第1节　随机抽样与常用统计图表

1/1第1节随机抽样与常用统计图表1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法；通过实例，了解分层随机抽样的特点和运用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法；在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.2.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.知识梳理1.随机抽样（1）总体、个体、样本、样本容量统计含义总体把调查对象的全体称为总体个体组成总体的每一个调查对象称为个体样本在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本样本容量样本中包含的个体数称为样本容量（2）简单随机抽样①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；②常用方法：抽签法和随机数法.（3）分层随机抽样①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配；②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样.2.常用统计图表（1）频率分布直方图①纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率②小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率③各小长方形的面积的总和等于1.（2）作频率分布直方图的步骤①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.（3）其他统计图①扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；②条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率（离散型数据）；③折线图：直观描述数据随时间的变化趋势；④雷达图：直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系（差异程度和趋势）；⑤总体密度曲线：设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f（x）来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线（连续型数据）.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（×）（2）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（√）（3）分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（×）（4）频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.（√）2.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了100名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生成绩是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本量解析：C由题意可得100名学生成绩是样本.3.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数之和为250.解析：∵甲组人数为120，占总人数的百分比为30％，∴总人数为120÷30％＝400.∵丙、丁两组人数之和占总人数的百分比为1－30％－7.5％＝62.5％，∴丙、丁两组人数之和为400×62.5％＝250.4.一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按性别比例分配，那么男运动员应抽取16名，女运动员应抽取12名.解析：田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占总体的比例为27，于是应该在男运动员中随机抽取56×27＝16（名），在女运动员中随机抽取28－16＝12（5.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.（1）直方图中x的值为0.0044；（2）在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250）内的有70户.解析：（1）由（0.0060＋x＋0.0036＋0.0024×2＋0.0012）×50＝1，解得x＝0.0044.（2）（0.0036＋0.0060＋0.0044）×50×100＝70（户）.简单随机抽样（基础自学过关）1.下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查解析：B对于A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；对于B选项中，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；对于C选项中，由于被抽取的样本总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；对于D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误.2.（2026·江苏连云港模拟）现要用随机数法从总体容量为240（编号为001到240）的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（）32451744911456216510024568964056816554644163085621052148451312541021451325826793A.5 B.44C.165 D.210解析：D由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，数字不能大于240，且要去掉重复数字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210.3.（2026·福建厦门调研）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为514解析：根据题意，9n－1＝13，解得n＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为应用简单随机抽样的注意点（1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取；（2）简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）.分层随机抽样（基础自学过关）1.某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（）A.11 B.22C.110 D.220解析：A由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的22％，所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是50×22％＝11.2.（2023·新高考Ⅱ卷3题改编）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则在初中部和高中部抽取的人数分别为40，20.解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为400200＝21，所以抽取的60名学生中初中部应有60×23＝40（人），高中部应有60×13＝3.某学校高一年级共有3个班，1班有30人，优秀率为30％，2班有35人，优秀率为60％，3班有35人，优秀率为40％，则该校高一年级学生的优秀率为44％.解析：某学校高一年级共有3个班，1班30人，优秀率30％，2班35人，优秀率60％，三班35人，优秀率40％，则高一年级优秀率为30×30％4.（2026·上海浦东模拟）浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如表所示：高一年级高二年级高三年级跑步人数（单位：人）abc登山人数（单位：人）xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，参加登山的人数占总人数的14.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取45人解析：由题意得，因为参加登山的人数占总人数的14，所以参加登山的人数为2000×14＝500人，参加跑步的人为1500人.根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为200×15002000＝150人，又由a∶b∶c＝2∶5∶3，所以高三年级应抽取分层随机抽样问题的类型及解题思路（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算；（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中抽样比＝样本量总样本量＝各层样本数量统计图表（定向精析突破）考向1折线图〔多选〕某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图：已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长D.该企业2025年11月份的月利润最大解析：ABC因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.考向2扇形图与条形图〔多选〕某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图（图1）和其中的高一学生排名分布的频率条形图（图2），则下列说法正确的是（）A.成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多10B.成绩排在第1～50名的50人中，高一人数比高二的多C.成绩排在第51～150名的100人中，高三人数占比可能超过1D.成绩排在第51～100名的50人中，高二人数肯定多于23解析：AC对于A，成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多200×（30％－25％）＝10，故A正确；对于B，成绩排在第1～50名的50人中，高一人数为200×45％×20％＝18，高二和高三的总人数为50－18＝32，高二的具体人数不知道，故B错误；对于C，成绩排在第51～150名的100人中，高一人数为90×（0.3＋0.4）＝63，高二和高三的总人数为100－63＝37，所以高三人数占比有可能超过13，故C正确；对于D，成绩排在第51～100名的50人中，高一学生人数为90×0.3＝27，高二人数最多有50－27＝23，故D错误1.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量.考向3频率分布直方图某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到如图所示的频率分布直方图，则分数在区间[70，90）内的人数为30.根据评奖规则，排名在前10％的学生可以获奖，估计获奖的学生至少需要的分数为88.解析：根据频率分布直方图，可得分数在区间[70，90）内的频率为（0.025＋0.025）×10＝0.5，故分数在区间[70，90）内的人数为0.5×60＝30.