第1节　平面向量的概念及线性运算

1/1第1节平面向量的概念及线性运算1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.2.掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念名称概念向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度（或称模）零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量名称概念平行向量方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量提醒：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量a｜a｜和2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求两个向量差的运算a－b＝a＋（－b）向量运算定义法则（或几何意义）运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb提醒：多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量.3.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.提醒：只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性.1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12（OA＋OB2.若G为△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0；AG＝13（AB＋AC3.OA＝λOB＋μOC（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.4.对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关.（√）（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b.（×）（3）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（×）（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.（√）2.如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是（）A.EF B.FBC.DF D.ED解析：D∵EF，FB，DF与FC方向不同，∴EF，FB，DF与FC均不相等.∵ED与FC方向相同，长度相等，∴ED＝FC.3.在△ABC中，D是边AB上的中点，则CB＝（）A.2CD＋CA B.CD－2CAC.2CD－CA D.CD＋2CA解析：CCB＝CA＋AB＝CA＋2AD＝CA＋2（CD－CA）＝2CD－CA.故选C.4.化简：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝AB；（2）NQ＋QP＋MN－MP＝0.解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（2）原式＝NP＋PN＝0.5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝12解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ＝μ，1=2μ，解得平面向量的有关概念（基础自学过关）1.下列命题中的真命题是（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同B.AB与BA是两平行向量C.若a∥b，b∥c，则a∥cD.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b解析：B两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故A错误；因为AB＝－BA，所以AB与BA是两平行向量，所以B正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故C错误；当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故D错误.故选B.2.下列说法正确的是（）A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－bB.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝｜a｜a0C.若ma＝mb，m∈R，则a＝bD.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0解析：D对于A，两向量模相等，方向任意，不一定共线，故A错误；对于B，a与｜a｜a0模相等，但方向不一定相同，故B错误；对于C，当m＝0时，a与b不一定相等，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.3.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a｜a｜＝b｜A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析：C因为向量a｜a｜与向量a方向相同，向量b｜b｜与向量b方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.当a＝2b时，a｜a｜＝2b｜4.〔多选〕（2026·山东滨州模拟）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是（）A.｜AB｜＝｜EF｜ B.AB与FH共线C.BD与EH共线 D.CD＝FG解析：ABD由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知｜AB｜＝｜EF｜，故A正确；由题图可知AB与FH的方向相反，CD与FG的方向相同且长度相等，即AB与FH共线，CD＝FG，故B、D正确；而∠BDE与∠DEH不一定相等，BD与EH不一定共线，故C错误.平面向量有关概念的四个关注点（1）非零向量的平行具有传递性；（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（4）a｜a｜是与非零向量平面向量的线性运算（定向精析突破）考向1向量加、减法的几何意义（1）给出下列不等式或等式：①｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；②｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；③｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；④｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.