第1节　函数的概念及其表示

1/1第1节函数的概念及其表示1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识梳理1.函数的概念及其表示（1）函数的概念（2）函数的表示法：解析法、图象法和列表法；（3）同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.提醒：两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2.2.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.3.复合函数对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））.提醒：函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围.1.求函数的定义域时尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.2.直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（×）（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（×）（3）函数f（x）＝x－1，x≥0，（4）若A＝R，B＝{x｜x＞0}，f：x→y＝｜x｜，其对应是从A到B的函数.（×）2.（2025·江苏常州金坛区二模）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（）解析：C函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，可知A图象不满足函数的定义域；B图象不满足函数的定义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象.故选C.3.已知函数f（x）＝4x2－1，x≤0，－A.62 B.63C.64 D.65解析：Bf（15）＝－115＋1＝－4，所以f（f（15））＝f（－4）＝4×16－4.函数f（1x）＝11+x，则函数f（x）的解析式为A.f（x）＝xx+1 B.f（x）＝xx+1（C.f（x）＝xx+1（x≠0，－1） D.f（x）＝xx+1（解析：C令t＝1x，t≠0，－1.则有x＝1t，所以f（t）＝11+1t＝tt+1，t≠0，－1，所以f（x）＝x5.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.函数的定义域（基础自学过关）1.函数f（x）＝x+13x－2＋（x－1）A.（23，＋∞） B.［23，1）∪（C.（23，1）∪（1，＋∞） D.［23解析：C要使函数f（x）＝x+13x－2＋（x－1）0有意义，则3x－2>0，x－1≠0，解得x＞23且x≠1，因此，函数2.（2025·山东烟台期中）若函数y＝f（2x）的定义域为{x｜x＜2}，则函数y＝f（x－1）的定义域为（）A.{x｜0＜x＜4} B.{x｜x＜4}C.{x｜x＜5} D.{x｜1＜x＜5}解析：D由x＜2得2x＜4，又2x＞0，所以0＜2x＜4，所以f（x）的定义域为{x｜0＜x＜4}，所以0＜x－1＜4，因此1＜x＜5，故函数y＝f（x－1）的定义域为{x｜1＜x＜5}.故选D.3.已知函数f（x）＝3x－1ax2＋ax－3的定义域是R，则实数解析：由题得，ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，有Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围是（－12，0].1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求复合函数定义域的方法（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域.函数的解析式（师生共研过关）求下列函数的解析式：（1）已知f（1－sinx）＝cos2x，求f（x）的解析式；解：（换元法）设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f（1－sinx）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].（2）已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f解：（配凑法）∵fx＋1x＝x2＋1x2＝（x＋1x）2－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；解：（待定系数法）∵f（x）是一次函数，故可设f（x）＝ax＋b（a≠0），又3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17，即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴a=2，∴f（x）＝2x＋7.（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解：（解方程组法）∵2f（x）＋f（－x）＝3x，①∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，②由①②解得f（x）＝3x.求函数解析式的4种方法训练1（1）〔一题多解〕（2026·重庆江津中学月考）已知f（x2＋1）＝x4－1，则函数f（x）的解析式为（D）A.f（x）＝x2－2xB.f（x）＝x2－1（x≥1）C.f（x）＝x2－2x＋2（x≥1）D.f（x）＝x2－2x（x≥1）解析：法一（换元法）设x2＋1＝t≥1，则x2＝t－1，所以f（t）＝（t－1）2－1＝t2－2t，所以f（x）＝x2－2x（x≥1）.故选D.法二（配凑法）f（x2＋1）＝x4－1＝（x2＋1）·（x2＋1－2），所以f（x）＝x（x－2）＝x2－2x（x≥1）.故选D.