河南省许昌市2025~2026学年高一下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.一组数据1，3，4，7，8，9，10的第75百分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.103.已知，为单位向量，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.4.有五张相同的卡片，分别标有1，2，3，4，5，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（）A. B. C. D.5.下列结论正确的是（）A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥C.侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥D.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥6.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（）A. B. C. D.7.若非零向量与满足，且，则为（）A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.直角三角形8.在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（）A.若和互斥，则和一定相互独立B.若，则C.若和相互独立，则和一定不互斥D.10.已知向量，，则（）A.B.与的夹角的余弦值为C.在上的投影向量的坐标是D.若与的夹角为锐角，则的取值范围为11.已知圆锥，是圆锥底面圆的直径，点是底面圆周上异于，的动点，若，，则（）A.圆锥的轴截面面积为3B.直线与底面所成角的正弦值为C.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为D.若，为线段上的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人测量身高，则抽取的男生人数为________．13.一个圆台的上底面圆采用斜二测画法绘制的直观图面积为，已知圆台下底面半径为，圆台母线与底面所成的角为，则该圆台的侧面积为________．14.已知圆的半径为4，若三个全等的正方形能完全覆盖圆，则正方形边长的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正四棱锥中，已知侧棱与底面边长都等于3，是的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值．16.某高中为了解高一学生周末自主学习时长情况，从高一全体学生中随机抽取50名学生开展调查，统计他们某一个周末自主学习时长（单位：小时），作出如下频数分布表分组（小时）频数26121610（1）求的值，并根据数据绘制频率分布直方图；（2）依据频率分布直方图估计这50名学生自主学习时长的中位数和平均数；（3）从自主学习时长落在和的学生中随机抽取2人，求这两人来自不同分组的概率．17.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若外接圆半径为，求周长的取值范围．18.已知中，点在边上，且，为线段的中点．（1）用，表示；（2）若，且，，三点共线．（ⅰ）求；（ⅱ）若，且，证明：．19.如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，侧棱，为棱上的一点，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求四面体的外接球被平面所截得的截面圆的面积．五、卷面分（2分）

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的乘方，列举找到规律，即可求解.解答过程：因为，所以，即.2.一组数据1，3，4，7，8，9，10的第75百分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：C解析：解答过程：因为，所以该组数据的第75百分位数为9.3.已知，为单位向量，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，为单位向量，所以，，，所以.4.有五张相同的卡片，分别标有1，2，3，4，5，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：抽取两张卡片，总和为偶数的情形有两种：两奇数或两偶数，奇数有共3张，偶数有共2张，数字之和为偶数的情况数：，总情况数：，所以取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.5.下列结论正确的是（）A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥C.侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥D.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥答案：D解析：解答过程：对于选项A：如图所示，上下底面四边形的比例不同，该几何体不是四棱台，故A错误；对于选项B：如图所示，两个共底面三棱锥拼接而成，该几何体不是三棱锥，故B错误；对于选项C：设正六棱锥的底面正六边形的中心为，则，可知，即正六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，故C错误；对于选项D：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥，故D正确.6.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据模长公式计算判断各个选项即可.解答过程：设，则，当，时，，满足题意；当，时，，满足题意；当，时，，不满足题意；当，时，，满足题意；故在复平面内对应的点的坐标不可能为.7.若非零向量与满足，且，则为（）A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.直角三角形答案：B解析：解答过程：因为分别为与同向的单位向量，因为，可知的角平分线与垂直，则，又因为，即，且，则，所以是等边三角形.8.在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取中点，在上取点，使，连结、、，可得平面平面，则可得线段，由此可知当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，然后根据题中的数据进行计算即可.．解答过程：解：取中点，在上取点，使，连结、、，则平面平面，∵是侧面四边形内一动点（含边界），平面，∴线段，∴当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，∵在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，∴，，．且长度在最值之间连续不间断，∴线段长度的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（）A.若和互斥，则和一定相互独立B.若，则C.若和相互独立，则和一定不互斥D.答案：BC解析：思路：根据互斥事件、独立事件的概率定义辨析A、C，利用子集事件的概率加法公式推导B，举例判断D．解答过程：对于A，若互斥，则；若相互独立，则（），所以互斥一定不独立，A错误；对于B，若，则，且与互斥，由概率加法公式：，而，所以，B正确；对于C，若相互独立，则，说明，即不可能互斥（互斥要求），C正确；对于D，举反例：设样本空间，，，，，D错误．10.已知向量，，则（）A.B.与的夹角的余弦值为C.在上的投影向量的坐标是D.若与的夹角为锐角，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：根据向量的坐标运算结合向量夹角、向量模长、投影向量的公式求出选项中要求的结果即可.解答过程：对于A：所以，故A正确.对于B：，故B正确.对于C：在上的投影向量为,所以C错误.对于D：,因为与的夹角为锐角，所以，解得.又因为与不能共线，所以，解得.故.D正确.11.已知圆锥，是圆锥底面圆的直径，点是底面圆周上异于，的动点，若，，则（）A.圆锥的轴截面面积为3B.直线与底面所成角的正弦值为C.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为D.若，为线段上的动点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：根据已知得底面半径，圆锥的高，母线长，底面圆，求圆锥轴截面的面积判断A，由线面角的定义知直线与底面所成的角即为，再求其正弦值判断B，根据体积公式及圆的性质得要使体积最大，底面为等腰直角三角形，再确定外接球球心位置，利用几何关系列方程求外接球半径，进而求表面积判断C，将平面绕旋转至与平面共面，易知线段的长度，即为的最小值，求出相关线段长，应用余弦定理求判断D.解答过程：由题意知，底面直径，所以底面半径，圆锥的高，母线长，所以底面圆，A：圆锥的轴截面是等腰三角形，其底边为，高为，轴截面面积，故

