2026年湖南省湘教版高中二年级数学下册第9章同步练习题

2026年湖南省湘教版高中二年级数学下册第9章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的公差d等于（）A.-2B.0C.2D.4解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4可得2a_5=8，即a_3+a_7=12，满足条件。又由a_5=a_1+4d=4，a_3=a_1+2d，联立方程组解得d=2。故选C。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-3x+2)，其定义域为（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.[1,2]C.(1,2)D.R解析：由x^2-3x+2>0解得(x-1)(x-2)>0，即x<1或x>2，故定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。故选A。3.若向量a=(3,m)，b=(-1,2)，且a⊥b，则实数m的值为（）A.-6/2B.-3/2C.6/2D.3/2解析：由a⊥b可得a•b=0，即3×(-1)+m×2=0，解得m=3/2。故选D。4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的长度为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√3，A=60°，B=45°，可得√3/(√3/2)=b/(√2/2)，解得b=√2。故选B。5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：基本事件总数为6×6=36，点数之和为5的基本事件有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种，故概率为4/36=1/9。故选A。6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心C到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.1B.√2C.√5D.3解析：圆心(1,-2)到直线的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2≈√5。故选C。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.31B.17C.15D.27解析：由b_4=b_1q^3=16，q=2，可得S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=31。故选A。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。故选C。9.已知点P(x,y)在直线x-y+1=0上，则点P到圆(x-2)^2+(y+1)^2=4的最小距离为（）A.1B.√2C.2D.3解析：圆心(2,-1)到直线的距离d=|2-(-1)+1|/√2=4/√2=2√2，半径为2，故最小距离为2√2-2≈1.41≈1。故选A。10.若函数g(x)=√(x^2+px+q)的定义域为R，则实数p、q应满足的条件是（）A.p^2-4q≥0B.p^2-4q≤0C.p^2+4q≥0D.p^2+4q≤0解析：由x^2+px+q≥0恒成立，需判别式Δ=p^2-4q≤0。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a_15+a_20=________。解：由a_10=a_5+5d，解得d=3，故a_15+a_20=2a_12+10d=2×(a_5+7d)+30=2×(10+21)+30=72。参考答案：722.函数f(x)=2^x-1在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为________。解：f(x)在[0,2]上单调递增，故最大值f(2)=4-1=3，最小值f(0)=1-1=0，差为3。参考答案：33.已知向量c=(1,2)，若向量a=(3,-4)与向量b垂直，且b=c+ka，则实数k的值为________。解：由b⊥a可得a•b=0，即(3,-4)•(1+2k,-4+2k)=0，解得k=7/2。参考答案：7/24.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c的长度为________。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=1/2，解得c=4。参考答案：45.抛掷两枚质地均匀的硬币，恰好出现一正一反的概率为________。解：基本事件(正正)、(正反)、(反正)、(反反)，一正一反有2种，概率为2/4=1/2。参考答案：1/26.圆(x-3)^2+(y-4)^2=9的圆心到原点的距离为________。解：圆心(3,4)，距离√(3^2+4^2)=5。参考答案：57.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于________。解：b_4=b_2q^2，q=3。参考答案：38.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为________。解：f'(-1)=9>0，f'(-1)=0，f(3)=-16<0，零点个数为2。参考答案：29.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程为________。解：中点(2,1)，斜率-1/2，方程y-1=-1/2(x-2)，即x+2y-4=0。参考答案：x+2y-4=010.若函数g(x)=√(x^2-ax+1)的定义域为[-1,1]，则实数a的取值范围是________。解：Δ=a^2-4≤0，a∈[-2,2]。参考答案：[-2,2]三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2恒成立。解：反例a=1，b=-2，a>b但a^2=1<b^2=4，错误。参考答案：×2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5。解：a_1+a_5=2a_3=10，a_3=5，正确。参考答案：√3.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b共线。解：a•b=11≠0，不共线，错误。参考答案：×4.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=√2，则边b=√3。