（2）已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（x）＝2x2－x＋1；解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以5a=10，3b－2a＝－7，a－b（3）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝－12x（x＋1）解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝12f（x＋1）＝12（x＋1）[1－（x＋1）]＝－12x（x＋1），故当－1≤x≤0时，f（x）＝－12x（分段函数（师生共研过关）（1）〔多选〕已知函数f（x）＝x2，－2≤x<1A.f（x）的定义域为RB.f（x）的值域为（－∞，4]C.若f（x）＝2，则x的值是－2D.f（x）＜1的解集为（－1，＋∞）解析：函数f（x）＝x2，－2≤x<1，－x+2，x≥1的定义域是[－2，＋∞），故A错误；当－2≤x＜1时，f（x）＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f（x）＝－x＋2，值域为（－∞，1]，故f（x）的值域为（－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f（x）＝x2＝2，解得x＝－2，故C正确；当－2≤x＜1时，令f（x）＝x2＜1，解得x∈（－1，1），当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＜1，解得x∈（1，＋∞），故f（（2）〔一题多解〕设函数f（x）＝1，x≤0，3x，x>0，则满足f（2x）＞f（x＋解析：法一当x≤－1时，x＋1≤0，2x≤－2，f（x＋1）＝1，f（2x）＝1，则f（2x）＞f（x＋1）不成立；当－1＜x≤0时，x＋1＞0，2x≤0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝1，由f（2x）＞f（x＋1），得3x＋1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x≤0矛盾，舍去；当x＞0时，x＋1＞1，2x＞0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝32x，由f（2x）＞f（x＋1），得32x＞3x＋1，则2x＞x＋1，得x＞1.综上，满足f（2x）＞f（x＋1）的x的取值范围是（1，＋∞）.法二画出f（x）的大致图象，如图所示，若f（2x）＞f（x＋1），则2x＞0＞x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.训练2（1）已知函数f（x）＝－x2－3x+2，x＜－1，2x－3，x≥－1，若f（a）＝4，则实数a＝－2或5解析：（1）若f（a）＝4，则a＜－1，－a2－3a+2=4或a≥－1，2a－3=4，解得a＝－2或a＝5.若f（a）≥2，则a＜－1，（2）若函数f（x）＝mx+2，x≥－2，（12）x解析：（2）当x＜－2时，f（x）＝（12）x∈（4，＋∞），由于函数f（x）的值域为R，所以当x≥－2时，f（x）＝mx＋2的值域应包含（－∞，4]，所以m＜0且f（－2）＝－2m＋2≥4，解得m≤－1（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2026·安徽宿州多校联考）下列四个函数中，与y＝2x表示同一个函数的是（）A.y＝2｜x｜ B.y＝4C.y＝2x2x D.解析：D对于A，y＝2｜x｜和y＝2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故A不正确；对于B，y＝4x2＝2｜x｜和y＝2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故B不正确；对于C，函数y＝2x2x的定义域为{x｜x≠0}，函数y＝2x的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故C不正确；对于D，函数y＝38x3＝2x的定义域和对应关系与y＝2x都相同，是同一个函数2.（2025·广东茂名一模）已知函数f（x）＝3x，x<1，log3（x+8A.43 B.C.73 D.解析：C因为f（x）＝3x，x<1，log3（x+8),x≥1，所以f（1）＝log39＝2，f（－1）＝3－1＝13，所以3.如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是（）解析：A由题意可知，当向游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为选项A.4.（2026·河南新乡名校模拟）已知函数f（x）＝2－x＋1x－1，则函数f（x2A.（－∞，1）∪（1，2]B.[－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2]C.[－2，1）∪（1，2]D.[－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2]解析：D由题知f（x2）＝2－x2＋1x2－1，由2－x2≥0且x2－1≠0，得－2≤x≤2且x≠±1，所以函数f（x2）的定义域是[－2，－1）∪（－1，1）∪（15.（2025·江西上饶一模）设f（x）＝x，0<x<1，3（x－1),x≥1，若A.12 B.C.19 D.解析：C由题意可知m＞0，当0＜m＜1时，m＋1＞1，所以由f（m）＝f（m＋1）得m＝3m⇒m＝19；当m≥1时，m＋1＞1，所以由f（m）＝f（m＋1）得3（m－1）＝3m，无解.综上，m＝19.故选6.〔多选〕已知函数f（x＋1）＝x＋2x，则（）A.f（x）＝x2－1（x∈R）B.f（x）的最小值为－1C.f（2x－3）的定义域为[2，＋∞）D.f（1x）的值域为[0解析：CD依题意，f（x＋1）＝（x）2＋2x＝（x＋1）2－1，则f（x）＝x2－1，x≥1，A错误；当x≥1时，f（x）≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；在f（2x－3）中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f（2x－3）的定义域为[2，＋∞），C正确；f（1x）＝1x2－1，0＜x≤1，于是1x2∈[1，＋∞），因此f（1x）的值域为7.