河北省保定市定州市部分校2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（）条不同的路线．A.8 B.9 C.10 D.112.从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（）种．A.150 B.180 C.300 D.3603.已知函数，则有（）个极大值．A.0 B.1 C.3 D.44.若正整数满足，则（）A.2024 B.2025 C.2026 D.20275.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B. C. D.6.在研究变力做功的瞬时功率变化率时，某物理模型中物体的瞬时功率，其中是随时间变化的作用力，是随时间变化的速度．现在需要分析功率的高阶变化率，需要对连续求阶导数（即对连续求次导数），记为为的阶导数，则的展开式中的系数为（）A. B. C. D.7.已知随机变量的分布列为：123若，则随机变量方差的最大值为（）A. B. C. D.8.已知关于的方程（为自然对数的底数）有个不等的正实数根（，2…，），则（）A.3 B.4 C.5 D.6二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.两个线性相关变量与的统计数据如下表：346534.54根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（）A. B.C.变量和正相关 D.点对应的残差为0.210.下列不等式一定成立的是（）A. B.C.（为自然对数的底数） D.11.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．12.函数在处切线的斜率为__________．13.某商场的自动扶梯设置的身高警戒线为，假设顾客的身高服从正态分布（单位：），则顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为__________．（参考数据：，，）14.已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________．四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年足球世界杯在美国、加拿大、墨西哥三地联合举办，某中学高二年级共有学生500人（男生300人、女生200人），对是否喜欢观看足球世界杯进行了问卷调查，得到该年级男生中有100人喜欢观看、女生中有50人喜欢观看．性别世界杯合计喜欢观看不喜欢观看女生

男生

合计

（1）补全上述列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该年级学生观看世界杯与性别有关联？（3）如果将（1）中所有数据都扩大为原来的5倍，再用的独立性检验推断该年级学生观看世界杯与性别之间的关联性，得到的结论是否发生改变？请写出你的判断，并说明理由．附：，其中．0.1000.0100.0012.7066.63510.82816.（1）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为256，求展开式中的倒数第6项；（2）解方程；（3）已知，求的值．17.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量．（1）求的概率；（2）求的分布列和数学期望；（3）求的方差．18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）令函数，请判断是否存在实数，使得在其定义域上恒成立，并说明理由．19.在不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的8个黄球和2个蓝球，从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，接着再从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，一直重复同样的操作．（1）当时，求在第一次取出的球是蓝球的条件下，第二次恰好取出的球是蓝球的概率；（2）当时，求第二次取出的球是黄球的概率；（3）在第一次取出的球是蓝球的条件下，求第（且）次恰好取出黄球的概率．

数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（）条不同的路线．A.8 B.9 C.10 D.11答案：D解析：解答过程：若从甲地直接到丙地，有2条路线；若从甲地到乙地，再到丙地，有条路线；综上所述：从甲地到丙地一共有11条不同的路线.2.从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（）种．A.150 B.180 C.300 D.360答案：B解析：思路：方法一：间接法先算出7人中任选3人分配到3个地点的全部排列方案，再减去全男生、全女生两种不符合男女均有的极端情况，剩余即为满足条件的选派方案数．方法二：直接分类法按选出人员性别分为1男2女、2男1女两类，每类先组合选出对应人数，再对选出的3人全排列分配到三个地方，最后把两类方案数相加得到总方案数．解答过程：方法一：间接法从7人中选3人派到3个地方，总方案数为，全是男生的方案数（从4男选3人排列）为，全是女生的方案数（从3女选3人排列）为，所以不同的选派方案共有．方法二：直接分类法（1男2女或2男1女）情况1：1男2女方案数为，情况2：2男1女方案数为，所以不同的选派方案共有．3.已知函数，则有（）个极大值．A.0 B.1 C.3 D.4答案：A解析：思路：根据导函数的变号零点个数判断原函数的极值点个数，根据零点处导函数左正右负取极大判断极大值点的个数．解答过程：因为的定义域为，且，令，可得或，因为恒成立，故不是的极值点，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；故在处取极小值，无极大值，故的极大值个数为0．4.若正整数满足，则（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027答案：B解析：思路：由组合数性质进行求解．解答过程：因为，由，得，得，得，得．5.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：含的项，相当于从5个因式中任选1个取常数项，其余4个取项，一次项系数分别为，常数项分别为，故含的项的系数为：．6.在研究变力做功的瞬时功率变化率时，某物理模型中物体的瞬时功率，其中是随时间变化的作用力，是随时间变化的速度．现在需要分析功率的高阶变化率，需要对连续求阶导数（即对连续求次导数），记为为的阶导数，则的展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，其阶导数：，所求项为，则，该项系数为组合数：．7.已知随机变量的分布列为：123若，则随机变量方差的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先根据分布列的性质求出的值及的取值范围，再求出，进而求出的表达式，根据导数求其最大值.解答过程：根据分布列的性质可得，即，所以，解得，所以.所以，所以，又，所以.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为.8.已知关于的方程（为自然对数的底数）有个不等的正实数根（，2…，），则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：方程构造接近二次型，可往该方向化简转化，把得到的指数方程可两边同取对数，进一步便于研究化简.解答过程：对于原方程，左右两边同乘得：，对上式因式分解得：，原方程等价于或.由于对两个指数方程两边同取自然对数，整理得：和，设，求导得，当时，单调递增；当时，单调递减，在处取最大值，当时，，方程仅有1个正实根，；当时，，且时，时，因此方程有两个不等正实根，.因此.方法提示：指数方程可两边同取对数，转化为便于用导数研究零点的函数；不必求出每个根具体的值，可以整体代入计算.二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.两个线性相关变量与的统计数据如下表：346534.54根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（）A. B.C.变量和正相关 D.点对应的残差为0.2答案：AC解析：思路：根据平均数公式可判断A；根据经验回归直线过点，可求出，进而可判断B；根据经验回归直线方程中的系数可判断C；根据残差定义可判断D.解答过程：对于A，由表中数据得，故A正确；对于B，因为经验回归直线过点，又，所以，所以，解得，故B错误；对于C，由得的系数为正数，所以变量和正相关，故C正确；对于D，将代入得，所以点对应的残差为，故D错误.10.下列不等式一定成立的是（）A. B.C.（为自然对数的底数） D.答案：BCD解析：思路：通过构造函数，利用导数研究函数的单调性从而判断各个选项.解答过程：对于A，令函数，求导得令函数，求导得，函数是上的增函数，即是上的增函数，且，当时，当时，因此函数在上递减，在上递增，，即，A错误；对于B，由选项A知，当时，，即当时，，因此，即，B正确；对于C，令函数，求导得，当时，单调递增，当时，单调递减，因此，则，即，C正确；对于D，由选项C得，，则，即，D正确.11.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据条件概率公式和对立事件概率关系进行计算判断．解答过程：因为，，则，，，由，故B错误；解得；则，故A正确；根据条件概率公式可得，，故，故C正确；，因为，故，则，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．12.函数在处切线的斜率为__________．答案：##解析：解答过程：因为，则，当时，则，所以函数在处切线的斜率为.13.某商场的自动扶梯设置的身高警戒线为，假设顾客的身高服从正态分布（单位：），则顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为__________．（参考数据：，，）答案：0.02275解析：解答过程：由题意得，，顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为.14.已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________．答案：解析：思路：先计算基本事件总数，再分析随机变量X的取值及对应概率，最后计算数学期望．解答过程：已知，，均为正整数且，利用隔板法，将13个相同元素分给3个不同对象，基本事件总数为．已知表示，，中的最小数，因为，，是正整数且，所以的可能取值为1，2，3，4，当时，，，中最小数为1，先固定一个数为1，另外两数和为12，正整数解有11组，排除重复计数后，满足条件的组合数为，所以概率．当时，，，中最小数为2，固定一个数为2，另外两数和为11，正整数解有10组，排除重复计数后，满足条件的组合数为，所以概率．当时，，，中最小数为3，固定一个数为3，另外两数和为10，正整数解有9组，排除重复计数后，满足条件的组合数为，所以概率．当时，，，中最小数为4，此时，，只能有两个是4，另外一个是5，所以概率．则的数学期望为．四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年足球世界杯在美国、加拿大、墨西哥三地联合举办，某中学高二年级共有学生500人（男生300人、女生200人），对是否喜欢观看足球世界杯进行了问卷调查，得到该年级男生中有100人喜欢观看、女生中有50人喜欢观看．性别世界杯合计喜欢观看不喜欢观看女生

