预置三个半成品代码文件，分别为割圆法框架、级数法框架、计时比较模板。2.学习资源：自制微视频《从3.14到3.1415926——圆周率的千年求索》约90秒；学习任务单每人一份，含递推推导引导、代码填空区、实验记录表；拓展任务卡供学有余力者使用。3.前测评设计：课前通过问卷星发布三道小题，检测赋值语句、循环结构和初值意识的掌握情况，根据结果确定课堂分组的异质搭配方案。七、教学过程环节一：情境导入——你会"算"圆周率吗（约6分钟）播放微视频：阿基米德用内外接正多边形夹击圆周，刘徽"割之弥细，所失弥少"，祖冲之算得3.1415926与3.1415927之间，现代计算机已算出数十万亿位。画面定格在一个问题：他们算得越来越准，靠的不是更长的尺子，而是更好的算法。教师提问：尺子量不出3.1415926，那圆周率到底是"量"出来的还是"算"出来的？如果给你一台计算机，你打算怎么算？学生自由发言，教师板书关键词：逼近、重复、越来越准、算很多遍。教师顺势提炼：把"反复做一件小事，让结果越来越好"的思想交给计算机去做，这就是数值计算算法。今天我们的任务，就是把刘徽的思路变成Python程序。设计意图：用数学史故事建立情感连接，用"量还是算"的认知冲突激活问题意识，为算法思想的引出做好铺垫。故事控制在90秒以内，避免喧宾夺主。环节二：问题剖析——割圆术的数学语言（约8分钟）教师引导：从圆内接正六边形开始。设圆的半径为1，正六边形边长恰好等于半径。如果边数不断加倍，正多边形的周长会怎样？学生讨论得出：边数越多，多边形越贴近圆，周长越接近圆周，周长的一半除以半径就是圆周率的近似值。教师展示割圆动画，正6边形到正12边形到正24边形的形态变化，然后给出核心递推关系：设正n边形边长为a，则正2n边形的边长可以通过勾股定理由a求出。教师板书推导过程，引导学生完成学习任务单上的推导填空：新边长的平方=（a/2的平方）+（1−根号下（1−a平方/4）的平方）教师强调程序视角：每一次"割"，都是旧边长算出新边长、边数翻一倍、周长重新计算的过程。请学生用自己的话描述这个循环的三个要素——从哪里开始，每圈做什么，什么时候停。设计意图：算法教学的关键在"数学表达向程序表达的转译"。此处慢下来做推导，是为后面代码环节扫除最大的障碍。推导以填空形式给出台阶，保证全员跟得上。环节三：算法设计——从自然语言到流程图（约6分钟）学生以小组为单位，把割圆过程写成自然语言步骤，再画成流程图。教师巡视，重点观察两类典型问题：一是初值设置（n=6，a=1），二是循环体内更新次序（必须先算新边长，再翻倍边数，再算周长）。选取两组作品通过实物投影对比评议：一组把"计算周长"放在边数翻倍之前，一组放在之后。教师不急于评判，而是请两组各用n=6手算一步，看哪一组得到的结果更接近圆周率。用数据说话，学生自己发现更新次序的重要性。教师小结算法骨架：设边数n=6，边长a=1重复执行若干次：由a算出新边长an翻倍圆周率近似值=n乘以a除以2输出结果设计意图：用对比评议代替直接告知正确流程，让学生在错误与修正中理解变量更新次序。手算一小步是连接抽象流程与具体数值的桥梁，也符合计算思维"分解—模式—抽象"的训练路径。环节四：编程实现——割圆法程序（约10分钟）学生打开预置的半成品代码文件，补全循环体并运行。框架代码中已给出变量声明和输出语句，挖空处为递推计算与边数更新：importmathn=6a=1.0foriinrange(10):a=math.sqrt(22math.sqrt(1(a/2)2))n=n2pi=na/2print(第几次迭代,i+1,圆周率近似值,pi)学生运行后观察输出：近似值从3.0开始，逐次逼近3.14159……教师提问：第7次、第8次迭代之后，数值还变吗？为什么不继续变？引导学生发现浮点数精度有限、算法已"收敛"的现象。