A正确，B：直线与底面所成的角即为，在中，，则，所以，故

B错误，C：三棱锥的体积，要使体积最大，则底面三角形的面积需最大，底边为定值，因此点到的距离最大（即）时，面积最大，此时底面为等腰直角三角形，由于是直角三角形，其外接圆圆心为斜边的中点，即为，三棱锥的外接球球心必在直线上，设球心为，半径为，由，外接球的表面积，故

C正确，D：若，则是等腰直角三角形，其中，，，将平面绕旋转至与平面共面，在旋转后的平面中对应点设为，因为，，所以是等边三角形，即，此时构成的三角形中，线段的长度，即为的最小值，在中，其中，，，所以，所以，故

D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人测量身高，则抽取的男生人数为________．答案：解析：思路：直接根据分层抽样的特征计算可得.解答过程：该校总人数为，抽样比，​所以抽取的男生人数为.13.一个圆台的上底面圆采用斜二测画法绘制的直观图面积为，已知圆台下底面半径为，圆台母线与底面所成的角为，则该圆台的侧面积为________．答案：解析：思路：先用斜二测面积比例由椭圆直观图面积还原上底圆半径，再利用母线底面夹角求出母线长度，最后代入圆台侧面积公式展开化简得到结果．解答过程：设原平面直角坐标系，斜二测直观图坐标系，变换公式为，所以，圆的半径的圆为，代入得，即，这是以为长半轴，为短半轴长的椭圆，，，所以，由，得，如图，记圆台下底面圆的半径为，圆台的母线长为，，所以，所以圆台的侧面积．14.已知圆的半径为4，若三个全等的正方形能完全覆盖圆，则正方形边长的最小值为________．答案：解析：思路：位于每个正方形内的弧长恰好为圆周的，圆心位于对角线上，另外两条边与圆相切，利用正弦定理可得.解答过程：欲使三个全等的正方形能完全覆盖圆且使得正方形边长最小，则位于每个正方形内的弧长恰好为圆周的，圆心位于对角线上，有两条边与圆相切，如图，，且与圆相切，为切点，则，则，则，故正方形边长的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正四棱锥中，已知侧棱与底面边长都等于3，是的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值．答案：（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解析：（1）略（2）如图，取的中点，连接，，则因为为的中点，所以，因为四边形为正方形，所以，∥，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，，所以就是异面直线与所成的角．因为，为的中点，为的中点，所以所以在中，．16.某高中为了解高一学生周末自主学习时长情况，从高一全体学生中随机抽取50名学生开展调查，统计他们某一个周末自主学习时长（单位：小时），作出如下频数分布表分组（小时）频数26121610（1）求的值，并根据数据绘制频率分布直方图；（2）依据频率分布直方图估计这50名学生自主学习时长的中位数和平均数；（3）从自主学习时长落在和的学生中随机抽取2人，求这两人来自不同分组的概率．答案：（1），（2），（3）解析：思路：（1）由频数和为50可求得，根据频数分布表求得各组对应的频率/组距，即可制作频率分布直方图；（2）先由频率分布分析中位数所在区间，设中位数根据中位数左侧频率和为，求出中位数；由各区间的中间值与频率乘积的和求得平均数；（3）将学习时长落在的学生记为，，落在的学生记为，，，，写出从中随机抽取2人的样本空间所包含的样本点，找出“这两人来自不同分组”包含的样本点个数，即可求得这两人来自不同分组的概率．（1），频率分布表如下：分组（小时）频数261216104频率0.040.120.240.320.200.08频率/组距0.020.060.120.160.100.04绘制频率分布直方图如图所示（2）由于，，所以可判断中位数位于，设中位数为，则，得，平均数．（3）将学习时长落在的学生记为，，落在的学生记为，，，，从中随机抽取2人，共有15种不同结果，分别是，，，，，，，，，，，，，，.即样本空间包含的样本点个数为，记两人来自不同分组为事件，则，．17.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若外接圆半径为，求周长的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并结合两角和的正弦公式及诱导公式进行化简，求得，从而求得；（2）根据正弦定理求得，并利用正弦定理，结合两角差的正弦公式及辅助角公式将转化成的正弦型函数，从而求得周长的取值范围．（1）因为，所以由正弦定理可得．即又在中，，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由，得，，．因为，所以，即，所以．．是锐角三角形，且，，，.，，，所以的周长的取值范围是．18.已知中，点在边上，且，为线段的中点．（1）用，表示；（2）若，且，，三点共线．（ⅰ）求；（ⅱ）若，且，证明：．答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，且，所以，又因为，所以，