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，解得b=√3，正确。参考答案：√5.函数f(x)=|x|在R上单调递增。解：在(-∞,0)上单调递减，错误。参考答案：×6.若函数g(x)=√(x^2+1)是奇函数，则g(x)在R上单调递增。解：g(x)是偶函数，错误。参考答案：×7.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则b_5=32。解：q=2，b_5=64，错误。参考答案：×8.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4与直线x-y-1=0相切。解：圆心(1,-2)到直线距离|1-(-2)-1|/√2=√2=半径，相切，正确。参考答案：√9.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为16。解：f(-2)=-2，f(2)=2，差为4，错误。参考答案：×10.若向量a=(1,2)，向量b=(2,4)，则向量a与向量b线性相关。解：b=2a，线性相关，正确。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_4=10，S_6=60，求该数列的通项公式。解：a_4=a_1+3d=10，S_6=6a_1+15d=60，解得a_1=0，d=10/3，a_n=(10/3)(n-1)。2.求函数f(x)=2^x+1/x在区间(0,+∞)上的单调性。解：f'(x)=2^x•ln2-1/x^2>0，单调递增。3.已知向量a=(3,1)，向量b=(1,-2)，求向量a与向量b的夹角θ的余弦值。解：cosθ=a•b/|a||b|=1/√10。4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求△ABC的面积。解：由正弦定理b=√3，面积S=(1/2)ab•sinC=(1/2)×√3×√3×sin75°=3√6+3√2/8。5.求函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标和对称轴方程。解：顶点(2,-1)，对称轴x=2。6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，求圆C在x轴上截得的弦长。解：y=0时，x^2-2x+1+4-4=0，x=1±√3，弦长2√3。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：q=2，S_6=63。8.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：最小值3，R。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元。若销售量x件时，利润y万元满足y=10+30x-0.5x^2，求该工厂的盈亏平衡点。解：盈亏平衡时，80x-50x-10=0，x=1/3万件。2.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，求边b和边c的长度。解：b=√3，c=4。3.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机抽取3名学生参加活动，求抽到2名男生和1名女生的概率。解：C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=9/38。4.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=4，求圆C的圆心到直线3x-4y+5=0的距离。解：d=|3×2-4×3+5|/5=1。5.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的前20项和S_20。解：d=3/2，S_20=20a_1+190d=275。6.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值与最小值。解：f(-2)=-2，f(1)=-2，f(3)=-16，最大值1，最小值-16。7.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，求向量a与向量b的夹角θ的正弦值。解：sinθ=|a×b|/|a||b|=√15/10。8.某商场促销活动期间，商品A打8折，商品B打7折。若购买商品A和商品B各一件，共需支付120元，且商品A原价比商品B原价高20元，求商品A和商品B的原价。解：设原价分别为x元和y元，0.8x+0.7y=120，x-y=20，解得x=100，y=80。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.D4.B5.A6.C7.A8.C9.A10.B解析：1.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5=4，故d=2。2.解不等式x^2-3x+2>0，得x<1或x>2。3.向量垂直条件a•b=0，3×(-1)+m×2=0，m=3/2。4.正弦定理a/sinA=b/sinB，b=√2。5.基本事件(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，概率1/9。6.圆心到直线距离公式，d=√5。7.等比数列性质b_4=b_1q^3，q=2，S_4=31。8.分段函数在x=-2时取最小值3。9.圆心到直线距离d=√5，最小距离1。10.函数定义域要求x^2+px+q≥0，Δ≤0。二、填空题1.7212.313.7/214.415.1/216.517.318.219.x+2y-4=020.[-2,2]解析：11.等差数列性质a_15+a_20=2a_12+10d，d=3。2.单调递增区间最大值f(2)=3，最小值f(0)=0。3.向量垂直条件a•b=0，k=7/2。4.正弦定理a/sinA=c/sinC，c=4。5.基本事件2种，概率1/2。6.圆心(3,4)，距离√(3^2+4^2)=5。7.b_4=b_2q^2，q=3。8.零点个数2。9.中点(2,1)，斜率-1/2，方程x+2y-4=0。10.定义域要求x^2-ax+1≥0，Δ≤0。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.×27.×28.√29.×30.√解析：21.反例a=1，b=-2，a>b但a^2=1<b^2=4。2.a_1+a_5=2a_3=10，a_3=5。3.a•b=11≠0，不共线。4.正弦定理a/sinA=b/sinB，b=√3。5.在(-∞,0)上单调递减。6.奇函数f(-x)=-f(x)，g(x)是偶函数。7.b_5=b_3q^2=