男生

合计

（1）补全上述列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该年级学生观看世界杯与性别有关联？（3）如果将（1）中所有数据都扩大为原来的5倍，再用的独立性检验推断该年级学生观看世界杯与性别之间的关联性，得到的结论是否发生改变？请写出你的判断，并说明理由．附：，其中．0.1000.0100.0012.7066.63510.828答案：（1）性别世界杯合计喜欢观看不喜欢观看女生50150200男生100200300合计150350500（2）不能（3）结论发生改变所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，所以结论发生改变．解析：思路：（1）直接补齐列联表；（2）计算的值，结合临界值表求解；（3）所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，进行求解．（1）（2）性别世界杯合计喜欢观看不喜欢观看女生50150200男生100200300合计150350500零假设为：观看世界杯与性别相互独立．根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该年级学生观看世界杯与性别没有关联．（3）结论发生改变，所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，所以结论发生改变．16.（1）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为256，求展开式中的倒数第6项；（2）解方程；（3）已知，求的值．答案：（1）（2）或；（3）解析：思路：（1）令分别求出系数和与二项式系数和，通过比值算出，确定倒数第项对应的项数，代入二项展开通项公式计算；（2）对左侧式子配凑完整的二项式六次展开结构，化简得到，开六次方程求出；（3）对已知二项式等式连续两次求导得到含目标代数式的式子，令代入直接算出所求数值．（1）展开式中，各项系数的和为，各项二项式系数的和为，则，所以，所以展开式中的倒数第6项，即正数第4项；（2）由，得，即，解得或；（3），两边同时对求导得，两边再同时对求导得，令，则．17.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量．（1）求的概率；（2）求的分布列和数学期望；（3）求的方差．答案：（1）（2）（3）0246解析：思路：（1）要使质点移动4次后所在位置为0，即向左向右各移动2次，再用二项分布概率公式计算.（2）首先判断出移动6次后可能在的所有位置，利用二项分布算出对应的概率，把相同的值合并，列出分布列，最后根据数学期望公式求出期望值.（3）由二项分布得到的方差，利用方差性质：常数不影响方差，，代入化简求出.（1）（2）可取0，2，4，6故的分布列为0246所以数学期望（3）设质点向右走步，则向左走步，由题意知：所以所以18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）令函数，请判断是否存在实数，使得在其定义域上恒成立，并说明理由．答案：（1）的单调递增区间为，无单调减区间；（2）存在，，理由如下：当时，，不合题意，下证：当时，在其定义域上恒成立，当时，，定义域为且，只需证在恒成立且在恒成立，即在恒成立且在恒成立，由（1）知在上单调递增且，所以在恒成立且在恒成立，即当时，不等式在恒成立，综上所述，实数的值为2．解析：思路：（1）求定义域