其中，一定不成立的个数是（A）A.0 B.1C.2 D.3解析：①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0或b＝0，a≠0或a＝0，b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，且方向相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时成立.（2）若向量a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是π6解析：设OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，则a＋b＝OC，a－b＝BA.因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以｜OA｜＝｜OB｜＝｜BA｜，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝π3.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为π考向2向量的线性运算教材母题：〔人A必修二P14例6〕如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且AB＝a，AD＝b，用a，b表示MA，MB，MC和MD.解：在▱ABCD中，AC＝AB＋AD＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由平行四边形的两条对角线互相平分，得MA＝－12AC＝－12（a＋b）＝－12aMB＝12DB＝12（a－b）＝12aMC＝12AC＝12a＋MD＝－12DB＝－12a＋细研教材：由教材例题可知：在△ABC中，若D为边AB的中点，则CD＝12CA＋12CB.将“D为边AB的中点”改为“D在边AB上且AD＝λAB”，则CD＝CA＋AD＝CA＋λAB＝CA＋λ（CB－CA）＝λCB＋（1－变式1〔链接高考〕〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝（）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析：B法一因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.法二因为BD＝2DA，所以BD＝23BA，所以CD＝23CA＋（1－23）CB，即CD＝23CA＋13CB，即n＝23m＋13CB，法三（作图法）如图，利用平行四边形法则，合成出向量CB，由图易知CA（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D.故选B.变式2在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则AE＝（）A.－23CA＋13CB BC.－56CA＋12CB D解析：C如图，由题意得CE＝23CD，AD＝34AB，故AE＝AC＋CE＝AC＋23CD＝AC＋23（AD－AC）＝13AC＋23AD＝13AC＋1平面向量的线性运算的求解策略考向3根据向量线性运算求参数如图，在平行四边形ABCD中，BE＝23BC，DF＝34DE，若AF＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝（A.32 B.－C.112 D.解析：A在平行四边形ABCD中，BE＝23BC，DF＝34DE，所以AF＝AD＋DF＝AD＋34DE＝AD＋34（DC＋CE）＝AD＋34AB－13AD＝34AB＋34AD，若AF＝λAB＋μAD，则λ解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值.训练1（1）如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则AB＝（D）A.AC－ADB.2AC－2ADC.AD－ACD.2AD－2AC解析：连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，因此AB＝2CD＝2（AD－AC）＝2AD－2AC.（2）（2026·辽宁部分重点中学协作体考试）已知向量m＝（1，0），向量a满足｜a－2m｜＝｜m｜，则｜a｜的最小值为（A）A.1B.2C.3D.4解析：由题意可得｜a－2m｜＝｜m｜＝1，因为a＝（a－2m）＋2m，则｜a｜＝｜（a－2m）＋2m｜≥｜｜a－2m｜－2｜m｜｜＝1，当且仅当a－2m，2m反向时，等号成立，所以｜a｜的最小值为1.故选A.（3）在△ABC中，D在BC上，且BD＝2DC，E在AD上，且AD＝4AE.若BE＝xAB＋yAC，则x＋y＝（C）A.1312 B.34 C.－34 解析：因为BD＝2DC，所以BD＝23BC，则AD＝AB＋BD＝AB＋23BC＝AB＋23（AC－AB）＝13AB＋23AC.又AD＝4AE，所以AE＝14AD＝112AB＋16AC，则BE＝AE－AB＝－1112AB＋16AC，又BE＝xAB＋yAC，所以x＝－11共线向量定理的应用（师生共研过关）（1）已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2（λ，μ为实数）是共线向量，则（D）A.λμ＝－2 B.λμ＝－C.λμ＝2 D.λμ＝解析：由题意，可设2e1＋λe2＝t（μe1＋e2），t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故tμ=2，λ＝t（2）（2026·河北衡水调研）已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点.若AD＝xAM＋yAN（x，y∈R），则x＋y＝（A）A.32 B.C.2 D.1解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得AOAD＝23，所以AD＝32AO，所以32AO＝xAM＋yAN，即AO＝23xAM＋23yAN.易知M，O，N三点共线，可得23x＋23y利用共线向量定理解题的策略（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用；（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线；（3）若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0；（4）OA＝λOB＋μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线（O不在直线BC上），则λ＋μ＝1.训练2（1）若a，b是两个不共线的向量，已知MN＝a－2b，PN＝2a＋kb，PQ＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝（B）A.－1 B.1 C.32 D.解析：由题意知，NQ＝PQ－PN＝a－（k＋1）b，∵M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得MN＝λNQ，即a－2b＝λ[a－（k＋1）b]，整理得（1－λ）a＝[2－λ（k＋1）]b，∵向量a，b不共线，∴1－λ=0，2（2）在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且BC＝3CD.若AO＝xAB＋（1－x）AC，－13＜x＜0，则点O在（BA.线段BC上 B.线段CD上C.线段AC上 D.