若函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）－f（－x）的定义域为[－4，4].解析：因为函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f（x）的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f（x）－f（－x），则有－4≤x≤8，－4≤－x≤8，解得－4≤x≤4，因此，函数y＝f（8.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x123f（x）231x123g（x）321则f（g（1））的值为1；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是2.解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.当x＝1时，f（g（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝1，满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝3时，f（g（3））＝f（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不满足f（g（x））＞g（f（x）），∴当x＝2时，f（g（x））＞g（f（x））成立.9.（13分）求下列函数的解析式：（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12；（2）已知f（x）满足f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2）；（3）已知f（x）满足2f（x）＋f（1x）＝3x解：（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12，可得k2=25，kb所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3.（2）令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝t+12，∴f（t）＝（t+12）2＋3×t+12－1＝t24＋2t＋34，∴f（x）＝x24＋（3）（方程组法）由2f（x）＋f（1x）＝3x，将x用1x替换，得2f（1x）＋f（x）＝3x由①②解得f（x）＝2x－1x（x≠010.已知定义域为R的函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝12，则f（－2）＝（A.2 B.4C.12 D.解析：B令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f（0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f（1），∴f（－1）＝f（0）f（1）＝112＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[11.（2026·山东潍坊模拟）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）A.f（｜x｜）＝x3 B.f（sinx）＝x2C.f（x2＋2x）＝｜x｜ D.f（｜x｜）＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f（｜1｜）＝f（1）＝1；当x＝－1时，f（｜－1｜）＝f（1）＝－1，不符合函数定义，故A错误；对于B，令x＝0，则f（sinx）＝f（0）＝0；令x＝π，则f（sinπ）＝f（0）＝π2，不符合函数定义，故B错误；对于C，令x＝0，则f（0）＝0；令x＝－2，则f（（－2）2＋2×（－2））＝f（0）＝2，不符合函数定义，故C错误；对于D，f（｜x｜）＝x2＋1＝｜x｜2＋1，x∈R，｜x｜≥0，则存在x≥0时，f（x）＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f（x）＝x2＋1（x≥0）满足：对任意x∈R都有f（｜x｜）＝x2＋1，故D正确.故选D.12.〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则（）A.f（f（3））＝1B.不等式f（x）≤1的解集为［2，103C.函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2D.f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）解析：BD根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段，经过点（0，3）和（3，0），则其方程为f（x）＝3－x（0≤x≤3），在区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3），设f（x）＝kx＋b，x∈[3，4]，则3k＋b=0，4k＋b=3，解得k=3，b＝－9，所以其方程为f（x）＝3x－9（3≤x≤4），综合可得f（x）＝3－x，0≤x≤3，3（x－3),3<x≤4，对于A，f（3）＝0，则f（f（3））＝f（0）＝3，故A错误；对于B，若f（x）≤1，则有3－x≤1，0≤x≤3或3（x－3）≤1，3<x≤4，解得2≤x≤3或3＜x≤103，即不等式的解集为［2，103］，故B正确；对于C，13.定义max{a，b}＝a，a≥b，b，b＞a，设函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，记函数F（x）＝max{f（x），g（x）}，且函数F（x）在区间[m，n]内的值域为[0，解析：令f（x）≥g（x），即x＋1≥（x＋1）2，解得－1≤x≤0；令f（x）＜g（x），即x＋1＜（x＋1）2，解得x＜－1或x＞0，所以F（x）＝max{f（x），g（x）}＝（x+1）2，x＜－1，x+1，－1≤x≤0，（x+1）2，x>0，F（x）的图象如图所示，又F（0）＝F（－2）＝1，F（－1）＝0，要使函数F（x）在区间[m，n]内的值域为[0，1]，当n＝0时，－2≤m≤－114.（15分）（1）已知函数f（x）＝x+2，x≤0，x＋1x，x>