变式任务：把固定循环10次改为while循环，要求"当相邻两次结果的差小于0.0000001时停止"。学生在任务单上画出修改方案再改代码，教师巡视辅导初值与差值变量的设置。设计意图：半成品代码降低了语法门槛，使课堂注意力集中在算法核心上；for改while的变式让学生真正理解"精度控制循环"的数值算法本质特征，这是本课最重要的思维增量。环节五：算法拓展——莱布尼茨级数法（约8分钟）教师抛出问题：割圆法很厉害，但每算一步都要开平方，古人已经觉得麻烦了。能不能只用加减乘除来算圆周率？展示莱布尼茨公式：圆周率/4=1−1/3+1/5−1/7+1/9−……引导学生观察规律：分母依次是1、3、5、7……符号正负交替。请学生先写出前5项手算结果，发现只得到3.34左右，误差很大。学生实现级数法程序：累加变量pi4，符号变量sign，循环k从0到N−1，每次把sign/(2k+1)累加进pi4，然后sign取反。教师给出提示代码：N=100000pi4=0.0sign=1forkinrange(N):pi4=pi4+sign/(2k+1)sign=signprint(4pi4)学生改变N的取值（10、1000、100000、1000000），在任务单实验记录表中填写运行结果与大致用时，感受收敛之慢。设计意图：级数法与割圆法形成鲜明对照：前者公式简单但收敛慢，后者公式复杂但收敛快。这种对比为下一环节的算法评价埋下伏笔，同时让学生体会到"数学上正确"与"计算上高效"是两个不同的问题。环节六：比较评价——哪种算法更好（约5分钟）小组汇总两种算法的实验数据，讨论三个问题：同样要精确到小数点后5位，各自需要多少步？哪种算法程序更短？如果让你选一个推荐给祖冲之，你选哪个，为什么？各组代表发言，教师用黑板表格汇总：割圆法约20次迭代达到高精度，级数法算到百万项仍在第四位上有偏差。教师点出结论：评价一个数值算法，不能只看公式漂亮不漂亮，还要看收敛速度、每一步的计算代价和精度是否可控。这就是算法的效率意识。拓展任务（供学有余力者）：调用time模块给两种算法计时；或查阅蒙特卡罗方法，用随机投点估算圆周率，下节课分享。设计意图：把"评价算法"的权力交给学生的实验数据，培养实证精神。效率比较是本课计算思维培养的点睛处，它让学生从"会写程序"走向"会选算法"。环节七：总结升华与作业布置（约2分钟）师生共同回顾学习路径：数学思想（逼近）→算法描述（初值、迭代、终止）→程序实现（填空、运行、调试）→算法评价（精度与代价）。教师指出：今天你写的十几行代码，浓缩了从刘徽到祖冲之数百年的智慧；而现代超级计算机计算π的万亿位，用的依然是这样的迭代思想，只是算法更精巧。分层作业：必做题为完善课堂两个程序并撰写100字算法比较小结；选做题为用蒙特卡罗方法估算圆周率并分析误差来源。八、板书设计主板书分三栏。左栏：数学思想——割圆术，割之弥细，所失弥少；递推关系式。中栏：算法三要素——初值n=6与a=1、迭代更新、终止条件（次数或精度）。右栏：两种算法对比表，含步数、精度、结论"效率意识"。副板书区即时记录学生发言要点与典型错误代码，课后拍照留存供下节课复习使用。九、教学评价设计本课采用过程性评价为主的评价方案。任务单下设四个观测点：递推推导完成度、流程图正确性、程序运行结果、实验记录与分析质量，每个观测点设"达成、基本达成、待改进"三级，由学生自评、小组互评与教师抽评结合完成。程序作品通过机房广播系统抽查展示，评价标准聚焦三点：初值与更新次序是否正确、终止条件设计是否合理、输出格式是否清晰可读。评价结果计入单元学习档案袋，作为必修1模块过程性学分的组成部分。十、教学反思预设本课有三个需要一线课堂验证的预设。其一，割圆递推公式的推导对部分学生仍有难度，若课堂推进受阻，应果断改用"教师给公式、学生验证公式"的降阶方案，保住算法与程序这条主线。其二，while精度循环中"上一次结果"变量的引入