线段AD上解析：∵AO＝xAB＋（1－x）AC，－13＜x＜0，∴O，B，C三点共线.∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3AD－3AC，∴AD＝－13AB＋43AC.又－13＜x＜0，∴点O在线段CD上，且不与C，（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.AB＋BD－AC－CD＝（）A.AD B.0C.BC D.DA解析：BAB＋BD－AC－CD＝AD－（AC＋CD）＝AD－AD＝0.2.下列命题中正确的是（）A.｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜⇔a与b方向相反B.平行向量不一定是共线向量C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同解析：C对于A，当a，b之一为零向量时，不成立，故A错误；对于B，平行向量就是共线向量，B错误；对于C，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（长度相等，方向相反），故C正确；对于D，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.3.〔一题多解〕在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB＝a，AC＝b，则AE＝（）A.12a＋14b B.12aC.14a＋12b D.14a解析：C法一因为D为AB的中点，E为CD的中点，所以AE＝AC＋CE＝AC＋12CD＝AC＋12（12AB－AC）＝14AB＋1法二因为D是AB的中点，所以AD＝12AB，又E为CD的中点，所以AE＝12（AC＋AD）＝12（b＋12a）＝14.（2026·北京顺义月考）设O，A，B，C为同一平面上四个不同的点，且它们满足3OB＋OC＝4OA，则（）A.A，B，C三点共线 B.O，B，C三点共线C.A，O，C三点共线 D.A，B，O三点共线解析：A因为3OB＋OC＝4OA，所以3OB－3OA＝OA－OC，即3（OB－OA）＝OA－OC，所以3AB＝CA，所以AB∥CA.又AB，CA有公共点A，所以A，B，C三点共线.故选A.5.（2026·江苏连云港模拟）已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为（）A.1 B.0C.－1 D.±1解析：C∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴（a＋λb）∥（b＋λa）.由向量共线的充要条件可知，存在唯一一个实数m，使得a＋λb＝m（b＋λa），即（1－mλ）a＝（m－λ）b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.∴λ＝－1.6.〔多选〕如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则（）A.BC＝－12AB＋B.AF＝13ABC.BF＝－23AB＋D.CF＝16AB解析：ABC∵AB∥CD，AB＝2DC，∴BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋12AB＝－12AB＋AD，故A正确；∵BC＝3EC，∴BE＝23BC＝－13AB＋23AD，∴AE＝AB＋BE＝AB＋（－13AB＋23AD）＝23AB＋23AD，又F为AE的中点，∴AF＝12AE＝13AB＋13AD，故B正确；则BF＝BA＋AF＝－AB＋13AB＋13AD＝－23AB＋137.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，且FC＝λFD＋μFE，则λ＋μ＝4.解析：因为FC＝FO＋OC＝4FO＝4×12（FD＋FE）＝2FD＋2FE，所以λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝48.已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则实数t的值为13解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM.因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，则AO＝12AM＝14（AB＋AC）＝14AB＋1tAD＝14AB＋14tAD.由B，O，D9.（2026·辽宁辽阳模拟）在平行四边形ABCD中，｜AB＋AD｜＝｜AB－AD｜＝4，且∠BAC＝∠CAD，则平行四边形ABCD的面积为8.解析：在平行四边形ABCD中，AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，因为｜AB＋AD｜＝｜AB－AD｜＝4，所以｜AC｜＝｜DB｜＝4，所以四边形ABCD为矩形.又∠BAC＝∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为12×4×4＝810.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A＝（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：A由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC.又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.故选A.11.（2026·江苏盐城模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BE＝EC，CD＝2CF，则｜AE＋AF｜＝（）A.1 B.2C.3 D.4解析：C因为BE＝EC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋12AD，又因为CD＝2CF，所以AF＝AD＋DF＝12AB＋AD，所以｜AE＋AF｜＝32｜AB＋AD｜＝32｜AC｜，又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，所以｜AE＋AF｜＝32｜AC12.〔多选〕设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若BM＝13BC，则AM＝1B.若AM＝2AC－3AB，则M，B，C三点共线C.若点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0D.若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的解析：ACD对于A，AM＝AB＋BM＝AB＋13BC＝AB＋13AC－AB＝13AC＋23AB，故A正确；对于B，假设M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB－AM＝λ（AC－AB），整理得AM＝－λAC＋（1＋λ）AB，故当λ＝－2时，即AM＝2AC－AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以M，B，C三点不共线，故B错误；对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且M