因为分数在区间[80，90）内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，而0.05＜10％＜0.25＋0.05，设排名前10％的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10％，解得a＝2，所以排名前10％的分界点约为88分，即获奖的学生至少需要88分.频率分布直方图的相关结论（1）频率分布直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，（2）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.训练（1）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是（A）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以只有A是错误的.故选A.（2）〔多选〕近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象.电动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接受与认可，尤其是其辅助驾驶功能.某品牌电动汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行分析，分析100位车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数，得到如图所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常使用辅助驾驶功能），则下列结论正确的是（ABC）A.b＝0.005B.估计车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于70C.估计这100位车主中经常使用辅助驾驶功能的人数为75D.按照“经常使用辅助驾驶功能”与“不经常使用辅助驾驶功能”进行分层随机抽样，从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取8人解析：对于A，由频率分布直方图可得2b＋0.015＋0.020＋0.025＋0.030＝0.1，故b＝0.005，A正确；对于B，使用辅助驾驶功能的次数的平均数为45×0.005×10＋55×0.020×10＋65×0.025×10＋75×0.030×10＋85×0.015×10＋95×0.005×10＝69.5，B正确；对于C，使用辅助驾驶功能的次数不少于60的频率为1－（0.005＋0.020）×10＝0.75，故这100位车主中经常使用辅助驾驶功能的人数约为100×0.75＝75，C正确；对于D，“经常使用辅助驾驶功能”与“不经常使用辅助驾驶功能”的人数之比为3∶1，故从这100人中抽取12人，在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取34×12＝9（人），D错误.故选A、B、C（3）〔多选〕某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述正确的是（ABC）A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个解析：由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差大于5℃，而一月的平均温差小于5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份只有3个，D不正确.故选A、B、C.（时间：45分钟，满分：67分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（）A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等C.由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少D.每个人被抽到的可能性不相等解析：B由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.2.“神舟二十一号”仅用3.5小时就成功完成了对接，再次激起国人对载人航天工程的兴趣.某中学为此举行了“航天知识知多少”的主题抢答比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了36个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为（）456732121231020104521520011251293204923449358200362348696938748146527364A.12 B.20C.29 D.23解析：C有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C.3.某电影的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（）A.6人 B.9人C.12人 D.18人解析：B设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知200480＝x36，80480＝y36，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人4.某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2025年1月至2025年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月份D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳解析：D由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9，10，11，共3个月，比6月份低的有1，2，3，4，5，7，8，共7个月，故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C不正确；从折线图来看，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.5.某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，将他们的身高分成A，B，C，D，E五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（）A.女生人数和男生人数一样多B.D组中男生人数多于女生人数C.B组男生人数为24人D.A组人数最少解析：C对于A，女生A组有18人，B组有48人，C组有30人，D组有18人，E组有6人，女生共有18＋48＋30＋18＋6＝120（人），男生有200－120＝80（人），因此女生人数多于男生人数，A错误；对于B，由扇形图，男生D组有80×20％＝16（人），而女生有18人，因此女生多于男生，B错误；对于C，B组有80×（1－20％－25％－15％－10％）＝80×30％＝24（人），C正确；对于D，A组有18＋80×10％＝26（人），E组有6＋80×15％＝18（人），A组人数不是最少的，D错误.故选C.6.（2026·湖北孝感模拟）某保险公司销售某种保险产品，根据2025年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（）A.2025年第四季度的销售额为280万元B.2025年上半年的总销售额为500万元C.2025年2月份的销售额为60万元D.2025年12个月的月销售额的众数为50万元解析：A由第二季度的销售额为260万元，第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26％，得全年总销售额为1000万元.对于A，2025年第四季度的销售额为1000×28％＝280（万元），A正确；对于B，2025年上半年的总销售额为160＋260＝420（万元），B错误；对于C，2025年2月份的销售额为160－1000×5％－1000×6％＝50（万元），C错误；对于D，2025年12个月的月销售额（单位：万元）分别是50，50，60，60，90，110，80，100，120，120，100，60，众数是60，D错误.故选A.7.〔多选〕为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”.现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100].规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”.下列说法正确的是（）A.m的值为0.015B.该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01C.现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为[80，100]的学生5人D.被抽取的1000名中学生的平均分大约是80分解析：AC由（0.025＋0.05＋m＋0.01）×10＝1⇒m＝0.015，选项A正确；因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”，所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01×10＝0.1，选项B不正确；现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为[80，100]的学生人数为20×（0.015＋0.01）×10＝5，选项C正确；被抽取的1000名中学生的平均分大约是65×0.25＋75×0.5＋85×0.15＋95×0.1＝76分，选项D不正确.故选A、C.8.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为40解析：设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积和为52x，根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，得x＋52x＝1，则x＝27，即中间一组的频率为27，所以中间一组的频数为140×9.某汽车研究院现有300名研究员，他们的学历情况如图所示，该研究院今年计划招聘一批新研究员，并决定不再招聘本科生，且使得招聘后本科生的比例下降到15％，硕士生的比例不变，则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为40.解析：根据题意，设今年计划招聘的硕士生为x人，博士生为y人，又由现有研究员300人，其中本科生有300×20％＝60（人），硕士生有300×40％＝120（人），则有60300+x10.某地区公共部门为调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是（）A.估计被调查者中约有520人吸烟B.估计约有10人对问题2的回答为“是”C.估计该地区约有4％的中学生吸烟D.估计该地区约有2％的中学生吸烟解析：C随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是12，其编号是奇数的概率也是12，所以回答问题1且回答是的人数大约为1000×12×12＝250，所以回答第二个问题，且为是的人数大约为270－250＝20，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为20500×100％＝4％，估计被调查者中约有1000×4％＝40（人）11.〔多选〕某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中正确的是（）A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20％C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后